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1、第六讲 近代数学的兴起,1,1.中世纪和文艺复兴时期的欧洲 从公元476年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长达1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。15、16世纪是欧洲的文艺复兴时期。公元511世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，教会成为欧洲社会的绝对势力，宣扬天启真理，追求来世，淡漠世俗生活，对自然不感兴趣，导致了理性的压抑，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态。,2,1.1黑暗时期 中世纪基督教日益封建化，整个社会以宗教和神学为核心，科学思想是异端邪说。由于罗马人偏重于实用而没有发展抽象数学，对罗马帝国崩溃后的欧洲数学也有一定的影响，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。造成数学落后的原因是多方面的
2、，主要是战火连绵，神学一统天下。圣经是最根本的知识，教徒整日研读圣经，视科学是神学的婢女，神学被誉为“科学的皇后”，甚至反对数学的学习与研究。如公元529年公布的查士丁尼法典中的条款规定：“绝对禁止应受到取缔的数学艺术”。数学的发展受到沉重的打击。因宗教教育的需要，也出现一些水平低下的初级算术与几何教材。,3,罗马人博埃齐（约480524年）主要以哲学家留名青史，他的哲学是古希腊罗马哲学到中世纪经院哲学的过渡，在数学方面，根据希腊材料用拉丁文选编了几何学（内容仅包含原本第1、3、4卷部分内容）、算术等教科书，成为中世纪早期欧洲人了解希腊科学的唯一来源。博埃齐以他的这些著作和他关于哲学的著作而成
3、为中世纪经院哲学的奠基人。他的高尚理想和刚强正直给他带来了政治上的麻烦，并遭到悲惨的结局。公元522年博埃齐被诬控叛国罪而遭监禁，524年被处决。被尊称为比德大师的英国人比德（674735）是中世纪最大的教会学者之一，他的许多著作中有不少是讲数学的，其中主要的是关于历法和指算的论著。法国人热尔拜尔（9501003年）是第一个在西班牙穆斯林学校学习的基督教徒。999年当选为罗马教皇，提倡学习数学，翻译了一些阿拉伯科学著作，把包含有零的印度阿拉伯数码带入欧洲。他被认为是一位知识渊博的学者，写了关于占星学、算术和几何学著作等，他做过算盘、地球仪和天球仪、钟、风琴等。,4,1.2科学的复苏 直到12世
4、纪，由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激，欧洲数学才开始出现复苏的迹象。贸易与旅游的发展，欧洲出现新兴的城市，欧洲人开始与阿拉伯人、拜占庭人发生接触，了解阿拉伯、希腊的文化，创立了大学（1088年博洛尼亚大学，1160年巴黎大学，1167年牛津大学，1209年剑桥大学，1222年帕多瓦大学，1224年那不勒斯大学）。十字军为掠夺土地的东征，使欧洲人进入了阿拉伯世界。,5,“十字军东征”（10961291年）十字军东征是西欧封建主、大商人和天主教会以维护基督教为名，对地中海东岸地区发动的侵略性远征。因东侵军队的衣服上均有红十字的标记，故称为十字军。1095年，罗马教皇在法国召开宗教大会，宣
5、布组成十字军远征，从异教徒（穆斯林）手中夺回圣城耶路撒冷。东侵活动从1096年起，到1291年止，历时近200年，大规模的侵略共8次。第一次东征（10961099年）攻占了耶路撒冷，建立了耶路撒冷王国。第四次东征（1202年1204年）攻陷了拜占庭帝国，在巴尔干建立拉丁帝国。历次东侵所占据点后来不断丧失，1291年最后据点阿克城失守，标志着十字军东征彻底失败。十字军东征对地中海沿岸国家人民带来了深重灾难，西欧各国人民也损失惨重。几十万十字军死亡，同时教廷和封建主却取得了大量的财富。十字军东征也促进了东西方文化的交流，使西欧人大开眼界，进入了阿拉伯世界。从此，欧洲人了解到了希腊及东方古典学术，对
