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1、主 成 分 分 析与 因 子 分 析,Principal Components Analysis&Factor Analysis,第二军医大学卫生统计学教研室 xx,第20章,1,感谢你的观看,2019年8月7,讲课内容：第一节 主成分分析第二节 因子分析,2,感谢你的观看,2019年8月7,第一节 主成分分析Principal Components Analysis,3,感谢你的观看,2019年8月7,一、基本思想数据的降维、数据的解释 将原来众多具有一定相关性的指标，组 合成一组新的相互无关的综合指标。从中选取几个较少的综合指标尽可能多 的反映原来众多指标的信息。这种既减少了指标的数目又抓
2、住了主要矛 盾的做法有利于问题的分析和处理。,4,感谢你的观看,2019年8月7,5,感谢你的观看,2019年8月7,如何利用这些指标对每一儿童的生长发育 作出正确评价？仅用单一指标：结论片面；没有充分利用原有数据信息。利用所有指标：各指标评价的结论可能不一致，使综合 评价困难；工作量大。,6,感谢你的观看,2019年8月7,找出几个综合指标(长度、围度、特体)，这些综合指标是原始指标的线性组合，既保留了原始指标的信息，且互不相关。各综合指标提供的“信息”量大小用其方差来衡量。衡量一个指标的好坏除了正确性与精确性外，还必须能充分反映个体间的变异，一 项指标在个体间的变异越大，提供的信息 量越多
3、。,7,感谢你的观看,2019年8月7,二、数学模型及几何意义,8,感谢你的观看,2019年8月7,Z=A X,9,感谢你的观看,2019年8月7,第一主成分,在所有Zi中最大,10,感谢你的观看,2019年8月7,第二主成分,理论上主成分个数最多为m个(指标个数)实际工作中确定的主成分个数总是小于m个,11,感谢你的观看,2019年8月7,X1,X2,1,1,2,-2,-2,-1,-1,2,0,相关变异,12,感谢你的观看,2019年8月7,X1,X2,Z1,Z2,1,1,2,-2,-2,-2,-2,1,1,-1,-1,-1,-1,2,2,2,0,13,感谢你的观看,2019年8月7,Z1,
4、Z2,-2,-2,1,1,-1,-1,2,2,0,相关变异,14,感谢你的观看,2019年8月7,三、主成分的求法及性质,15,感谢你的观看,2019年8月7,（一）主成分的求法 1.对各原始指标值进行标准化,为了方便，仍用Xij表示Xij。,16,感谢你的观看,2019年8月7,标准化后的数据矩阵,X=,17,感谢你的观看,2019年8月7,2.求出X1,X2,Xm 的相关矩阵R,R=Cov(X)=,18,感谢你的观看,2019年8月7,Pearson 相关系数,标准化后的协方差,协方差,19,感谢你的观看,2019年8月7,20,感谢你的观看,2019年8月7,(r11 i)ai1+r12
5、 ai2+r1m aim=0 r21 ai1+(r22 i)ai2+r2m aim=0 rm1 ai1+rm2 ai2+(rmm i)aim=0,i为矩阵R的第i个特征值，共有m个非负特征值，由大到小的顺序排列为：1 2 m0i=Var(Zi),21,感谢你的观看,2019年8月7,4.由以上方程组，求出相应于特征值 i 的 特征向量(eigenvector)(ai1,ai2,aim),22,感谢你的观看,2019年8月7,（二）主成分的性质 1.各主成分互不相关,23,感谢你的观看,2019年8月7,2.主成分的贡献率与累积贡献率(原始指标值标准化),(指标个数),24,感谢你的观看,201
6、9年8月7,3.主成分个数的选取（1）前k个主成分的累积贡献率70%。（2）主成分Zi的特征值i 1。,4.因子载荷（第i主成分Zi与第j原始指标Xi间相关系数）,25,感谢你的观看,2019年8月7,5.样品的主成分得分,26,感谢你的观看,2019年8月7,四、实例,27,感谢你的观看,2019年8月7,28,感谢你的观看,2019年8月7,29,感谢你的观看,2019年8月7,30,感谢你的观看,2019年8月7,1.主成分个数的选取 3很接近于1；3 与2的贡献率相差不大，为25%左右，若舍去3不合理。取前三个主成分。,31,感谢你的观看,2019年8月7,2.列出主成分表达式,Z1为
7、急性炎症成分（X1转氨酶、X2肝大指数）Z2为慢性炎症成分（X3硫酸锌浊度）Z3为癌变成分（X4甲胎球蛋白）,32,感谢你的观看,2019年8月7,3.求出因子载荷阵,33,感谢你的观看,2019年8月7,4.主成分得分,34,感谢你的观看,2019年8月7,标准化指标主成分还原为原始指标主成分,35,感谢你的观看,2019年8月7,将该肝病患者的四项肝功能指标代入 原始指标主成分表达式：Z1=2.50865 Z2=1.06626 Z3=1.22943 该肝病患者可能为急性炎症。,36,感谢你的观看,2019年8月7,五、主成分分析的应用 1.对原始指标进行综合 以互不相关的较少个综合指标反应
