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1、第一讲 一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2bx+c=0 (a、b、c为常数，a0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）2一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2bx+c=0 (a、b、c为常数，a0）。其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。3一元二次方程的解法： 直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n0)，那么就可以用两边开平
2、方来求出方程的解。(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0 (a0）的一般步骤是： 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； 化原方程为(x+m）2=n的形式； 如果n0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n0，则原方程无解注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x4)2=3（x4）中，不能随便约去（x4）.解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方
3、程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程 中一元二次方程是 .A. 和； B.和 ； C. 和； D. 和2、要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则_. Aa0 Ba3 Ca1且b-1 Da3且b-1且c03、若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是_（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。（三）一元二次方程的解法:例3:判断下列括号里的数哪个是方程的解。（1） (2)例4:若是关于x的一元二次方程 的一个根，求代数式的
4、值。例5:解方程： 用直接开平方法解一元二次方程：（1） （2） （3） （4） 用配方法解一元二次方程：（1）（2012 荆州） （2） （3） （4）例6:（开放题）关于x的方程一定是一元二次方程吗？若是，写出一个符合条件的a值。【随堂练习】A组一、填空题: 1.在,，,，中，是一元二次方程有_个 。2.关于x的方程是(m21)x2+(m1)x2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.3.把方程化成一般式为_.二次项系数是_、一次项系数是_、常数项是是_.4关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0, 则a的值是_.5.; 6. 一
5、元二次方程若有两根1和1,那么_, 。二、按要求解下列方程: 1.（直接开平方法） 2.(配方法)B组一、填空题:1.当时, 关于x的方程是一元二次方程.2.如果关于x的方程（k21）x2+2kx+1=0中，当k=1时方程为_方程3.已知,当x=_时,y=0; 当y=_时,x=0.4.当时,则的解为_.5. 方程的解是_二、用配方法解下列方程: 1. 23 4. 三、解答题。1（2012 昆明）已知a是方程的一个根，试求的值。2（学科内综合题）一元二次方程的一个根是1，且a,b满足等式，求此一元二次方程。家庭作业校区： 姓名：_科目： 数学 第 1 次课 作业等级：_第一部分：1（2012教材
6、1+1）下列方程，是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2.（2007，广州）方程化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A. 5,6,-8 B. 5，-6，-8 C. 5，-6,8 D. 6,5，-8第二部分：3.（2012，哈尔滨）若关于x的方程的一个根是0，则k= 。4.(2011，山西)请你写出一个有一根为1的一元二次方程： 。5.（2009，丽水）用配方法解方程时，方程的两边同加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式。第三部分：6.解下列方程：（1）(直接开平方法) （2）（2012，义乌）（用配方法）（3）（2011，兰州）用配方法解次方程：
7、7.（2012，潮州）当a为何值时，关于x的方程是一元一次方程？当a为何值时，原方程是一元二次方程？第二讲 一元二次方程的解法（二）【基础知识精讲】一元二次方程的解法： 直接开平方法：(2) 配方法： 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是 (b24ac0)应用求根公式解一元二次方程时应注意：化方程为一元二次方程的一般形式；确定a、b、c的值；求出b24ac的值；若b24ac0，则代人求根公式，求出x1 ,x2若b24a0，则方程无解(4) 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法它的理论根据是两个因式中至少
8、要有一个等于0，因式分解法的步骤是：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x4)2=3（x4）中，不能随便约去（x4）解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法(5)换元法：【例题巧解点拨】（一）知识回顾例1：对于关于x的方程它的解的正确表达式是（ ）A.用直接开平方法，解得 B.当时，C当时， D.当时，例2 ：用配方法解方程：（探索求根公式）（二）用公式法解
9、一元二次方程例3：用公式法解方程：（1） （2）练习：（1） （2）（三）用因式分解法解一元二次方程例4：利用因式分解解方程：（1） (2) 练习：(1) (2) 例5：用适当的方法解下列方程：（1） （2）（3） （4） 【同步达纲练习】A组一、按要求解下列方程: 1. （直接开平方法） 2. (因式分解法) 3. (配方法) 4. (求根公式法)二、用适当的方法解下列各题: 5 67 8. 三、填空题: 1. 方程:, , ,较简便的解法_。 A .依次为直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法 B.用直接开平方法,用公式法,用因式分解法 C. 依次为因式分解法,公式法,配方法和直接开平方
10、法 D. 用直接开平方法,用公式法,用因式分解法 2.(2009 云南) 一元二次方程的解是_。3（2012东营）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 。4已知三角形的两边长分别是3和4,笫三边的长是方程x26x+5=0的根,三角形的形状为_。5. 方程的解是_。B组一、解下列各方程:1. 2. 二、解答题:1.当x取何值时，代数式的最大值，并求出这个最大值。2.比较代数式与的大小。3. 已知最简二次根式与是同二次根式项,且为整数，求关于m的方程的根。家庭作业校区： 姓名：_科目： 数学 第 2 次课 作业等级：_第一部分：1（2010，云南）一元二次方程的解是（
11、）Ax1 = 0 ，x2 = B.x1 = 0 ，x2 = Cx1 = 0 ，x2 = Dx1= 0 ，x2 =2. （2011，东营）若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 第二部分：3. (2012,南充)方程的解是 。4.（2012，青海）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 。5. (2010,深圳)用配方法将代数式a2+4a-5变形，结果正确的是 。第三部分：6.解下列方程：（1）（2012，新疆）解方程：(分别用公式法和因式分解法)7. （2011，定西）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解 第三讲