6、这些学术著作的搜求、翻译和研究，科学开始复苏，加速了西欧手工业、商业的发展。,6,12世纪是欧洲数学的大翻译时期，希腊人的著作被阿拉伯文译成拉丁文后，“在惊讶的西方面前展示了一个新的世界”。当时涌现出成批的翻译家。阿德拉特（英，约1120年）是最早从事阿拉伯文献翻译的人之一。他是一位英国学者，青年时代曾踏遍古老文化之乡希腊、小亚细亚、意大利和北非等，回到家乡后担任英国王储的家庭教师。当他了解到阿拉伯人手中有大量的希腊著作之后，就十分热衷于获取这些知识。为了能自由地活动于阿拉伯人控制的地区，他乔装成伊斯兰教信徒。他从阿拉伯文翻译的欧几里得几何原本，质量较高，在欧洲一直流行到16世纪。他还翻译了花
7、拉子米的著作。另一位早期翻译者是意大利人普拉托（12世纪上半叶）翻译了巴塔尼的天文论著、迪奥多修斯的球面几何以及其他著作。英国的罗伯特翻译了花拉子米的代数学。罗伯特还是最早把古兰经译成拉丁文的人。12世纪最伟大的翻译家是杰拉德，他把90多部阿拉伯文著作翻译成拉丁文，其中包括托勒玫的大成、欧几里得的原本、阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论以及阿基米德的圆的度量。欧洲人了解到希腊和阿拉伯数学，构成后来欧洲数学发展的基础。,7,1.3斐波那契和十三世纪数学 欧洲黑暗时期过后第一位有影响的数学家是斐波那契（意，约11701250年）。他出生于意大利的比萨，又称比萨的莱昂纳多。他是一个商人的儿子，早年随父亲在北非
8、师从阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回到意大利后编著了代表作算经（1202，也称算盘书）。算经主要是一些源自古代中国、印度和希腊的数学问题的汇集，内容涉及整数和分数算法，开方法，二次和三次方程以及不定方程。书中系统介绍了印度阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大的影响，是欧洲数学在经历了漫长黑夜之后走向复苏的号角。,斐波纳契（Fibonacci）,8,“一对兔子，出生后第二个月开始有生育能力，每月繁殖一对小兔子。问一对兔子一年中可繁殖出多少对兔子？”1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，,9,10,斐波纳契型树木,11,意大利艺术家梅兹（Mario Mer
9、z,19252003）可谓三十年情系斐波纳契数列。他把这个数列用于装饰图灵意大利国家电影博物馆大楼穹顶（1984）。,12,更引人注目的是，梅兹还用这个数列来装饰芬兰Turku一家核电厂的烟囱（1994）！,13,德国乌纳 国际光艺术中心,14,1.4十四世纪,13世纪，整个拉丁世界数学无大进展，而14世纪相对是数学上的不毛之地，因为一是发生了英法“百年战争”（13371453年）使政治动乱，环境不安定；二是10年之久的鼠疫引起了“黑死病”瘟疫，扫荡了欧洲1/3以上的人口，使人的思想不能集中追求知识；三是烦琐哲学的思想仍在束缚科学，压得科学家抬不起头，只好把精力消磨在神学和形而上学的奇妙莫测的
10、无聊问题论证上，如“一根针尖上可以站立多少个天使？”“苍蝇有多少根胡须？”欧洲数学真正的复苏，要到15、16世纪的文艺复兴时期。,15,1.5 文艺复兴,14世纪可以看做是文艺复兴的开始。文艺复兴是指14世纪意大利各城市兴起，15世纪后期起扩展到西欧各国，16世纪在欧洲盛行的一场思想文化运动。这场斗争是在“复兴古典学术和艺术”的旗号掩蔽下进行的，那些从罗马废墟中发掘出来的古代文物，意大利各寺院里清理出来的古旧藏书，以及后来拜占庭灭亡时抢救出来的手抄本，都展现在学者面前。意大利文艺复兴盛期三杰：达芬奇（14521519年），代表作有“最后的晚餐”、“蒙娜丽莎”，重视数学，“不懂数学的人不要读我的
11、书”，“凡是和数学没有联系的地方，都不是可靠的”；米开朗琪罗（14751564年），代表作“大卫”、“摩西”、圣彼得大教堂；拉斐尔（14831520年），代表作“雅典学院”。达芬奇的艺术深沉、含蓄、富有理智、充满智慧；米开朗基罗的艺术博大、雄伟、富有激情、充满力量；而拉斐尔的艺术则以优雅、秀逸、和谐、高度的完美为标志。,16,达芬奇“绘画是一门科学，而一切科学都以数学为基础。人类的任何探究活动都不能称为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明来开辟自己的道路。”,Leonardo da Vinci(1452-1519),17,“欣赏我的作品的人，没有一个人不是数学家。”“一个人如果怀疑
