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1、3.2 立体几何中的向量方法（一）,思考1：如何确定一个点在空间的位置？,答：空间中任意一个P的位置可以用向量OP来表示。向量OP称为点P的位置向量。,思考2：在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？,答：空间中任意一条直线l的位置可以由l上 一个定点A以及一个定方向（向量）确定。,思考3：给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？,答：空间中平面的位置可以由平面内两条相 交直线来确定。,a,l,a,思考4：给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？,给定一个点A和一个向量a,过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的。,
2、方法指导：,怎样求平面法向量？,一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：,设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面，的法向量分别为u,v,则,二、讲授新课,1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形问题）,例1：如图1：一个结晶
3、体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,解：如图1，设,化为向量问题,依据向量的加法法则，,进行向量运算,所以,回到图形问题,这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。,思考：,（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？,（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?,分析:,分析:,这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。,（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求
4、两点间的距离）,H,分析：面面距离,回归图形,点面距离,向量的模,解：,所求的距离是,练习:,如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。,例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解：如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是，得,设向量 与 的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。,因此,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,例2：如图3，甲站在水库
5、底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,思考：,（1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？,分析：,可算出 AB 的长。,（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？,分析：如图，设以顶点 为端点的对角线长为，三条棱长分别为 各棱间夹角为。,（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹
6、角的余弦值吗？,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,分析：,二面角,平面角,向量的夹角,回归图形,解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1EAB 于点 E，,E,F,在平面 AC 内作 CFAB 于 F。,可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。,练习：,（1）如图4，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长。,（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，A1AB45，A1AC60，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。,如图6，在棱长为 的正方体 中，分别是棱 上的动点，且。（1）求证：；（2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。,思考：,小结：,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,作业：课本P121 第 2、6 题,面面距离,回归图形,点面距离,向量的模,二面角,平面角,向量的夹角,回归图形,
