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1、第1章绪论1.1 复习笔记1一、通信的基本概念通信通信是指发送者（人或机器）和接收者之间通过某种媒体进行的信息传递。2消息、信息与信号（见表1-1-1）表1-1-1 消息、信息与信号二、通信系统模型1通信系统一般模型（见表1-1-2）表1-1-2 通信系统一般模型图1-1-1 通信系统一般模型2模拟通信系统模型（见表1-1-3）表1-1-3 模拟通信系统模型图1-1-2 模拟通信系统模型3数字通信系统模型（见表1-1-4）表1-1-4 数字通信系统模型图1-1-3 数字通信系统模型4数字通信的特点（见表1-1-5）表1-1-5 数字通信的特点三、通信系统分类与通信方式1通信系统的分类（见表1-
2、1-6）表1-1-6 通信系统的分类2通信方式（见表1-1-7）表1-1-7 通信方式表1-1-8 通信传输方式的分类四、信息及其度量（见表1-1-9）表1-1-9 信息及其度量表1-1-10 信息量的计算1五、通信系统主要性能指标有效性（见表1-1-11）表1-1-11 有效性2可靠性（见表1-1-12）表1-1-12 可靠性1.2 课后习题详解思考题1-1 以无线广播和电视为例，说明教材图1-3模型中信源、信宿及信道包含的具体内容是什么？ 答：（1）在无线电广播中 信源：从声音等各种消息转换而成的原始电信号； 信宿：从复原的原始电信号转换成对应的声音； 信道：载有声音和影像的无线电波，以某
3、种方式表示原始电信号。（2）在无线电视系统中 信源：从声音、影像等消息转换而成的原始电信号； 信宿：从复原的原始电信号转换成的声音、影像等； 信道：载有声音和影像的无线电波，以某种方式表示原始电信号。1-2 何谓数字信号？何谓模拟信号？两者的根本区别是什么？答：（1）数字信号是指载荷消息的信号参量仅有有限个取值的信号；模拟信号是指载荷消息的信号参量取值为连续（不可数、无穷多）的信号；（2）两者的根本区别在于载荷消息信号参量的取值是连续的还是离散可数的。时间域上的连续与否不能作为区分模拟信号和数字信号的标准。1-3 何谓数字通信？数字通信有哪些优缺点？答：（1）利用数字信号来传递信息的通信系统称
4、为数字通信系统。其中主要有信源编码与译码、数字调制与解调、同步以及加密与解密等组成部分；（2） 数字通信的优缺点： 优点：a. 抗干扰能力强，且噪声不积累。数字通信特有的抽样判决再生的接收方式使得其拥有较强的抗干扰能力；b. 传输差错可控。在数字通信系统中，可通过信道编码技术进行检错与纠错，降低误码率，提高传输质量；c. 易于加密处理，且保密性好；d. 便于存储、处理和交换；数字通信的信号形式和计算机所用的信号一致，都是二进制代码，因此便于与计算机联网，也便于用计算机对数字信号进行存储、处理和交换，可使通信网的管理和维护实现自动化、智能化；e. 易于集成，使通信设备微型化，重量减轻；f. 便于
5、构成综合数字网和综合业务数字网。采用数字传输方式，可以通过程控数字交换设备进行数字交换，以实现传输和交换的综合。 缺点：a. 可能需要较大的传输带宽；b. 对同步要求高，系统设备复杂。1-4 数字通信系统的一般模型中各组成部分的主要功能是什么？ 答：数字通信系统的一般模型中各组成部分的主要功能是：（1） 信源编码与译码功能是提高信息传输的有效性和进行模数转换；（2） 信道编码和译码功能是进行差错控制，从而增强数字信号的抗干扰能力；（3） 加密与解密的功能是保证信息的安全传输；（4） 数字调制和解调功能是把数字基带信号搬移到高频处以便在信道中传输；（5） 同步的功能是在首发双方时间上保持一致，保