12、数学的极端可靠性，就会陷入混乱，他永远不可能平息科学中的诡辩，只会导致空谈和毫无结果的争论。”达芬奇,18,达芬奇：最后的晚餐（1494）,19,达芬奇作品：“博士来拜”（1481）,20,黄金分割还出现在达芬奇未完成的作品圣徒杰罗姆(1483)中。在作品中，圣徒杰罗姆的像完全位于一个黄金矩形内。应该说，这不是偶然的巧合，而是达芬奇有意识地使画像与黄金分割相一致。,21,拉斐尔（Raphael,1483-1520）作品：雅典学派,22,“人文主义”思想是文艺复兴的灵魂和中心，主张以世俗的“人”为中心，歌颂人性、反对神性，提倡人权、反对神权，提倡个性自由、反对宗教禁锢，赞颂世俗生活、反对来世观念
13、和禁欲主义。在这历时约200年的历史中，带来一段科学与艺术革命时期，揭开了现代欧洲历史的序幕，使得知识界的面貌大大改观，也使数学活动以空前的规模和深度蓬勃兴起，被认为是中古时代和近代的分界。以下介绍这一时期数学发展的重要方面。,23,2.向近代数学的过渡,2.1 代数学,历史上曾有4位数学家被冠以“代数学之父”的称号。最早的是古希腊的丢番图，他在算术中引入了未知数，创设了未知数的符号，并有建立方程的思想；第二位是阿拉伯的花拉子米，他的代数学不仅给出现代“代数学”（algebra）的字源，而且系统论述了求解一、二次方程的方法，相当于完整的公式解；第三位是法国的韦达，他在分析引论中首次系统地使用了
14、符号表示未知量的值进行运算，提出符号运算与数运算的区别，规定了代数与算术的分界；第四位是德国的高斯，他在1797，1799，1815，1816，1849年先后5次用不同方法证明了代数基本定理。在他之前，也有过类似的定理，但均局限于实数域或较低次数的方程。高斯的贡献在于将其推广到复数域和任意次数的方程，且给出存在性证明。,欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕，其中包括三、四次方程的求解与符号代数的引入。,24,三次方程求根公式是16世纪初发现的，它打破了方程求解长期徘徊不前的局面，成为代数学史上的重要事件，并由此引发出近代方程论
15、的研究，是整个欧洲近现代数学崛起的先声。从整个数学史看，三次方程求解上成承二次方程千余年的求解成果，下启解析几何、微积分乃至近世代数的思想方法，是16世纪数学宝库中最耀眼的明珠。但是这样一项辉煌成果却有些“身世不清”，成为数学史上最有争议的发现之一。,花拉子米的代数学被翻译成拉丁文后，开始在欧洲传播，直到15世纪，人们还以为三、四次方程与化圆为方问题一样难以解决。第一个突破是波伦亚大学的数学教授费罗（意，14651526年）在1515年作出的，他发现了形如,的三次方程的代数解法，密传给学生费奥。因为按当时的风气，学者们是不公开自己的研究成果的。,25,塔塔利亚（意，14991557年）是第二个
16、得到三次方程求解法则的数学家。他原姓丰坦纳，生于意大利布雷西亚一贫困邮差家庭。7岁父亲去世，13岁又遭战乱之难，被攻占的法军将头部砍伤多处，影响了说话能力，被人们称为塔塔利亚（意为口吃者）。塔塔利亚最重要的数学成就是发现了三次方程的代数解法，进行了两次历史性的辨论。1535年，塔塔利亚宣称可解形如,的三次方程。怀疑之余，费奥向塔塔利亚挑战，要求各自解出对方提出的30个三次方程。2月22日费奥与塔塔利亚在米兰大教堂公开竞赛，结果塔塔利亚很快解出形如 和 两类型,的所有三次方程，而费奥只能解出,类型的方程。塔塔利,亚获胜，扬名整个意大利。,16世纪意大利学术界盛行这种公开辩论，由双方约好辩论的内容
17、、方式、地点、评判人以及双方所出资金数目。胜利者除可赢得全部资金外，还可名扬天下，得到各处的讲学邀请。失败者则名誉扫地，有的还因此失去原有的教学职位。,26,1539年塔塔利亚把他关于三次方程的解法写成一首25行诗告诉卡尔丹。1548年8月10日塔塔利亚与卡尔丹的学生费拉里（意，15221565年）在米兰大教堂附近举行了公开辩论，争论从上午10点持续到晚饭时间，听众一哄而散，结果不了了之。双方各自宣布获胜。直至8年后，塔塔利亚才在他的名著论数字与度量中的一篇插文里叙述了整个论战过程。卡尔丹（意，15011576年）是第三位对三次方程求解作出重大贡献的数学家，也译作卡尔达诺或卡当。卡尔丹，医学博
