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1、九上第一章特殊的平行四边形,一：分类复习,有一组 的 叫做,邻边相等,平行四边形,A,D,C,B,四边形ABCD是平行四边形 AB=BC四边形ABCD是菱形,菱形,一：菱形,菱形的性质,菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。,菱形的四条边相等,菱形是轴对称图形，也是中心对称图形,菱形具有平行四边形的一切性质；,（1）菱形具有平行四边形的一切性质；,（2）菱形的四条边都相等；,（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；,菱形的性质,(4)菱形是轴对称图形，也是中心对称图形,1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。,分析
2、：,菱形的面积公式,在任意四边形ABCD中，对角线ACBD，且AC=18,BD=10。问四边形ABCD的面积是多少？,=,BDAO,+,BDCO,=,BD(AO+CO),=,BDAC,=,1018=90,解：,答：四边形ABCD的面积是90。,2、如图，菱形花坛ABCD的周长为80m，ABC60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.1m2）,练一练,1.菱形的定义:是菱形2.菱形的性质:菱形的四条边，菱形的对角线，并且每一条对角线 一组 对角.3.下列说法不正确的有(填番号)菱形的对边平行且相等.菱形的对角线互相平分 菱形的对角线相
3、等.菱形的对角线互相垂直.菱形的一条对角线平分一组对角.菱形的对角相等.4.菱形的面积公式:.5.菱形既是 图形，又是 图形.,有一组邻边相等的平行四边形,9.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。,菱形常用的判定方法：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形.,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有四条边相等的四边形是菱形。,1.判断下列说法是否正确？为什么？(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(3
4、)对角线互相垂直，且有一组邻边相等 的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形,2.ABCD的对角线AC与BD相交于点O，（1）若AB=AD，则ABCD是 形；（2）若AC=BD，则ABCD是 形；（3）若ABC是直角，则ABCD是 形；（4）若BAO=DAO，则ABCD是 形。,菱,矩,矩,菱,3.下列命题中正确的是（）A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形,C,4.对角线互相垂直且平分的四边形是（）A.矩形 B.一般的平行四边形C.菱形 D.以上都不对,C,5.下列条件中，不能判定
5、四边形ABCD为菱形的是（）A.ACBD,AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且ACBDD.AB=CD,AD=BC,ACBD,C,1.如图，AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于点E,DFAB交AC于点F.试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由。,习题巩固：,四边形AEDF是菱形理由：DE AC DFAB 四边形AEDF是平行四边形 DE AC 2=3 AD是ABC的角平分线 1=2 AE=DE AEDF是菱形,2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC,CE BD.求证：四边形OCED是菱形,3.如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D
6、，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形,B,C,N,如图，RtABC中，ACB=900，BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。,如下图在ABC中，BAC90，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于C，EFBC于F，四边形AEFG是菱形吗?,2.如图，已知在ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，证明:CEDF.,习题巩固：,连接MN,矩形的性质,矩形的对边平行且相等.,对称性,矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.,二：矩形,矩形的定
7、义：有一个角是直角的平行四边形.,1.填空：（1）矩形的定义中有两个条件：一是_，二是_.（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为_、_、_、_。（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120，则矩形的边长分别为_ cm，_ cm，_ cm，_ cm。,有一个角是直角,平行四边形,60,60,120,120,5,5,2.下列说法错误的是（）A.矩形的对角线互相平分。B.矩形的对角线相等。C.有一个角是直角的四边形是矩形。D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）A.2对
8、 B.4对 C.6对 D.8对,C,B,4.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使 AB=CD,EF=GH（2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是，根据的数学道理是（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3）调整窗框的边 框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4）说明窗框合格，这时窗框是，根据的数学道理 是,平行四边形,两组对边分别相等的,矩形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,四边形是平行四边形,5.用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面,则每块长方形地砖的长和宽分别是()A.48cm,12cm B.48cm,16cm;C.44
9、cm,16cm D.45cm,15cm.,D,矩形的判定方法：,1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。,2、对角线相等的平行四边形是矩形。,3、有三个角是直角的四边形是矩形。,对于1、2两种判定方法是在平行四边形的前提下来判断的，而3是直接在四边形的前提下判断的。,1、下列各句判定矩形的说法是否正确？,（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）四个角都相等的四边形是矩形；（）（3）对角线相等的四边形是矩形；（）（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（5）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（6）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形(),应用,应用新知,要判定
10、一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。,1、下列说法正确的是（）（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形2、满足下列条件（）的四边形是矩形.（A）有三个角相等（B）有一个角是直角（C）对角线相等且互相垂直（D）对角线相等且互相平分,3、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。,定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,正方形,正方形是特殊
11、的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,角：四个角都是直角,图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.,正方形的性质,正方形的判定方法：,(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）,定义法,四条边相等，四个角都是直角,对角线互相垂直、平分且相等,以四边形为基础：,既是菱形又是矩形的四边形是正方形。,小结,5种识别方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（