6、证数字通信系统的有序、准确和可靠的工作。1-5 按调制方式，通信系统如何分类？ 答：按调制方式，通信系统分为：（1） 基带传输系统。基带传输系统是将未经调制的信号直接传送，如市内电话、有线广播，一般的无线传输很少用到基带传输系统；（2） 带通传输系统。带通传输是对各种信号调制后输出的信号。带通传输系统的应用非常广泛，无线传输领域基本上都是利用带通传输系统。1-6 按传输信号的特征，通信系统如何分类？ 答：按传输信号的特征，通信系统分为：（1） 模拟通信系统。模拟通信系统是指系统信道中所传输的信号为模拟信号的通信系统；（2） 数字通信系统。数字通信系统是指系统信道中所传输的信号为数字信号的通信系
7、统。1-7 按复用方式，通信系统如何分类？答：按复用方式，通信系统分为：（1） 频分复用。频分复用是用频谱搬移的方法使不同信号占据不同的频率范围；（2） 时分复用。时分复用是用脉冲调制的方法使不同信号占据不同的时间区间；（3） 码分复用。码分复用是用正交的编码分别携带不同的信号；（4） 波分复用。波分复用是将两种或多种不同波长的光载波信号经复用器汇合在一起并耦合到光线路中同一根光纤中进行传输；（5） 空分复用。空分复用是指让同一个频段在不同的空间内得到重复利用。1-8 单工、半双工及全双工通信方式是按什么标准分类的？解释它们的工作方式并举例说明。答：（1）单工、半双工及全双工通信方式是按照消息
8、传递的方向与时间关系分类的；（2）工作方式： 单工通信是指消息只能单向传输的工作方式，通信双方只有一个进行发送，另一个只能接受，如广播，遥测，无线寻呼等； 半双工通信是指通信双方都能进行收发信息，但是不能同时进行收发的工作方式，如使用同一载频的普通对讲机、问询及检索等； 全双工通信是指通信双方能同时进行收发消息的工作方式，如电话和计算机之间的高速数据通信等。1-9 并行传输和串行传输的适用场合及特点？答：（1）并行传输和串行传输的适用场合分别为： 并行传输一般适用于设备之间的近距离通信。比如一般的计算机内部通信； 串行传输一般适用于远距离传输。普通的通信系统都是采用串行传输。（2） 并行传输和
9、串行传输的特点分别为： 并行传输a优点：传输速度快，节省时间，无需附加设备就能实现收发双方字符同步； b缺点：需要多条通信线路，成本高。 串行传输a. 优点：只需一条通信线路，成本低；b. 缺点：传输速度慢，需要外加同步措施解决收发双方码组或字符同步。1-10 通信系统的主要性能指标是什么？答：通信系统的主要性能指标是有效性和可靠性。有效性是指信息传输的效率问题，在模拟通信系统 中，用有效传输频宽表示，数字通信中用信息传输速率来衡量；可靠性是指系统接收消息的准确程度， 即质量的好坏。1-11 衡量数字通信系统有效性和可靠性的性能指标有哪些？答：（1）衡量数字通信系统的有效性的性能指标：码元传输
10、速率和频带利用率。传输同样的信源信号，所需的传输带宽越小，频带利用率越高，有效性越好；传输同样的信源信号，所需的时间越少，即码元传输速率越大，则有效性越高；（2）衡量数字通信系统的可靠性的性能指标：差错概率。差错概率常用误码率和误信率表示。误码率是指错误接收的码元数在传输总码元数中所占的比例，更确切地说，误码率是码元在传输过程中被传错的概率；误信率又称误比特率，是指错误接收的比特数在传输总比特数中所占的比例。1-12 何谓码元速率和信息速率？它们之间的关系如何？答：（1）码元速率（RB）是指每秒钟传送码元的数目，单位为波特；信息速率（Rb）是指每秒钟传送的平均信息量，单位是bit/s；（2）码
11、元速率与信息速率的关系为：RbRBlog2M（M进制码元携带log2M比特的信息量）。信息速率总是码元速率的整数倍。1-13 何谓误码率和误信率？它们之间的关系如何？ 答：（1）误码率和误信率的定义分别为： 误码率是指码元在传输系统中被传错的概率，即错误接收的码元数在传输总码元数中所占的比例，Pe错误码元数/传输总码元数； 误信率是指码元在传输系统中被丢失的概率，即错误接收的比特数在传输总比特数中所占的比例，Pb错误比特数/传输总比特数；（2）误码率和误信率的关系：它们是描述差错率的两种不同表述。在二进制中，二者数值相等。1-14 消息中包含的信息量与以下哪些因素有关？（1） 消息出现的概率；