18、士，他是一个天才和愚人的奇怪混合，也是一个富有传奇色彩的怪杰，兼学者与无赖于一身，被誉为百科全书式的学者，渡过了光怪陆离的一生，在数学、天文学、哲学、物理学和医学中都有一定的成就，同时也一直醉心于占星术（为基督命运占星和对自己死期的预卜）和赌博的研究，一生共写了各种类型的文章、书籍200多种。最重要的数学著作是1545年在纽伦堡出版的大法，该书系统给出代数学中的许多新概念和新方法，内有从塔塔利亚处骗来的三次方程解法和卡尔丹的学生费拉里发现的四次方程解法。,说卡尔丹完全是剽窃也是不公平的，因为他在书中注明了三次方程解法是塔塔利亚告诉他的。卡尔丹不仅将塔氏方法推广到一般情形的三次方程，而且补充了几
19、何证明。,27,对于带有二次项的三次方程，通过变换总可以将二次项消去，从而变成卡尔丹能解的类型。,28,费拉里所讨论的四次方程类型主要有以下几种：,29,在卡式去世前4年的1572年，意大利数学家邦贝利（15261573）在他的教科书代数中引进了虚数，用以解决三次方程不可约情况。邦贝利是意大利文艺复兴时期最后一位代数学家。卡尔丹认识到复根是成对出现的，并且三次方程有三个根，四次方程有四个根。在此基础上，荷兰人吉拉德（15931632）1629年于代数新发现中又作了进一步的推断：对于n次多项式方程，如果把不可能的（复数）根考虑在内，并包括重根，则应有n个根。这就是著名的“代数基本定理”。,30,
20、在韦达的著作中有关于三次方程,的天才解法，而任何三次方程都能归结成这种形式。,令,，给定的方程成为,，这是,的二次方程。于是求出,，然后求y，再求x。韦达的四次方程解法类似于费尔拉里的解法。,31,一元二次方程求根公式,韦达 x2+ax=b(令 x=u+z)u2+(2z+a)u+(z2+az+b)=0(令2z+a=0)u2-1/4(a2-4b)=0,F.Vite（1540-1603）,为了研究数学，常常三天三夜不出房门的韦达,32,韦达（法，15401603年）是十六世纪最大的数学家，律师与政治家，业余研究数学。1540年出生于丰特内，1603年死于巴黎。关于韦达，有些有趣的轶事，例如有这么一
21、个故事：1593年比利时大使向法国国王亨利四世夸口说，法国没有一个数学家能解决比利时数学家罗芒乌斯提出的需要解45次方程的问题。于是韦达被召来看这个方程。他认出了潜在的三角学上的联系，几分钟内就给出了两个根，后来又求出了21个根。他把负根漏掉了。还有这么一个传说，韦达成功地破译了一份西班牙的数百字的密码，因此法国用两年功夫打败了西班牙。,Romanus四十五次方程,33,代数上的进步还在于引用来较好的符号体系，这对于代数学本身的发展以及分析学的发展来说，至关重要。正是由于符号化体系的建立，才使代数有可能成为一门科学。近现代数学最为明显的标志之一，就是普遍地使用了数学符号，它体现了数学学科的高度
22、抽象与简练。数学符号系统化首先归功于韦达，由于他的符号体系的引入导致代数性质上产生重大变革。在分析引论中，他第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量。他把符号性代数称作“类的算术”，同时规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算施行于具体的数。这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问。,韦达的这种做法被吉拉德的代数新发现和奥特雷德（15751660）的实用分析术所继承，特别是通过奥特雷德的著作使采用数学符号的风气流行起来。对韦达所使用的代数符号的改进工作是由笛卡儿完成的。到17世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中刻意使用符号
