比和比例奥数讲义.doc

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1、比和比例在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。成正比或反比的量中都有两种相关联的量一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k如成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xyk，那么y与x成反比例如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？速度一定，路程与时间路程一定，速度与

2、时间路程一定，已走的路程与未走的路程总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间总产量一定，亩产量和播种面积整除情况下被除数一定，除数和商同时同地，竿高和影长半径一定，圆心角的度数和扇形面积两个齿轮啮合转动时转速和齿数圆的半径和面积(11)长方体体积一定，底面积和高(12)正方形的边长和它的面积(13)乘公共汽车的站数和票价(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量分析 以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关

3、系，那么这两种量就不成比例例如零件数总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例解：成正比例的有：、(15)成反比例的有：、(11)、(14)不成比例的有：、(12)、(13)例2 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是456，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？分析 要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又

4、知道上坡、平路、下坡三段路程比是123，就可以求出上坡路的路程解：上坡路的路程： 60=10（千米）走上坡路用的时间： 103=（小时）上坡路所用时间与全程所用时间比： 走完全程所用时间： =（小时） 答：此人走完全程共用小时。例3 一块合金内铜和锌的比是23，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？分析 要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量应该注意到铜和锌的比是23时，合金的重量不是36克，而是（366）克铜的重量始终没有变解：铜和锌的比是23时，合金重量： 36630（克）铜的重量： 30=12（克）新合金中锌的重量： 361224（克）新合金内铜

5、和锌的比：122412答：新合金内铜和锌的比是12例4 师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？ 分析 师傅加工一个零件用5分钟，每分钟可加工个零件；徒弟加工一个零件用9分钟，每分钟可加工零件个。师、徒两人效率的比是：，由于两人的工作时间是一定的，根据（一定），工作量与工作效率成正比例解法1：设师傅加工x个，徒弟加工（168x）个 解得 x108168x16810860（个）答：师傅加工108个，徒弟加工60个解法2：由于师、徒两人工作效率的比是，那么他们工作量的比也是，因此师傅工作量是徒弟工作量的=（倍），徒弟的工作量

6、为1倍量。 168（1）=60（个）（徒弟） 60（）=108（个）（师傅）解法3：师傅每分钟加工个，徒弟每分钟加工个，用相遇问题思考方法可求出两人各用了多少分钟。然后用师、徒每分钟各自的效率，分别乘以540就是各自加工零件的个数。 168（）=540（分钟） 540=108（个） 540=60（个）解法4：按比例分配做。 ：=9：5 168=108（个） 168=60（个）例5 洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25，完成计划还要多少天？分析 这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数从工效看，有原来的效率16002080台/

7、天，又有提高后的效率 80（125）100台/天从时间看，有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数根据工效和工时成反比例的关系，得：提高后的效率所需天数剩下的台数解法1：设完成计划还需x天160020（125%）x16001600205801.25x1600400 100x1200 x12答：完成计划还需12天解法2：此题还可以转化成正比例根据实际效率是原来效率的125%=倍，把原来效率看成“1”，实际和原来效率的比是：1=5：4。因为工效和工时成反比例，所以实际与原来所需时间的比是45，如果设实际还需要x天，原来计划的天数是20515天，根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比，

8、可以用正比例解答设完成计划还需x天 = 解得x12解法3：（按工程问题解）设完成计划还需x天 （125%）=15 解得 例6 一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？画出图便于解题： 解法1：BC的长：1821314（厘米），BD的长：141327（厘米），从图中看出AB长就是原长方形的宽，AD与AB的比是145，AB与BD的比是5（145）59， AB的长是27=15（厘米） AD的长是15=42（厘米）原长方形面积是4215630（平方厘米）答：原长方形面积是630平方厘米解法2：设原长方形长为14x，宽

9、为5x由图分析得方程 （14x13） 135x13182， x3则原长方形面积： （143）（53）630（平方厘米）例4、例5、例6是综合性较强的题，介绍了几种不同解法要求大家从不同角度、综合、灵活运用所学知识，多角度去思考解答应用题，从而提高自己思维判断能力。习题1一块长方形的地，长和宽的比是32，长比宽多24米，这块地的面积是多少平方米？2一块长方形的地，长和宽的比是32，长方形的周长是120米，求这块地的面积？3水果店运来橘子、苹果共96筐，橘子和苹果筐数的比是53，求橘子、苹果各是多少筐？4化肥厂计划生产化肥1400吨，由于改进技术5天就完成了计划的25，照这样计算，剩下的任务还需多

10、少天完成？5小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和裤子各一件，他们用去钱数的比是43，已知一件上衣7元，求一条裤子多少元？ 6，小刚读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了6页，这时已读的页数与剩下的页数的比是3：7。小刚再读多少页就能读完这本书？7甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲乙两车速度比是2：3，已知甲车走完全程用小时。求两车几小时后在中途相遇？8“长江”号轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行4公里，第二次在同一河流中顺流航行12公里，逆流航行7公里，结果两次所用的时间相等求顺水船速与逆水船速的比。一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比

11、或者其他数量关系，求出新的比.例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是32，乙的长与宽之比是75.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是2.甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面积之比是864875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是107.求上底AB与下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比ABCD=三角形ABC的面积三角形ADC的面积=（10-7）（72）= 314.答：ABCD=314.两数之比，可以看作一

12、个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.例3大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.解：大杯与中杯容量之比是52=104，中杯与小杯容量之比是43，大杯、中杯与小杯容量之比是1043.=（102+43+34）（105+44+33）=4475.答：两者容量之比是4475.把52与43这两个比合在一起，成为三样东西之比1043，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.甲乙=35，乙丙=74，35=3757=2135，74=7545=3520，甲乙丙=213520.