12、（2） 消息的种类；（3） 消息的重要程度。答：由信息论以及概率论可知，信息量的度量为：这种度量消息中信息量的方式必须能够用来度量任何消息，而与消息的种类无关。同时，这种度量方法也应该与消息的重要程度无关。因此消息中包含的信息量与（1）有关。习题1-1 已知英文字母e出现的概率为0.105，x出现的概率为0.002，试求e和x的信息量。解：e的信息量为：x的信息量为：Ielog2（1/P（e）log2P（e）log20.1053.25（bit）Ixlog2（1/P（x）log2P（x）log20.0028.97（bit）1-2 设有四个符号，其中前三个符号的出现概率分别为1/4，1/8，1/8
13、，且各符号的出现是相互独立的。试计算该符号集的平均信息量。解：因为各符号的概率之和等于1，所以第四个符号的概率为1/2，故该符号集的平均信息量为：1-3 某信源符号集由字母A、B、C、D组成，若传输每一个字母用二进制码元编码，“00”代替A，“01”代替B，“10”代替C，“11”代替D，每个二进制码元宽度为5ms。（1） 不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率；（2） 若每个字母出现的可能性分别为PA1/5，PB1/4，PC1/4，PD3/10，试计算传输的平均信息速 率。解：（1）由于每个二进制码元宽度为5ms，又一个字母由两个二进制码元组成，所以一个字母的持续时间为：则传送字
14、母的符号速率为：TB25msRB1/TB1/（25103）100（Baud）故不同字母等可能出现时，传输的平均信息速率为：RbRBlog2MRBlog24200（b/s）（2）该信号源符号集的平均信息量为：故传输的平均信息速率为：RbRBH1001.985198.5（b/s）1-4 一部电话机键盘上有10个数字键（09）。设发送数字1的概率为0.3，发送数字3和8的概率分别为0.14，发送数字2，4，5，6，7，9和0的概率分别为0.06，试求：（1） 每键的平均信息量（熵）；（2） 如果按键速率为2个/s，试计算传送的信息速率。解：（1）每键的平均信息量为：（2）由题可知，RB2个/s，故传
15、送的信息速率为：RbRBH23.026.04（b/s）1-5 设某信源的输出由128个不同的符号组成。其中16个出现的概率为1/32，其余112个的出现概率为1/224。信源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信源的平均信息速率。解：每个符号的平均信息量为：又已知符号速率RB1000Baud，故平均信息速率为：RbRBH10006.4056.405103（b/s）1-6 设二进制数字传输系统每隔0.4ms发送一个码元。试求：（1） 该系统的信息速率；（2） 若改为传送十六进制信号码元，发送码元间隔不变，则系统的信息速率变为多少？（设各码元独立等概率出现）解：（1）由题可知，码元
16、宽度TB0.4ms，则码元速率RB1/TB2500Baud。又二进制系统的信息速 率等于码元速率，故该系统的信息速率为：RbRBlog222500（b/s）（2）由于码元间隔（码元宽度）不变，则码元速率也不变，仍为2500Baud，故传送十六进制码元时，系统的信息速率为：RbRBlog2162500410000（b/s）1-7 某信源符号集由A，B，C，D和E组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为1/4，1/8，1/8，3/16和5/16。若每秒传输1000个符号，试求：（1）该信源符号的平均信息量；（2）1h内传送的平均信息量；（3）若信源等概率发送每个符号，求1h传送的信息量。解：（1