23、具有很好的功效。我们今天所使用的符号，是当时的符号经过长期淘汰后剩下来的。,34,2.2 三角学,欧洲文艺复兴始于意大利，之后是德国。德国在数学研究上独占魁首，遥遥领先除意大利以外的欧洲各国。早期三角学不是一个独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法。这样在1450年以前，三角学主要是球面三角。15、16世纪德国人从意大利人获得了阿拉伯天文学著作中的三角学知识，如阿尔巴塔尼（858929年）的历数书、纳西尔丁图西（12011274年）的论完全四边形。在16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。,雷格蒙塔努斯是最早将三角学从天文学独立出来的数学家。雷格蒙塔努
24、斯（德，14361476年），又名米勒，在维也纳大学学习和讲授天文学，逐渐掌握了托勒密的天文学说，并努力钻研与之相关的几何学、算术与三角学，后到罗马，不断学习拉丁文和希腊文的经典学术著作，对数学的主要贡献是在三角学方面，代表作是完成于1464年论各种三角形（或称三角学全书，1533年出版），是欧洲人对平面和球面三角学所作的第一个完整、独立的阐述。雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础。他的著作手稿在学者中广为传阅，对16世纪的数学产生了相当大的影响，哥白尼的工作受到他的影响，可惜40岁时英年早逝，死因是瘟疫，但有传闻说他是被仇人毒死的。,35,天文学家维尔纳（146
25、81528）于1514年著论球面三角，改进并发展了雷格蒙塔努斯的思想。此时的三角学存在一个最大的困难就是缺少一批公式。哥白尼的学生奥地利数学家雷提库斯（15141576）将传统的弧与弦的关系，改进为角的三角函数关系，并采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割），还编制了正弦表。,三角学的进一步发展，是韦达所做的平面三角与球面三角系统化工作。他在1579年的标准数学和1615年的斜截面中，把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，其中包括他自己得到的正切公式：,他还给出了解球面直角三角形的方法和一套公式.这些球面三角公式大都是托勒玫建立的,也有韦达自己提出的公式，如,尤为重要的是韦
26、达将这套三角恒等式表示成了代数形式。,36,.从透视学到射影几何,几何学创造性活动的复兴晚于代数学。文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力来自艺术，欧洲文艺复兴时期描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维世界绘制到二维画布上时，面临着一些投影的问题。正是由于绘画、制图中提出的问题的刺激导致了富有文艺复兴特色的学科透视学的兴起，从而诞生了射影几何学。研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质的几何学，一度也叫做投影几何学。,意大利人布努雷契（13771446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。数学透视法的天才阿尔贝蒂（意，14041472年）的论绘画一
27、书，阐述了最早的数学透视法思想，他引入投影线和和截影概念，提出在同一投影线下和景物的情况下，任意两个截影间有何种数学关系或何种共同的数学性质等问题，这些问题是射影几何发展的起点。,37,对于透视法所产生的问题从数学上直接给予解答的第一个人是德沙格（法，15911661年）。他原是法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，靠自学成名。同当时法国的几个领头的数学家是朋友，经常出席梅森的“巴黎学会”的活动，与著名的数学家费马也有交往。上述这批人的活动和所取得的成就，使法国成为17世纪上半叶世界数学史上最辉煌的国度，也为18、19世纪形成世界的数学中心打下良好的基础。身处这一旋涡的德沙格以其新颖的思想和独