8、众多原 始指标提供的信息。主成分回归(解决多元共线问题)。,2.进行综合评价,37,感谢你的观看,2019年8月7,3.进行探索性分析 利用因子载荷阵，找出影响各综合指标的 主要原始指标。4.对样品进行分类 利用主成分得分对样品进行分类：Z1为急性炎症成分 Z2为慢性炎症成分 Z3为癌变成分,38,感谢你的观看,2019年8月7,第二节 因子分析Factor Analysis,39,感谢你的观看,2019年8月7,一、因子分析基本思想从分析多个可观测的原始指标的相关关系入手，找到支配这种相关关系的有限个不可观测的潜在变量。是多元分析中处理降维的一种统计方法。,如：脑部疾病患者的意识清醒状态可由
9、语言能力、辩识能力、记忆能力、理解能力与思维逻辑能力等可观测的指标反映。,40,感谢你的观看,2019年8月7,二、因子分析数学模型,common factor,41,感谢你的观看,2019年8月7,42,感谢你的观看,2019年8月7,Xi:观测指标(标准化数据)Fi:公因子 ei:特殊因子aij:因子载荷(计算关键项),43,感谢你的观看,2019年8月7,X=AF+e,44,感谢你的观看,2019年8月7,45,感谢你的观看,2019年8月7,46,感谢你的观看,2019年8月7,三、因子模型的性质 矩阵A的统计意义1.公共度(共性方差),47,感谢你的观看,2019年8月7,因子的共性
10、方差,48,感谢你的观看,2019年8月7,2.因子贡献与因子贡献率矩阵A第j列元素 反映了第j个公因子Fj对所有原始指标的影响;数据标准化后全部原始指标的总方差为指标个数m。,Fj对原始指标的方差贡献率,49,感谢你的观看,2019年8月7,各因子的贡献,50,感谢你的观看,2019年8月7,3.因子载荷及因子载荷阵,A,51,感谢你的观看,2019年8月7,四、因子载荷阵的求解及计算步骤 1.收集原始数据并整理为下表,52,感谢你的观看,2019年8月7,2.对各指标进行标准化3.求指标间的相关系数矩阵RX4.求指标间的约相关系数矩阵R*（1）R*的非对角线元素与相关矩阵RX的 非对角线元
11、素相等（2）R*的对角线元素为共性方差,53,感谢你的观看,2019年8月7,5.求出约关系数矩阵R*所有大于零的特 征值及相应的特征向量6.写出因子载荷阵A，得出原始指标X的 公因子表达式,54,感谢你的观看,2019年8月7,要求：1.保留公因子个数q小于指标个数m，原则：j1 前k个公因子累积贡献率70%2.各共性方差 接近于1。3.各原始指标在同一公因子Fj上的因子载荷 之间的差别应尽可能大。,55,感谢你的观看,2019年8月7,五、实例,56,感谢你的观看,2019年8月7,1.主成分解,57,感谢你的观看,2019年8月7,58,感谢你的观看,2019年8月7,59,感谢你的观看
12、,2019年8月7,主成分解：除因子1可初步认定为综合因子外，其余3个因子的专业意义不明显。2.主因子解：除因子1可初步认定为综合因子外，其余3个因子的专业意义不明显。,60,感谢你的观看,2019年8月7,六、因子旋转当各公因子的专业意义难以解释时，可以 通过因子旋转来解决。如求得的因子载荷阵A不甚理想，可右乘 一个正交阵T，使AT有更好的实际意义，使各原始指标在同一公因子上 之间 差别尽可能增大。称因子正交旋转。正交旋转可保持各指标的共性方差不变；各公因子互不相关。常用方差最大旋转法等。,61,感谢你的观看,2019年8月7,62,感谢你的观看,2019年8月7,63,感谢你的观看,201
13、9年8月7,七、几点注意 1.因子分析的解不唯一（1）同一问题可以有不同的因子分析解：主成分解、主因子解、极大似然解（2）进行因子旋转以获得更为满意的解。2.因子得分 不能直接进行计算，但可以估计。,64,感谢你的观看,2019年8月7,3.主成分分析与因子分析间的关系（1）两者的分析重点不一致 Z=AX主成分为原始变量线性组合，重点在综合原始变量信息。X=AF+e原始变量为公因子与特殊因子线性组合，公因子重点反映支配原始变量的不可观测的潜在因素。,重要,65,感谢你的观看,2019年8月7,（2）两者之间有密切的关系因子分析完全能够替代主成分分析，并且 功能更为强大。主成分分析是一种思想，是一种得到目的 的中间手段，是其它多元统计分析方法的 基础，如因子分析常用主成分法求解。主成分分析单独应用有其独到之处，如应 用于综合评价与主成分回归时非常实用、科学。,66,感谢你的观看,2019年8月7,讲课内容：第一节 主成分分析第二节 因子分析,67,感谢你的观看,2019年8月7,Thank you!,68,感谢你的观看,2019年8月7,