17、）该信源符号的平均信息量（熵）为：（2） 已知RB1000Baud，所以该信源符号的平均信息速率为：RbRBH10002.232.23103（b/s）则1h传送的平均信息量为：IRbt2.2310336008.028106（bit）（3） 等概率发送时的信源熵为：Hmaxlog2Mlog253.32lg52.33b/符号此时平均信息速率最大，故1h传送的信息量为：IRbmaxt（RBHmax）t10002.3336008.352106（bit）1-8 设某四进制数字传输系统的信息速率为2400b/s，接收端在0.5h内共收到216个错误码元，试计算该系统的误码率Pe。解：已知信息速率Rb240
18、0b/s，则码元速率为：RBRb/log2M2400/log241200（Baud） 所以0.5h（1800s）内传送的码元个数为：NRBt120018002.16106（个）又错误码元数Ne216个，所以误码率Pe为：PeNe/N216/（2.16106）1041.3 名校考研真题详解一、填空题1通信系统中，发出待传送信息的主体称为信源，该信息的接受者称为信宿，而传送信息的通道称为 。北科2011研【答案】信道【解析】通信系统主要由信源、信道、信宿组成，信源的作用是把将各种可能的消息转换成原始电信号，信道负责传送由原始电信号转换而来的信号，信宿则将原始电信号转换成相应的消息。2信源编码是降低
19、信号中 的编码，目的是提高通信系统的 ；信道编码是增加信号中 的编码，目的是提高通信系统的 。南京大学2010研【答案】信息冗余度；有效性；信息冗余度；可靠性【解析】信源中存在一些不必要传送的信息，因此信源也就存在进一步压缩其信息速率的可能性，信源编码是降低信号中的信息冗余度，提高系统的有效性；由于实际信道存在噪声和干扰的影响，使得信息在传送过程中出现差错，信道编码是依靠增加信息冗余度，提高系统的可靠性。3一离散信源输出二进制符号，在 条件下，每个二进制符号携带1比特信息量；在 条件下，每个二进制符号携带的信息量小于1比特。北科2010研【答案】等概；不等概【解析】离散信源的熵 。若X为离散二
20、进制信源，且等概时，信源的熵H（X）达到最大值为log2（1/2）1；当信源X不等概率时，信息熵H1（X）1。4若离散信源输出16进制独立等概随机序列，则此信源输出的每个符号所包含的平均信息量 。若16进制符号不是等概出现，则此信源输出的每个符号所包含的平均信息量 。北科2010研【答案】等于4比特；小于4比特【解析】M进制的独立等概离散随机信源的熵H0（X）log2M bit/符号；当信源不等概时，信源的熵H1（X）H0（X）。5数字通信系统中，传输的信息速率与系统带宽的比值称为 。北科2011研【答案】频带利用率【解析】单位带宽内的传输速率称为频带利用率，即RB/B（B/Hz）。二、判断题
21、我们使用的手机可以发也可以接收信号，因此属于全双工通信方式。（）南邮2010研【答案】对【解析】全双工通信方式是指任意时刻，都能够两边同时通信，可以同时接收或者发送数据。手机既可以在同一时刻接收消息，也可以发送消息，因此是全双工通信方式。三、选择题1十六进制数字信号的传码率是1200B，则传信率为（）；如果传信率不变，则八进制传码率为（ ）。南邮2010、2009研A1600 b/s，1200B B1600b/s，3200B C4800b/s，2400B D4800b/s，1600B【答案】D【解析】十六进制数字信号的传信率为：传信率不变，则八进制传码率为：RbRBlog2164800b/sR