28、特的数学方法，开辟了数学的一个新领域，成为射影几何学的先驱。1636年，他发表了第一篇关于透视法的论文关于透视绘图的一般方法，主要著作是1639年试论锥面截一平面所得结果的初稿，充满了创造性的新思想、新方法，是射影几何早期发展的代表作。书中提出并证明了“德沙格定理”：,38,随着解析几何和后来的微积分的迅猛发展，该书逐渐被遗忘了。直到1845年，法国几何学家、数学史家沙勒才在巴黎的一个旧书店里发现这本书的手抄本，此时射影几何正处于复兴时期，人们才认识到德沙格这本著作的价值。1950年前后，在巴黎国立图书馆又找到它的原版本，历经300余年的沧桑岁月，它终于在诸多数学名著中有了一个适当的位置。,另
29、一位在射影几何方面做出突出贡献的是法国数学家帕斯卡（法，16231662年），是德沙格的朋友。帕斯卡是个少年神童，被认为是数学史上最伟大的“轶才”。从小由于体质脆弱，身为大数学家的父亲不准他学数学，结果反而激起了他对数学的好奇心，秘密从事这门学科的研究，发现了几何图形的许多性质，如通过折纸发现三角形内角和等于平角。他父亲发现后，震惊于他的几何才能，送给他一部原本，帕斯卡很快就掌握了它。16岁他写了一篇关于圆锥曲线的论文，使笛卡尔认为是他父亲代笔的。19岁他发明了第一架计算机。1640年17岁的帕斯卡完成著作圆锥曲线论。在射影几何方面最突出的成就是所谓的帕斯卡定理：圆锥曲线的内接六边形对边交点共
30、线。可惜这位数学奇才1662年病死于巴黎，年仅39岁。,39,对早期射影几何学有所贡献的还有画家出身的拉伊尔（16401718），他在这方面的工作也是受到德沙格的影响。他在射影几何专著圆锥曲线（1685）中首先证明了有关调和点组的圆的性质，再通过投影和取截影，将这些性质推广到圆锥曲线上，证明了阿波罗尼奥斯的364个关于圆锥曲线的定理中的300个，最突出的地方在于在极点理论方面有所创新。德沙格等人把这种投影分析方法所获得的结果，视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别。射影几何学家的方法是综合的，而且得出的结果也是定性的，用代数方法处理问题更有效，因此射影几何产生后很快让位于代
31、数、解析几何和微积分，他们的工作也渐被遗忘，迟至19世纪才又被人们重新发现。,40,2.4 对数,1617世纪计算技术的最大改进是对数的发明，它被称为17世纪世界三大数学成果之一(另两项成果是解析几何和微积分)。数学史家卡约黎(FCajori)说：“现代计算方法之所以有奇迹般的力量，是由于有三个发明，即阿拉伯记数法、小数和对数。”在欧洲，一般把小数的发明权归于荷兰数学家史蒂文。1585年荷兰数学家史蒂文（15481620年）发表十进算术系统探讨了十进制记数及其运算理论，并提倡用十进制小数来书写分数，阐述的思想虽然很简单，却在西方产生了深远的影响。史蒂文曾是荷兰军队的军需总监，领导过许多公共建筑
32、工程的建设，在西方史蒂文是第一个系统论述十进分数及其算术的人。在文明史上，史蒂文是工程师和技术专家的典范，他用科学的方式去处理实际问题，非常注重理论与实践的结合。,41,这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的产生主要是由于天文和航海计算的强烈需要。虽然纳皮尔是举世公认的对数发明者，但对数的基本思想，早在德国数学家斯蒂菲尔（约14871567）的综合算术(1544)一书中就出现了。该书指出几何级数与其指数构成的,算术级数0，1，2，3，的各项相对应。中每两项的乘积，其指数等于中相应两项之和；中每两项相除，商的指数等于中相应两项之差。纳皮尔正是在这种对应关系启发下发明对数的。,42,苏
33、格兰贵族纳皮尔（15501617）是在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法的。纳皮尔的大部分时间生活于苏格兰首府爱丁堡附近的豪华贵族庄园梅尔契斯顿堡中，并把大部分精力花在那个时代政治和宗教的论争中。他有着非凡的天才和想象力，有些人认为他精神不正常，也有人认为他是个妖术贩子。关于他也有很多有趣的传说。有一次，他的东西被偷。他宣称他的黑毛公鸡能为他证实是哪一个仆人偷了。仆人们被一个接一个地派进暗室，要他们拍公鸡的背，仆人们不知道纳皮尔用烟墨涂了公鸡的背。偷东西的那个仆人，怕挨着公鸡，回来时手是干净的。还有一次，纳皮尔因他邻居的鸽子吃他的粮食而感到烦恼。他告诉邻居说：如果他不限制鸽子,让它们乱飞
