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1、第四章,空间力系,若力系中各力的作用线在空间任意分布，则该力系称为空间任意力系，简称空间力系。,本章研究的主要内容,空间力系,空间汇交力系,空间力偶系,简化,导出平衡方程。,分解,应用:重心、平行力系中心,41空间汇交力系,平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？,对空间多个汇交力是否好用？用解析法又如何？,1、力在直角坐标轴上的投影,直接投影法,间接（二次）投影法,2、空间汇交力系的合力与平衡条件,空间汇交力系的合力,合矢量（力）投影定理,方向余弦,空间汇交力系平衡的充分必要条件是：,该力系的合力等于零，即可由上式得：,称为空间汇交力系的平衡方程。,合力的大小为：,42 力对点
2、的矩和力对轴的矩,1、力对点的矩以矢量表示 力矩矢,三要素,(1）大小:力F与力臂的乘积,(2)方向:转动方向,(3)作用面：力矩作用面。,又,则,力对O点的矩在三个坐标轴的投影：,2.力对轴的矩,力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。,3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系,已知：力,力 在三根轴上的分力，力 作用点的坐标 x,y,z,求：力F对 x,y,z轴的矩,即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。,比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式：,43 空间力偶,1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢,空间力偶的三要素,（1）大小：力与力偶臂的乘积；,
3、（3）作用面：力偶作用面。,（2）方向：转动方向；,力偶矩,2、力偶的性质,力偶矩,因,（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。,(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。,（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。,=,=,=,(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。,=,=,=,=,(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。,定位矢量,力偶矩相等的力偶等效,力偶矩矢是自由矢量,自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）,滑移矢量,3力偶系的
4、合成与平衡条件,=,=,为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。,则得:,合力偶矩矢的大小和方向余弦,称为空间力偶系的平衡方程。,有,空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零，即,简写：,简化过程：,将力系向已知点 O 简化 O 点称为简化中心。,力线平移,合成汇交力系,合成力偶系,结论：,空间 一般力系,向一点O 简化,一个力偶M,一个力,作用于简化中心O,主矢与主矩,原力系的主矢,主矢与简化点O位置无关,MO称为原力系对O点的主矩,主矩与简化点O位置有关,44 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩,建立直角坐标系Oxyz，主矢FR在各坐轴上的投影分别为：,主矩MO在各坐标轴上的投影分
5、别为：,1）合力,最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为,2 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）,当 时，,当 最后结果为一个合力。,合力作用点过简化中心。,合力矩定理：合力对某点（或轴）之矩等于各分力对同一点（或轴）之矩的矢量（代数）和。,（2）合力偶,当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。,（3）力螺旋,力螺旋中心轴过简化中心,力螺旋中心轴距简化中心为,（4）平衡,当 时，空间力系为平衡力系,45 空间任意力系的平衡方程,空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。,即：,则有：,例41已知：T1=200N,T2=100N,皮带轮直径 D1=160mm，柱
6、齿圆轮节圆直径D=20mm，压力角=200求：力P大小及A、B处的反力,解：,分析：,传动轴AB匀速转动时，可以认为处于平衡状态。,以AB轴及其上的齿轮和皮带轮所组成的系统为研究对象。,解：,以AB轴及其上的齿轮和皮带轮所组成的系统为研究对象。,例42 三轮小车ABC静止于光滑水平面上，如图所示。已知：AD=BD=0.5m，CD=1.5m。若有铅垂载荷P=1.5kN，作用于车上E点，EF=DG=0.5m，DF=EG=0.1m。试求地面作用于A、B、C三轮的反力。,解：,三轮小车ABC 研究对象,受力：,P、FA、FB、FC 构成平行力系。,（1）,（2）,（3）,已知：,物重P=10kN，CE
7、=EB=DE；,，,求：杆受力及绳拉力,解：画受力图如图，列平衡方程,结果：,例43,例44,已知：,各尺寸如图,求：,及A、B处约束力,解：研究对象，,曲轴,受力：,列平衡方程,结果：,例4-5,已知：,F、P及各尺寸,求：,杆内力,解：研究对象，长方板,受力图如图,列平衡方程,例4-6,求：三根杆所受力。,已知：P=1000N,各杆重不计。,解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。,由,解得（压）,（拉）,4 6 重心 平行力系中心,一、重心的概念,物体的重量（力）：,物体每一微小部分地球引力的合力。,物体每一微小部分地球引力：构成一汇交力系，汇交点为地球中心。近似为一空间平行
8、力系。,重心：,物体每一微小部分地球引力合力 P 的作用点C。,空间平行力系的中心几何点,重心C 唯一性,二、重心位置的确定,1.一般计算公式,设合力P的作用点位置坐标为：xC、yC、zC，由合力矩定理得：,重心坐标的一般计算公式，P为物体的总重量。,设：,为微元体的质量和物体的总质量，g 为重力加速度。则有：,物体质心坐标的一般计算公式。,可见：在重力场中，重心与质心为同一几何点。,重心与质心的区别,重心：仅在重力场中存在。,质心：任何地方都存在。,2.均质物体的重心坐标积分计算,设物体内一点容重为：,单位体积的重量（N/m3），,则有：,V、V 分别为微元体和物体的体积。,均质物体的重心位
9、于物体的几何形心。,上式可表示为：,对平面图形，上式变为：,3.均质组合形状物体的重心计算,（1）对称性法,重心一定在物体的对称轴、对称面、对称中心上。,（2）组合法（叠加法）,求图示平面图形的重心。,（3）负面积法,小问题:如何设计不倒翁？,三、重心确定的实验方法,适用于非均质、形状不规则等一般物体。,（1）悬挂法,注：适用于小物体。,（2）称重法,则,有,整理后，得,若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）轮的距离？,例4-7,求：其重心坐标,已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。,解:厚度方向重心坐标已确定，,则,用虚线分割如图，,为三个小矩形，,其面积与坐标分别为,只求重心的x,y坐标即可。,例4-8,求：其重心坐标。,已知：等厚均质偏心块的,解：用负面积法，,由,而,得,由对称性，有,小圆（半径为r）面积为A3，为负值。,小半圆（半径为r+b）面积为A2,为三部分组成，,设大半圆面积为A1，,