22、BRb/log284800/31600B2一个事件的发生概率越（），所含信息越（）。南邮2009研 A高；高B大；大C大；丰富D小；大【答案】D【解析】一个事件x发生的概率为P（x），则它所携带的信息量为：Ilog2P（x），由此可知：一个事件发生的概率越小，信息量越大。四、简答题试从通信系统原理出发分析通信系统采用数字信号的优点，并讨论数字通信系统的主要性能指标。南京大学2010研答：（1）如果电信号的参量仅可能取有限个值，则称之为数字信号。利用数字信号来传送信息的通信系统为数字通信系统，其主要优点有： 抗干扰能力强，且噪声不累积。数字通信系统中传输的是离散取值的数字波形，接收端的目标不是精
23、确地还原被传输的波形，而是从受到噪声干扰的信号中判决出发送端所发送的是哪一个波形； 传输差错可控。在数字通信系统中，可通过信道编码技术进行检错与纠错，降低误码率，提高传输质量； 便于用现代数字信号处理技术对数字信息进行处理、变换、存储。这种数字处理的灵活性表现为可以将来自不同信源的信号综合到一起传输； 易于集成，使通信设备微型化，重量轻； 易于加密处理，且保密性好。（2）通信系统的性能指标包括有效性、可靠性、适应性、标准性、经济性等。 数字通信系统的有效性可用传输速率和频带利用率来衡量。码元传输速率：单位时间内传送码元的数目；信息传输速率：单位时间内传送的平均信息量或比特数； 频带利用率：单位
24、带宽内的传输速率。 可靠性可用差错率来衡量。差错率常用误码率和误信率表示。误码率：错误接收的码元数在传输总码元数中所占的比例；误信率：错误接收的比特数在传输总比特数中所占的比例。五、计算题1已知一信源（见表1-3-1）表1-3-1试求：（1） 信源熵H（X）？（2） 若进行Huffman编码，试问如何编码？并求编码效率？北科2011研；南京大学2010研 解：（1）信源熵为：（2）如表1-3-2所示。表1-3-2哈夫曼码的平均码长为：编码效率为：H（X）/K1。2某信源的符号集由A、B、C、D和E组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为1/4，1/8，1/8，3/16和5/16；信源以100
25、0Baud速率传送信息。（1） 求传送1小时的信息量；（2） 求传送1小时可能达到的最大信息量。北京航空航天大学2007研 解：由题可知，当PAPBPCPDPE1/5时，信息量最大。（1） 信源熵为：平均信息速率为：1小时传输的信息量为：RbRBH（X）10002.232.23103（bit/s） I2.2310336008.028（Mbit）（2） 等概时信息源熵为最大值，即Hmaxlog252.322（bit/符号）1小时传输的最大信息量为：Imax2.32210036008.359（Mbit）3已知两个二进制随机变量X和Y服从下列联合分布。试求信源熵H（X）、信宿熵H（Y）、条件熵H（X
26、|Y）及联合熵H（X，Y）。北科2007研P（XY0）P（X0，Y1）P（XY1）1/4解：由题可知，X的概率分布为：Y的概率分布为：根据熵的求导公式可得信源熵为：P（X0）P（X1）1/2 P（Y0）P（Y1）1/2所以条件熵为：联合熵为：H（X）（2log22）/21（bit/符号） H（Y）（2log22）/21（bit/符号）H（X，Y）H（X）H（X|Y）2bit/符号4设信息源符号“0”和“1”组成，且统计独立。如果消息传输速率是1000symbol/s，且“0”出现的概率为3/8，“1”出现的概率为5/8，此信道误码率为0.02。试求：（1） 该信道的信息传输速率R？（2） 该信