34、，他就要没收这些鸽子。邻居说：如果他能捉住它们，尽管捉好了。第二天，邻居看到他的那些鸽子在纳皮尔的草坪上蹒跚地走着，十分惊讶，纳皮尔把它们一只只装进大口袋。纳皮尔在他的草坪上各处撒了些用白兰地酒泡过的豌豆，使这些鸽子醉了。,43,Napier大学Craighouse校区的纳皮尔雕像,44,纳皮尔（J.Napier,1550-1617）和奇妙的对数表(1614),45,纳皮尔的对数表,46,纳皮尔所居住的Merchiston城堡,47,在谁最先发现对数这个问题上，纳皮尔只遇到一个对手，即瑞士仪器制造者比尔吉。比尔吉独立设想并造出了对数表，于1620年出版了算术和几何级数表。虽然两个人都在发表之前
35、很早就有了对数的概念，但纳皮尔的途径是几何的，比尔吉的途径是代数的，是斯蒂弗尔的级数的对应思想。对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲。拉普拉斯赞道：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”。1971年，尼加拉瓜发行量一套邮票，尊崇世界上“十个最重要的数学公式”。每张邮票以显著位置标出一个特殊公式，并配以例证，还在其反面以西班牙文对该公式的重要性作简短说明。,到16世纪末、17世纪初，整个初等数学的主要内容基本定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路。对数17世纪中叶传入我国，对数一词被译为“假数”。如1653年由波兰数学家穆尼阁（1611
36、1656）和薛凤祚合编的比例对数表一书，是传入我国最早的对数著作。当时lg2=0.3010中2叫“真数”（沿用至今），0.3010叫“假数”，真数与假数列成表叫对数表，后来改“假数”为“对数”。数学史上是先有对数，后有指数概念。而今天的教科书是先讲指数，并用指数来定义对数，这正与它的历史相反。,48,3.解析几何的诞生,近代数学本质上可以说是变量数学。16世纪对运动与变化的研究已成为自然科学的中心问题，导致变量数学的亮相，变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。关于解析几何发明的意义，恩格斯有一段常为人引用的论述：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了
37、数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”解析几何的基本思想是在平面上引进坐标系，建立平面上点和有序实数对之间的一一对应关系。每一对实数（x，y）都对应于平面上的一个点；反之，每一个点都对应于它的坐标（x，y）。以这种方式可以将一个代数方程f（x，y）=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。这种思想古代曾经各自分别出现过，如阿波罗尼奥斯圆锥曲线论中引进了一种斜角坐标系，奥马海雅姆通过圆锥曲线交点解三次方程的研究，斐波那契实用几何（1220）中用代数方法去解几何问题，法国数学家奥雷斯姆（法，13231382年）论形态幅度讨
38、论了物体运动中用曲线表示函数的图象。奥雷斯姆提出了形态幅度原理，借用“经度”、“纬度”的术语来描述他的图线，相当于横坐标与纵坐标，其学说在欧洲产生了广泛的影响，启发了笛卡儿创立了解析几何，给伽利略力学研究提供线索。,49,50,解析几何的真正发明要归功于法国两位数学数学家笛卡儿与费马。他们的工作出发点不同，但却殊途同归。,如果你要成为一名真正的追求真理的人，那么你在一生中必须对一切事情至少都怀疑一次。笛卡儿方法论,51,笛卡儿（法，15961650年），法国科学家、哲学家和数学家。1696年出生于法国都伦的拉哈耶，贵族家庭的后裔，父亲是律师。早年受教于耶稣会学校。因为他身体虚弱，养成了早上睡懒
39、觉的习惯。后来，笛卡儿回忆说，他的大部分成果出自早上休息的那段适宜沉思的时间。1612年，笛卡儿离开学校赴巴黎从事研究，1617年和1619年两次从军，离开军营后，旅行于欧洲，到过德国、丹麦、荷兰、瑞士和意大利。他的学术研究是在军旅和旅行中作出的。笛卡儿首先以哲学家著称于世，他的自然哲学观同亚里士多德的学说是完全对立的，对经院哲学奉为教条的亚里士多德“三段论”法则给出尖锐的批判，哲学名言：“我思故我在”，即要想追求真理，我们必须在一生中尽可能地把所有的事物都来怀疑一次，以我在怀疑，证明我在思想。笛卡儿是欧洲近代哲学的奠基人之一，堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科