13、花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，连比后是甲乙丙=21631632=324863.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是6份.x=54.乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是 65=3025.甲乙丙=302526.答：甲、乙、丙的长度之比是302526.于利用已知条件65，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一

14、：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲乙丙=151110.平均数是（15+11+10）3=12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.例7一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加

15、23，分母加32，解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比23.因此例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是7003=2100分钟）=35小时 .答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题.例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是1411，

16、会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：1213，乙：53，丙：21，那么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是1002=50（人）.乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 （人）.答：丙组有12名男会员.上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔例10一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是123.小龙走各段路程所用时间之比依次是456.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走

17、完全程所用时间答：小龙走完全程用了10小时25分.上面是通常思路下解题.123计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时设小龙走完全程用x小时.可列出比例式二、比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.例11甲、乙两同学的分数比是54.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是57.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=1

18、2份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.54=（54）（44）=2016.57=（53）（73）=1521.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来甲得22.5520=90（分），乙得 22.5516=72（分）.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.（5x-22.5）（4x+22.5）=57即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=1222.5x=18.甲

19、原先得分185=90（分），乙得184=72（分）.解：其他球的数量没有改变.增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5（14-5）=59.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1（3-1）=12=4.59.因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.现在总球数是答：现在共有球224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把12写成4.59，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：（x+8）2x=59.例13张家与李家的收入钱数之比是85，开支的钱数之比是83，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是85，

20、那么结余的钱数之比也应是85.张家结余240元，李家应结余x元.有240x=85，x=150（元）.实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是85中5份与83中3份的差，每份是120（5-3）=60.（元）.因此可求出答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.我们画出一个示意图：张家开支的3倍是（8份-240）3.李家开支的8倍是（5份-270）8.从图上可以看出58-83=16份，相当于2708-2403=1440（元）.因此每份是144016=90（元）.张家收入是908=720（元），李家收入是90

21、5=450（元）.本题也可以列出比例式：（8x-240）（5x-270）=83.然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.例14A和B两个数的比是85，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.85，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是21，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即21=63，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是342=17.A数是178=136，B数

22、是175=85.答：A，B两数分别是136与85.本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的21，改写成84.例15小明和小强原有的图画纸之比是43，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是52.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-14=11（张）.小明原有图画纸115-15=40（张），小强原有图画纸112+8=30（张）.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我

23、们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）43=201552=208.但现在是208，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：从图上可以看出，35-42=7（份）相当于图画纸152+85=70（张）.因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的

24、解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点等需要时间是答：这两支蜡烛点了3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉

25、的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.例17箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7321只，最后应剩 33 9只.因此.共取了（51- 33）（73-15） 7（次）.红球有 157 53 158（只）.白球有

26、 77352（只）.原来红球比白球多 158-52106（只）.答：箱子里原有红球数比白球数多106只.三、比例的其他问题，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：（甲-7）乙= 23.因此，有些分数问题，就是比例问题.加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？答：这些画片有261张.解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是样重，就有因此原有水的重量是答：容器中原来有8.4千克水.例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要

27、把分数写成比，计算就方便些.例20有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子堆中拿到 A堆黑子、白子各多少个？子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）10031.再要从 B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持31的比.现在 A堆已有黑子 350 100 450个），与已有白子500个，相差从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合31这个比，要拿出白子数是50（3-1）25（个）.再要拿出黑子数是 253 75（个）.答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个.人，问高、初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图：6-51，相当于图中相差 17

28、-125（份），初中总人数是 5630份，因此，每份人数是520（30-17）= 40（人）.因此，高、初中毕业生共有40（1712） 1160（人）.答：高、初中毕业生共1160人.计算出每份是例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用.下的钱共有多少元？解：设钢笔的价格是1.这样就可以求出，钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答：张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一

29、计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（17071783）提出的问题.们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使（1 5） A（3 2） B100，或简写成 6A5B100.就恰好符合均价是1.类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A5， B 4， 65 5450，50是 100的约数，符合

30、要求.A5，猪 5头，绵羊 25头，B=4，山羊12头，绵羊8头.猪山羊绵羊=512（258）.现在已把15和32两种比，组合在一起通常称为混合比.要注意，这样的问题常常有多种解答.A= 5， B14或 A15，B2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是54253或15679.答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧.通常求混合比可列下表：下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.例24某商品76件，出售给33位顾

31、客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10，买 3件降价 20.最后结算，平均每件恰好按原定价的 85出售，那么买3件的顾客有多少人？解：题目已给出平均数 85，可作比较的基准.1人买3件少 53；1人买2件多 52；1人买1件多 15 1.1人买3件与1人买1件成A组，即按11比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按23的比例.A组是2人买4件，每人平均买2件.B组是5人买12件，每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.B组人数是（76-233）（24-2） 25（人），A组人数是 33-258（人），其中买 3件4人，买 1件4人.10 4 14（人）.答：买3件的顾客有14位.建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B33，还要从买的件数考虑满足 4A12B76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比