27、道的信道容量C？ 南邮2004研解：（1）X的熵为：接收到信号Y的概率分布为：Y的熵及条件熵为：P（0）（3/8）0.98（5/8）0.020.38 P（1）（5/8）0.98（3/8）0.020.62互信息为： 所以I（Y，X）H（Y）H（Y|X）0.818bit/symbol R1000I（Y，X）818bit/s（2）信道容量即为此信道传输的最大互信息速率，当X、Y等概时，I（Y，X）最大，为：I（Y，X）H（Y）H（Y|X）1H（Y|X）0.86（bit/符号） 故而信道容量为：C0.861000860（bit/s）5一个由字母A、B、C、D组成的字，对于传输的每一个字母用二进制脉冲编
28、码，00代替A，01代替B，10代替C，11代替D，每个脉冲的宽度为5ms。（1） 不同的字母是等概出现时，试计算传输的平均信息速率；（2） 若每个字母出现的可能性分别为：PA1/5，PB1/4，PC1/4，PD3/10。试计算传输的平均信息 速率。北京邮电大学2005研解：（1）由公式得，每个字母的信息量为：又由于每个脉冲的宽度为5ms，每个字母用2个脉冲表示，所以字母的传输速率为：Rs1/（25103）100（symbol/s）平均信息速率为：RbRsH（X）2100200（bit/s）（2）在如题所述的概率下，每个符号的平均信息量为：故而平均信息速率为：RbRbH（X）1.9851001
29、98.5（bit/s）第2章确知信号2.1 复习笔记一、确知信号（见表2-1-1）表2-1-1 确知信号1二、确知信号的频域性质功率信号的频谱设一个周期性功率信号s（t）的周期为T0，则将其频谱函数定义为：注：周期性信号的傅里叶级数2能量信号的频谱密度能量信号s（t）的傅里叶变换，即能量信号的频谱密度S（f）和周期信号的频谱函数Cn的主要区别为：（1）S（f）是连续谱，Cn是离散谱；（2）S（f）的单位是伏/赫兹（V/Hz），而Cn的单位是伏（V）。3能量信号的能量谱密度（见表2-1-2）表2-1-2 能量信号的能量谱密度4单位冲激函数（1） 函数的定义：（2） 函数的特性：频谱密度为1。5功
30、率信号的功率谱密度（1） 离散功率谱其中，|Cn|2为第n次谐波的功率，可以称为信号的（离散）功率谱。（2） 连续功率谱信号的功率谱密度P（f）为：三、确知信号的时域性质1能量信号的自相关函数（见表2-1-3）表2-1-3 能量信号的自相关函数2功率信号的自相关函数（见表2-1-4）表2-1-4 功率信号的自相关函数3能量信号的互相关函数（见表2-1-5）表2-1-5 能量信号的互相关函数4功率信号的互相关函数（见表2-1-6）表2-1-6 功率信号的互相关函数2.2 课后习题详解思考题2-1 何谓确知信号？答：确知信号是指其取值在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何
31、时间的取值。例如，振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号。2-2 试分别说明能量信号和功率信号的特性。答：（1）能量信号的能量为一个有限正值，但其平均功率等于零；（2）功率信号的能量为无穷大，其平均功率为一个有限正值。2-3 试用语言（文字）描述单位冲激函数的定义。答：单位冲激函数是指宽度无穷小，高度为无穷大，积分面积为1的脉冲，且频谱密度为1。其仅有理论上的意义，是不可能物理实现的一种信号。2-4 试画出单位阶跃函数的曲线。答：如图2-2-1所示。图2-2-12-5 试述信号的四种频率特性分别适用于何种信号。答：（1）功率信号的频谱适用于周期性的功率信号；（2） 能量信号的