40、学的始祖”。他的著作在生前就遭到教会的指责，他死后的1663年，更被列入梵蒂冈教皇颁布的禁书目录之中。,52,笛卡儿1637年发表了著名的哲学著作更好地指导推理和寻求科学真理的方法论，该书有三个附录：几何学、屈光学和气象学，解析几何的发明包含在几何学这篇附录中。,几何学作为笛卡儿哲学著作方法论的附录，意味着他的几何学发现乃至其他方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的。笛卡儿几何学的整个思路与传统的方法大相径庭，表现出笛卡儿向传统和权威挑战的巨大勇气。他认为“古人的几何学”所思考的只限于形相，而近代的代数学则“太受法则和公式的束缚”，因此他主张“采取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短
41、。”这种怀疑传统与权威、大胆思索创新的精神，反映了文艺复兴时期的时代特征。,53,关于笛卡儿创立解析几何的灵感有几个传说。一个传说讲，他在一次“晨思”时，看见一只苍蝇正从天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻两个墙壁的距离之间的关系，就能描述它的路线，这使他头脑中产生了关于解析几何的最初闪念。另一个传说是，1619年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕的11月10日，他做了三个连贯的梦。笛卡儿宣称这几个梦改变了他生命的整个进程。他说，这梦向他揭示了“一门了不起的科学”和“一项惊人的发现”，从而使他的生活目的明朗化并决定将来献身于什么事业。虽然他从未明说过这门奇特的
42、科学和这项惊人的发现是什么，但这三个梦从此成为后来每本介绍解析几何的诞生的著作必提的佳话，它给解析几何的诞生蒙上了一层神秘色彩。人们在苦心思索之后的睡梦中获得灵感与启示不是不可能的。但事实上笛卡儿之所以能创立解析几何，主要是他艰苦探索、潜心思考，运用科学的方法，同时批判地继承前人的成就的结果。在笛卡儿系统地阐述现代解析几何基础的同时，另一位法国数学天才费马也注意到这门学科。,54,费马（16011665）出身商人世家，毕业于法国奥尔良大学，以律师为职，曾任图卢兹议会议员。精通6种语言，业余爱好数学，在数论、解析几何、概率论、微积分等领域均做出创造性工作，被称作十七世纪最伟大的法国数学家。在费马
43、对数学的多种多样的贡献中，最杰出的是对现代数论的奠基。,费马大定理：当整数n 2时，关于x,y,z的不定方程 xn+yn=zn.无正整数解。,55,与笛卡儿不同，费马工作的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作论平面轨迹，他为此写了一本题为论平面和立体的轨迹引论（1629）的书。,56,解析几何为数学创造了一种新的工具：几何概念可以用代数来表示，几何的目标可以通过代数来达到。反之，给代数语言以几何解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论。它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台。100多年后，拉格朗日谈起解析几何时还赞不绝口，在数学概要中说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门学科结合成伴侣时，它们就彼此吸取新鲜的活力。从那以后，就以快速的步伐走向完善。”17世纪以来数学的大发展在很大程度上归功于解析几何学的创立。笛卡儿、费马之后，解析几何得到很大的发展。如，沃利斯（英，16161703年）1655年圆锥曲线，抛弃综合法，引进解析法，引入负坐标；雅格布伯努利（瑞，16541705年）1691年引入极坐标；约翰伯努利（瑞，16671748年）1715年引入空间坐标系；欧拉（瑞，17071783年）1736年引入平面曲线的内在坐标。,
