浙教版八年级数学下册-第1章-二次根式-知识点总结.doc

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1、知识点一:二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义【例2】若式子有意义,则x的取值范围是 举一反三:1、使代数式有意义的x的取值范围是 2、如果代数式有意义,那么,直角坐标系中点P(m,n)的位置在()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=+2009,则x+y= 解题思路:式子(a0), ,y=2009,则x+y=2014举一反三: 1、若,则xy的值为( )A1 B1 C2 D33、当取什么值时,代数式取值最小,并求出这个最小值。已知a是整数部分,b是 的小数部分,求的值。若的整数部分为x,小数部

2、分为y,求的值.知识点二:二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性:是一个非负数 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到2. 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:3. 注意:(1)字母不一定是正数(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替 (3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外 4. 公式与的区别与联系 (1)表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数(2)表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数 (3)和的运算结果都是非负的【典型例题】 【例4】若则

3、 举一反三:1、已知直角三角形两边x、y的长满足x240,则第三边长为.2、若与互为相反数,则。 (公式的运用)【例5】 化简:的结果为( )A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三: 3已知直角三角形的两直角边分别为和,则斜边长为 (公式的应用)【例6】已知,则化简的结果是A、 B、C、D、 举一反三: 2、化简得( )(A)2(B)(C)2(D)3、已知,化简求值:【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简ab+ 的结果等于( ) A2b B2b C2a D2a举一反三:实数在数轴上的位置如图所示:化简:【例8】化简的结果是2x-5,则x的取值范围是( )(A

4、)x为任意实数 (B)x4 (C) x1 (D)x1举一反三:若代数式的值是常数,则的取值范围是( )或【例9】如果,那么a的取值范围是( ) A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a1 举一反三:1、如果成立,那么实数a的取值范围是( )2、若,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)【例10】化简二次根式的结果是(A) (B) (C) (D)1、把根号外的因式移到根号内:当0时, ; 。知识点三:最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式:(1)最简二次根式的定义:被开方数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的数或因式2、同类二次根式(可合并

5、根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。【典型例题】 【例11】下列根式中能与是合并的是( )A. B. C.2 D. 举一反三:1、下列各组根式中,是可以合并的根式是( ) A、 B、 C、 D、2、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式, 则a=_.知识点四:二次根式计算分母有理化【知识要点】 1分母有理化定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。2有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: 单项二次根式:利用来确定,如:,与等分

6、别互为有理化因式。两项二次根式:利用平方差公式来确定。如与,分别互为有理化因式。3分母有理化的方法与步骤: 先将分子、分母化成最简二次根式; 将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】 【例12】 把下列各式分母有理化(1) (2) 举一反三:1、已知,求下列各式的值:(1)(2)知识点五:根式比较大小【知识要点】 1、根式变形法 当时,如果,则;如果,则。2、平方法 当时,如果,则;如果,则。3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适

7、当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:;8、求商比较法它运用如下性质:当a0,b0时,则:; 【典型例题】 【例13】 比较与的大小。 【例14】比较与的大小。【例15】比较与的大小。 【例16】比较与的大小。已知:,求的值二次根式和一元二次方程经典练习题1. 把的根号外的因式移到根号内等于 。2. 若与互为相反数,则。3. 若,则等于( )A. B. C. D. 4. 若,则化简后为( )A. B. C. D. 5. 计算:的值是( )A. 0 B. C. D. 或6. 若成立,则x、y符合的条件是( )A. x0,y0B. x

8、0,y为一切实数C. x0,y0D. 以上都不对7. 若和都是最简二次根式,则。8. 已知,化简二次根式的正确结果为( ) A. B. C. D. 9. 若,则化简的结果是( ) A. B. C. 3 D. -310. 若,则的值等于( ) A. 4 B. C. 2 D. 11. 若的整数部分为,小数部分为,则的值是( ) A. B. C. 1 D. 312.若最简二次根式与是同类二次根式,则。若最简二次根式与是同类二次根式,则。13、以-3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 14、如果是一个完全平方式,则_15、已知是一元二次方程的两个实数根,且,则m=_16、已知是方程的两实根,是否

9、能适当选取a的值,使得的值等于_17、关于x的二次方程的两根一个比1大,另一个比1小,则m的取值范围是_18、已知二次方程的两根都是负数,则k的取值范围是_19、方程的两个实根,且这两根的平方和比这两根之积大21,那么m = _20、一元二次方程的两实根之差是3,则21、已知实数满足,那么的值是( ) (A)1或-2 (B)-1或2 (C)1 (D)-222、关于x的方程的两实根满足,则的值是( )(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)-1523、已知、为ABC的三边,试判断关于的方程的根的情况24、 已知是关于x的方程的两个实根,k取什么值时,25、已知关于的方程有两个不相等的实数根、,且(1)求证:(2)试用的代数式表示(3)当时,求的值26、 已知:是关于的方程的两个实数根且,求的值27、已知关于的一元二次方程(1)求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根(2)若方程两根为,且满足,求的值28、 已知关于的方程的两根是一个矩形两邻边的长(1)取何值时,方程在两个实数根;(2)当矩形的对角线长为时,求的值29. 。30. 计算及化简:. (2) 31、已知:,求的值。32、已知:,求的值。33、已知:为实数,且,化简:。34、已知的值。

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