32、频谱密度适用于能量信号；（3） 能量信号的能量谱密度适用于能量信号；（4） 功率信号的功率谱密度适用于功率信号。2-6 频谱密度S（f）和频谱C（jn0）的量纲分别是什么？答：频谱密度的量纲是伏特/赫兹（V/Hz）；频谱的量纲是伏特（V）。2-7 自相关函数有哪些性质？ 答：自相关函数的性质：（1） 自相关函数是偶函数；（2） 与信号的能量谱密度函数或功率谱密度函数是傅立叶变换对的关系；（3） 当0时，能量信号的自相关函数R（0）等于信号的能量，功率信号的自相关函数R（0）等于信号的平均功率。2-8 冲激响应的定义是什么？冲激响应的傅里叶变换等于什么？答：（1）冲激响应的定义：输入为单位冲激函
33、数时系统的零状态响应，一般记作h（t）；（2）冲激响应的傅里叶变换等于系统的频率响应，即H（f）。习题2-1 试判断下列信号是周期信号还是非周期信号，能量信号还是功率信号：（1）s1（t）etu（t）（2）s2（t）sin（6t）2cos（10t）（3）s3（t）e2t解：若0E，而功率P0，则为能量信号；若能量E0，而0P，则为功率信号。（1） s1（t）etu（t）的能量为：而功率为：所以s1（t）是能量信号，也是非周期信号。（2） 满足两个周期信号相加后仍是周期信号的条件为TmT1nT2，其中m、n为正整数。该信号中sin（6t）的周期为T12/（6）1/3，2cos（10t）的周期为T
34、22/（10）1/5，则T1和T2的最小公倍数为：TmT1nT23T15T22因此，s2（t）是周期为2的周期信号，而周期信号必然是功率信号。（3） s3（t）e2t的能量为：而功率为：由上可知，s3（t）既不是能量信号也不是功率信号，也是非周期信号。2-2 试证明图2-2-2中周期性信号可以展开为图2-2-2证明：取区间1/2t3/2作为一个周期进行计算，并令周期T02。由教材式（2.2-1）可得：将上式代入教材式（2.2-2），得：所以得证。2-3 设信号s（t）可以表示成试求：s（t）2cos（2t） t（1） 信号的傅里叶级数的系数Cn；（2） 信号的功率谱密度。解：（1）由题可知，信
35、号的振幅A2，基频f01，周期T01，且由教材式（2.2-1）得信号s（t）的傅里叶级数的系数为：得：由上式可知，只有n1时，Cn0，可以得出Cn1，n1。（2）由教材式（2.2-44）可得s（t）的功率谱密度为：2-4 设有一信号如下：试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：（1）x（t）的能量为：因此x（t）是能量信号。（2）对x（t）进行傅里叶变换，可得其频谱密度为：所以故x（t）的能量谱密度为：|X（f）|24/（142f2）2-5 求图2-2-3所示的单个矩形脉冲（门函数）的频谱（密度）、能量谱密度、自相关函数及其波形、信号能量。图2-2-3解：对s（t）进
36、行傅里叶变换，可得其频谱函数为：则s（t）的能量谱密度为：已知能量信号的自相关函数和其能量谱密度是一对傅里叶变换。利用时域卷积特性可得，s（t）的自相关函数R（）为高为A、宽为T的两个门函数的卷积，即其波形如图2-2-4所示所以s（t）的能量为：图2-2-42-6 设信号s（t）的傅里叶变换为S（f）sin（f）/（f），试求此信号的自相关函数Rs（）。 解：方法1：该信号的能量谱密度为：其中显然s（t）是一个门函数。利用时域卷积定理，可得自相关函数Rs（）为：方法2：由自相关函数定义式，并参照图2-2-5。可得：图2-2-52-7 已知信号s（t）的自相关函数为（1） 试求其功率谱密度Ps（
37、f）和功率P；（2） 试画出Rs（）和Ps（f）的曲线。解：（1）信号s（t）的功率谱密度Ps（f）为：且功率P为：PRs（0）k/2（2）Rs（）和Ps（f）的曲线如图2-2-6所示。图2-2-62-8 已知信号s（t）的自相关函数R（）是周期T2的周期性函数，其在区间（1，1）上的截断函数为RT（）111 试求s（t）的功率谱密度P（f）并画出其曲线。解：s（t）的自相关函数可表示为：R（）RT（）*T（）其中RT（）PT（f）Sa2（f）已知功率信号的自相关函数和其功率谱密度是一对傅里叶变换。利用时域卷积特性，可得s（t）的功率谱密度为：其波形如图2-2-7所示。图2-2-72-9 （1