12、）(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形（）(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形（）(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（）,判断题:,（6）正方形一定是矩形（）（7）正方形一定是菱形（）（8）菱形一定是正方形（）（9）矩形一定是正方形（）(10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形（）,（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(),(13)四个角都相等的四边形是正方形()(14)四条边都相等的四边形是正方形(),正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角
13、互补.D、对角线相等.,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.,B,D,选择题:,3、下列命题正确的是（）A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形,D,4四个内角都相等的四边形一定是（）A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形,5在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD,C,A,6 四个内角都相等
14、，四条边也都相等的四边形一定是：（）A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形,A,7、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为 cm。,7.5,8.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB2cm，则AC=,正方形的面积S=_.,2,2,4,6,36,9.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC6 cm，面积S=_.则边长AB_,10、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。,若AB=BC，则四边形ABCD是（）若AC=BD，则四边形ABCD是（）若BCD=900，则四边形ABCD是（）若OA=OB，则四边形ABCD是（）若
15、AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是（）,菱形,矩形,矩形,矩形,正方形,如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？,解：BE=DE.因为 对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点，所以 BE=DE,例1、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。,证明：,OAOMOBON,OMON,OMN13ONM45,又MNAB,12345,OAOB AB=BC,四边形ABCD是正方形,即：AM=BN,ABMBCN,BM=CN,例2、直角三角形ABC中，C
16、D平分ACB交AB于D，DEAC，DFAB。求证：四边形CEDF是正方形。,四边形ABCD是正方形（),DE=DF(),DEAC，DFBC,CD平分ACB,四边形ABCD为矩形(),而ACB=90,DEC=90，DFC=90,证明：DEAC，DFAB,有三个角是 直角的四边形是矩形,角平分线的定理,有一组邻边相等的矩形是正方形,1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1)ACFDCB(2)BHAF,练习,1：BC=FC，1=2，AC=DC,2：由1得：3=HBC，又HDF=CDB，CBD+CDB=90 F
17、DB=180 3 HDF=90,2、如图(6)，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：CEAABG,证明：四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BAC EACBAG AECABG(SAS)CEAABG,3、在正方形中，点，分别在，上，且.四边形是正方形吗？为什么？,4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。,5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求AFC的度数。,6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC
18、、BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，连接OE，若EAO=150，求BOE的度数。,7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PEAC于点E，PFBD于点F，求PE+PF的值。,因为是正方形 若对角线AC、BD交于点O那么AO=AC的一半=5 BAC=45 ACBD 又PEAC PFBD四边形PEOF为矩形 PF=OE 在三角形APE中 PAE=45 AE=PEPE+PF=AE+OE=AO=5,8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,在BC中取P,使BP=2,连DP,则DP是DN+MN
19、的最小值证明:因为ABCD是正方形,所以AC平分角BCD而CP=CM=8-2=6所以,AC垂直平分MP所以,MN=NP所以,DN+MN=DN+NPD,N,P在同一条直线时,DN+NP最小所以:DP是DN+MN的最小值DN+MN的最小值=DP=(CD+CP)=(8+6)=10,8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,9、已知，如图在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN垂足为点E，,求证：四边形ADCE是矩形。,当ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是正方形，说
20、明理由。,10、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE,（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。,（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。,11、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于点N。,（1）求证：MD=MN,（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。,F,P,思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋
21、转的过程中.,探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系.,探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。,探究四：如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？,探究三:若正方形OEFG继续旋转时，AM 与 BN之间的关系是否还成立？,四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求AOB,OAB的度数,8,解：四边形ABCD是正方形 ACBDAOB=900 BAC=DAC OAB=450,(2)若AC=4，则正方形边长;正方形的面积是,4,(3)
22、正方形的面积64cm，则对角线交点到正方形一边的距离,AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EFAC交BC于F.请说明：EC=EF=FB,解：四边形ABCD是正方形 B=900,ACB=450 AEF=900 AB=AE ABFAFE(HL）BF=EF 又FEC=900,ECF=45EFC=45,EC=EF（等角对等边）BF=EF=EC,.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFBC，垂足分别是点E、F.求证：DP=EF,如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，若中间最小的一个正方形边长为1，你能求这矩形色块的面积吗？,第4大的正方形边长为x.则第3大的边长为x+1.第2大的边长为x+2.第1大的边长为x+3依图可知.第1大的边长+第2大的边长=第3大的边长+第4大的边长+第4大的边长即 x+3+x+2=x+1+x+x得 x=4所以脑屏幕长为13.宽为11.面积为13*11=143,面积是165，设D的边长X，B的边长为2x1F的边长E的边长+1X+1+1=x+2B的边长F的边长+12X-1=X+2+1X=4矩形面积为（6+4+4）X（5+6）165,F,E,D,C,B,A,
