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1、初三数学 有关圆的经典例题 1. 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示， 过O作ODAB于D，过O作OEAC于E， OAD=30，OAE=45，故BAC=75， 当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示， 同理可知OAD=30，OAE=45， BAC=15 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：ABC的顶点A、B在O上，O的半径为R，O与AC交于D， （1）求证：ABC是直角三角形； 分析：则AF=FB，ODAB，可
2、证DF是ABC的中位线； （2）延长DO交O于E，连接AE，由于DAE=90，DEAB，ADF 解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E 又AD=DC ABBC，ABC是直角三角形。 （2）解：连结AE DE是O的直径 DAE=90 而ABDE，ADFEDA 例3. 如图，在O中，AB=2CD，那么（ ） 分析： 解：解法（一），如图，过圆心O作半径OFAB，垂足为E， 在AFB中，有AF+FBAB 选A。 解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE 在CDE中，有CD+DECE 2CDCE AB=2CD，ABCE 选A。 例4. 求CD的长。 分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分
3、ADC，延长AB、DC交于E，易得EBCEDA，又可判定AD是O的直径，得ABD=90，可证得ABDEBD，得DE=AD，利用EBCEDA，可先求出CE的长。 解：延长AB、DC交于E点，连结BD O的半径为2，AD是O的直径 ABD=EBD=90，又BD=BD ABDEBD，AB=BE=1，AD=DE=4 四边形ABCD内接于O， EBC=EDA，ECB=EAD 例5. 于H，交O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。 （1）当PCF满足什么条件时，PC与O相切，为什么？ 分析：由题意容易想到作辅助线OC， （1）要使PC与O相切，只要使PCO=90，问题转化为使OCA+PCF=FA
4、H+AFH就可以了。 解：（1）当PC=PF，（或PCF=PFC）时，PC与O相切， 下面对满足条件PC=PF进行证明， 连结OC，则OCA=FAH， PC=PF，PCF=PFC=AFH， DEAB于H，OCA+PCF=FAH+AFH=90 即OCPC，PC与O相切。 即AD2=DEDF 点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求PCF满足什么条件时，PC与O相切，可以反过来，把PC与O相切作为条件，探索PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2=DEDF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。 例6. D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan
5、ADE的值。 分析：要求tanADE，在RtAED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。 解：四边形ABCD为矩形，BCAB，BCDC AB、DC切O于点B和点C， DE切O于F，DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB， 又AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x， DE=DC+EB=4x， 在RtAED中，AE=2x，DE=4x， 点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。 例7. 已知O1与O2相交于A、B两点
6、，且点O2在O1上， （1）如下图，AD是O2的直径，连结DB并延长交O1于C，求证CO2AD； （2）如下图，如果AD是O2的一条弦，连结DB并延长交O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。 分析：（1）要证CO2AD，只需证CO2D=90，即需证D+C=90，考虑到AD是O2的直径，连结公共弦AB，则A=C，DBA=90，问题就可以得证。 （2）问题是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得1=2，且有AO2CDO2C，故CA=CD，可得结论CO2AD。 解：（1）
7、证明，连结AB，AD为直径，则ABD=90 D+BAD=90 又BAD=C，D+C=90 CO2D=90，CO2AD （2）CO2所在直线与AD垂直， 证明：连结O2A、O2B、O2D、AC 在AO2C与DO2C中 O2BD=O2AC，又O2BD=O2DB，O2AC=O2DB O2C=O2C，AO2CDO2C，CA=CD， CAD为等腰三角形， CO2为顶角平分线，CO2AD。 例8. 如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，积S。（图中阴影部分） 分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。 解： 分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为A+B
8、+C=180， 原题可在上一题基础上进一步变形：A1、A2、A3An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3An，求n个扇形的面积之和。 解题思路同上。 解：一、填空题（104=40分） 1. 已知：一个圆的弦切角是50，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为_。 2. 圆内接四边形ABCD中，如果A：B：C=2：3：4，那么D=_度。 3. 若O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到O的切线长为_。 4. 如图所示CD是O的直径，AB是弦，CDAB于M，则可得出AM=MB，等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：_。 5. O1与O2的半径分
9、别是3和4，圆心距为，那么这两圆的公切线的条数是_。 6. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是_。 7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是_。 8. 若PA是O的切线，A为切点，割线PBC交O于B，若BC=20，PA=，则PC的长为_。9如图5，内接于O，点是上任意一点（不与重合），的取值范围是 （第9题图）10如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70、40，则1的度数为 .O 11已知的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与的位置关系是 12如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是
10、劣弧的三等分点， ，则的度数为 13如图，中，将绕所在的直线旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积 （取3.14，结果保留两个有效数字）图8C14如图8，两个同心圆的半径分别为2和1，则阴影部分的面积为 M15如图，是的直径，为弦，过点的的切线交延长线于点若，则的半径为 cm16如图，是由绕点顺时针旋转而得，且点在同一条直线上，在中，若，则斜边旋转到所扫过的扇形面积为 （15题图）（第17题图）17如图，从圆O外一点引圆O的两条切线，切点分别是，若，是上的一个动点（点与两点不重合），过点作圆O的切线，分别交于点，则的周长是 18、在平面内，O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P
11、与O的位置关系是 .19如图8，在中，将其绕点顺时针旋转一周，则分别以为半径的圆形成一圆环则该圆环的面积为 20如图9，点是上两点，点是上的动点（与不重合）连结，过点分别作于点，于点，则 图8图9 三、解答题： 1. 已知：如图所示，O1和O2相交于A、B两点，过B点作O1的切线交O2于D，连结DA并延长与O1相交于C点，连结BC。过A点作AEBC与O2相交于E点，与BD相交于F点。 （1）求证：EFBC=DEAC； （2）若AD=3，AC=1，AF，求EF的长。 2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现
12、征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。 3. 已知：ABC是O的内接三角形，BT为O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。 （1）如图所示，当点P在线段AB上时，求证：PAPB=PEPF； （2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）若AB，求O的半径。4如图，是的内接三角形，点是优弧上一点（点不与重合），设，（1）当时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明E5、（分）已知：如图，在A
13、BC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为点E求证：（1）ABC是等边三角形；（2）E6、已知：如图，在中，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；（2）若，求的长7、如图，在梯形ABCD中，ABCD，O为内切圆，E为切点，（）求的度数；（）若cm，cm，求OE的长8、已知RtABC中，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N（）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图，求证：；(1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.图图（）当扇形CEF
14、绕点C旋转至图的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角9如图，内接于，过点的直线交于点，交的延长线于点，（1）求证：；（2）如果，的半径为1，且为的中点，求的长tan110(本题满分10分)已知：如图，在半径为4的O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EMMC连结DE，DE=.(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(1) 求证：；(2) 求EM的长；（3）求sinEOB的值.(6）三角形的内切圆、内心.11（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）
15、2、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。图8三三角函数的计算“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点（1) 与圆相关的概念：图7（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.N（2）由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值12已知，如图，直线交于两点，是直径，平分交于，过作于（2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。（1）求证：是的切线；（2）若cm，cm，求的半径