38、）求正弦信号c（t）sin（0t）的频谱（密度）；（2）已知s（t）S（），试求x（t）s（t）sin（0t）的频谱（密度）。 解：（1）由欧拉公式可知利用12（）和傅里叶变换的频移特性，可得正弦信号的频谱为：C（）j（0）（0）（2）方法一：由（1）的结果和频域卷积定理，可得：s（t）sin（0t）S（0）S（0）/（2j）方法二：因为所以根据傅里叶变换的频移特性可直接得：s（t）sin（0t）S（0）S（0）/（2j）2.3 名校考研真题详解计算题随机信号X（t）Acos（0t），已知随机变量A统计特性为N（1，1），是（，）内均匀分布 的随机变量，且A与统计独立。（1） 判断X（t）广义
39、平稳性并给出证明；（2） 计算X（t）的协方差函数及相关系数；（3） 计算X（t）的平均功率及功率谱密度。北京交通大学2007研 解：（1）因为随机变量A的统计特性为N（1，1），所以E（A）1，D（A）1又因为所以由于均值为：自相关函数为：D（A）EA2E2AEA2D（A）E2A1122 EX（t）EAcos（0t）EAEcos（0t）0EX（t）X（t）EA2Ecos（0t）cos（0t0）cos（0）EA2/2cos（0）由于DAEA2E2A，所以EA2DAE2A，故X（t）的均值为0，自相关函数仅与时间差有关，即X（t）为平稳随机过程。（2）协方差函数为：Cx（t1，t2）EX（t1）
40、EX（t1）X（t2）EX（t2）EX（t1）X（t2） EX（t1）EX（t2）EAcos（0t1）Acos（0t2）EA2Ecos（0t1）cos（0t2） cos0（t1t2）因为自相关系数为：（3）X（t）的平均功率为：SRX（）|0cos（0）|01自相关系数与其功率谱密度互为傅里叶变换，即PX（）R（），而R（）cos（0），所以功率 谱密度为：第3章随机过程3.1 复习笔记一、随机过程的基本概念1随机过程的定义及统计特性（见表3-1-1）表3-1-1 随机过程的定义及统计特性2随机过程的数字特征（见表3-1-2）表3-1-2 随机过程的数字特征二、平稳随机过程1平稳随机过程（见表
41、3-1-3）表3-1-3 平稳随机过程2各态历经性（1） 各态历经性的定义如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。（2） 各态历经性与平稳随机过程的关系3平稳过程的自相关函数（见表3-1-4）表3-1-4 平稳过程的自相关函数4平稳过程的功率谱密度（见表3-1-5）表3-1-5 平稳过程的功率谱密度三、高斯随机过程（见表3-1-6）表3-1-6 高斯随机过程表3-1-7 一维概率密度函数表3-1-8 正态分布函数图3-1-1 正态分布的概率密度1四、平稳随机过程通过线性系统输出随机过程的表达式输入与输出随机过程应满足2输出过程的统计特性（见表3-1-9）表3-1-9 输出的统计特性五、窄带随机过程（见表3-1-10）表3-1-10 窄带随机过程六、正弦波加窄带高斯噪声1正弦波加窄带高斯噪声的表示设正弦波加窄带高斯噪声的混合信号为：2正弦波加窄带高斯噪声的参量（见表3-1-11）表3-1-11 正弦波加窄带高斯噪声的参量3正弦波加窄带高斯噪声的统计特性（见表3-1-12）表3-1-12 正弦波加窄带高斯噪声的统计特性1七、高斯白噪声和带限白噪声白噪声（见表3-1-13）表3-1-13 白噪声（1）低通白噪声（见表3-1-14）表3-1-14 低通白噪声（2）带通白噪声（见表3-1-15）图
