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1、初中数学最短路径问题,初中数学最短路径问题初中数学最短路径问题课件说明 本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题,第一页，共25页。,课件说明,本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题,第二页，共25页。,学
2、习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题,课件说明,第三页，共25页。,引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”,引入新知,第四页，共25页。,问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图
3、中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,探索新知,第五页，共25页。,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马 问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？,探索新知,第六页，共25页。,追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线,探索新知,第七页，共25页。,（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程
4、之和；,探索新知,追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？,第八页，共25页。,探索新知,追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？,（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）,第九页，共25页。,追问1对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，
5、AC 与CB 的和最小？,第十页，共25页。,追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？,第十一页，共25页。,作法：（1）作点B 关于直线l 的对称 点B；（2）连接AB，与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,第十二页，共25页。,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,第十三页，共25页。,证明
6、：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,第十四页，共25页。,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,证明：在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC 最短,第十五页，共25页。,若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC 最小,探索新知,追问1证明AC+BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC+
7、BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？,第十六页，共25页。,探索新知,追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？,第十七页，共25页。,造桥选址问题,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,第十八页，共25页。,思维分析,1、如图假定任选位置造桥，连接和，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？,2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？,第十九页，共25页。,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变
8、换能帮助我们呢？,思维火花,各抒己见,1、把A平移到岸边.,2、把B平移到岸边.,3、把桥平移到和A相连.,4、把桥平移到和B相连.,古有愚公移山，今有学子搬桥，呵呵!,第二十页，共25页。,上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.,合作与交流,1、2两种方法改变了.怎样调整呢？,把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?,第二十一页，共25页。,问题解决,A1,M,N,如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.,理由；另任作桥，连接，.,由平移性质可知，.,AM+MN+BN转化为，而转化为.,在中，由线段公理知A1N1+BN1A1B,因此 AM+MN+BN,第二十二页，共25页。,归纳小结,（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？,第二十三页，共25页。,教科书复习题13第15题,布置作业,第二十四页，共25页。,谢谢！,第二十五页，共25页。,
