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1、1,6.4.1 常见的二次曲面,第四节 二次曲面,6.4.2 坐标轴的变换,2,故球面方程为,1.球面,空间中与一个定点有等距离的点的集合叫做球面，定点叫做球心，定距离叫做半径.,特别,当Q在原点时,球面方程为,半径为,即,由于,6.4.1 常见的二次曲面,若球心为,为球面上任意一点,3,一般地,三元二次方程 x2y2z22Ax2By2CzD0的图形就是一个球面.,配方得,当 时,表球面.,当 时,表一点.,当 时,没有曲面.,4,设空间中有任意一条曲线 L,过 L 上的一点引一条直线 b，直线 b 沿 L 作平行移动所构成的,曲面叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy
2、面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,L 叫做准线,b 叫做母线.,2.柱面,5,(不含z),N,(x,y,0),S,曲面S上每一点都满足方程；,曲面S外的每一点都不满足方程,F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面,点N满足方程，故点M满足方程,一般柱面 F(x,y)=0,6,(不含x),F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面,一般柱面 F(y,z)=0,7,3.锥面,设 L 为一条已知平面曲线，B 为 L 所在平面外的一个固定点，过点 B 引直线 b 与 L 相交，直线 b 绕点 B 沿 L 移动所构成的曲面叫做锥面，
3、点 b 称作顶点，动直线叫做锥面的母线，L叫做准线.,右图为顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,8,例如:,4.旋转曲面,以一已知平面曲线 l 绕平面上一定直线旋转所成的曲面叫做旋转曲面，定直线叫做旋转曲面的轴，曲线 l的每一位置叫做这张旋转曲面的一条母线.,9,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,给定 yoz 面上曲线 C:,曲线 C,C,绕 z轴,10,曲线 C,C,绕 z轴,.,11,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,绕 z轴,.,f(y1,z1)=0,M(x,y,z),.,S,12,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转
4、时，方程如何？,13,例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,14,例4.求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,15,截痕法,用z=h截曲面,用y=m截曲面,用x=n截曲面,a,b,c,5.椭球面,16,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,17,与,的交线为椭圆：,(4)当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3)截痕:,为正数),18,6.单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,19,虚轴平行于x 轴）,时,截痕为,时,截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,20,7.双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,图形,21,截痕法,用z=a截曲面,用y=b截曲面,用x=c截曲面,8.椭圆抛物面,22,用z=a截曲面,用y=0截曲面,用x=b截曲面,截痕法,（马鞍面）,9.双曲抛物面,