12、 一元二次方程根的判别式【基础知识精讲】1一元二次方程ax2bx+c=0 (a0)根的判别式: 当时,方程有两个不相等的实数根；(2) 当时,方程有两个相等的实数根； 当时,方程没有实数根。以上三点反之亦成立。2一元二次方程有实数根注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a0 (3)证明恒为正数的常用方法：把的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。【例题巧解点拨】例1：一元二次方程求根公式为_( 注意条件).2.方程的根的情况是（ ） A方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根C.方程没
13、有实数根 D.方程的根的情况与的取值有关3.若一元二次方程 2x（kx4）x26 0 无实数根，则k的最小整数值是（ ）A.1 B.2 C.3 D.44.若关于x的方程ax2+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b等于( )A.-1或2 B.1或 C.- 或1 D.-2或15.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )A.k- B.k- 且k0 C.k- D.k 且k0例2：已知关于的方程。（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）当等腰三角形ABC的边长4，另两边的长、恰好是这个方程的两根时，求ABC的周长。【同步达纲练习
14、】A组一、选择(填空)题：1.方程中，= ，根的情况是 。2.（2007，巴中）一元二次方程的根的情况为（ ）有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根只有一个实数根 没有实数根3.一元二次方程只有一个实数根，则等于 （ ）A. B. 1 C. 或1 D. 24下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（ ） A恒大于0 B恒小于0 C不小于0 D可能为05.一元二次方程有两个相等的实根数，则k的值是 6.若方程kx26x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 .7.若关于x的一元二次方程没有实数根，则符合条件的一组b，c的实数值可以是b= ，c= 8.当 时，是完全平方式.三、解答下
15、列各题9.不解方程，判定下列方程根的情况。（1） （2）10. 已知方程，则：当取什么值时，方程有两个不相等的实数根？当取什么值时，方程有两个相等的实数根？当取什么值时，方程没有实数根？11.求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根。B组1.（2009,潍坊）关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是( ）A.6 B.7 C.8 D.92.（2011 ,佳木斯）若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图像不经过（ ）象限。A.一 B.二 C.三 D.四3.（2012, 荆门）关于x的方程只有一解（相同的解算一解），则a的值为（ ）A.a =0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=24
16、.已知，求的值。5.设方程有实根，求的值。6.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形形状，说明理由.7.如果a,b,c,d都是不为0的实数，且满足等式，求证：8.阅读材料：为解方程，我们可以将看着一个整体，然后设=y， 那么原方程可化为，解得。当y=1时，；当y=4时，；故原方程的解为 。解答问题：（1）上述解答过程，在由原方程得到方程的过程中，利用了_法达到解方程的目的，体现了转化思想；利用以上知识解方程家庭作业校区： 姓名：_科目： 数学 第 3 次课 作业等级：_第一部分：1（2007，成都）下列关于x的一元
17、二次方程中，有两个实数根的是（ ）A B. C D2.（2012，荆门）关于x的方程只有一解（相同解算一解），则a的值为（ ）Aa=0 B. a=2 Ca=1 Da=0或a=23.（2009，成都）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A B. C D4.（2010，潍坊）关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（ ） A6 B.7 C8 D95. （2011，东营）若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 第二部分：6. (2008,天津) 当m= 时，关于x的方程有两个相等的实数根。7.（2012，北京）若关于的一元二
18、次方程没有实数根，则的取值范围是 第三部分：8.（2012，潮州）当m为何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，此时的两个实数根是多少？ 第四讲 一元二次方程根与系数的关系【基础知识精讲】1一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设是一元二次方程ax2bx+c=0 (a0)的两根，则，2设是一元二次方程ax2bx+c=0 (a0)的两根，则：时，有时，有 时，有3以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：【例题巧解点拨】1探索韦达定理例1：一元二次方程的两根为_，求，的值。2已知一个根，求另一个根. 例2：已知2+是x24x+k=0的一根，求另一根和k的值。3求根的代数式的值例3
19、：设x1，x2是方程x2-3x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) x13x24+x14x23； 4求作新的二次方程例4：1以2，3为根的一元二次方程是_. 2已知方程2x23x3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+15由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。例5：1、已知方程3x2+x1=0，要使方程两根的平方和为，那么常数项应改为 。2、是关于x的方程4x24mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足，求m的值。【同步达纲练习】A组1、如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两根是x1、x2，那么x1+x2=
20、 ，x1x2= 。2、已知x1、x2是方程2x2+3x4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1x2= ； ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；x1x2= 。3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 _ 。4、关于x的方程2x2+(m29)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.5、若x1 =是二次方程x2+ax+1=0的一个根，则a= ，该方程的另一个根x2 = _.6、方程的一个根为另一个根的2倍，则m= .7、已知方程的两根平方和是5，则= .8、已知方程的两个根分别是 .9、已知关于x的方程x23mx+2(m1)=0的两根为x1、
21、x2，且，则m= 。10、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x2=0两根的二倍。11、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，求k的值。B组1、（2009 茂名）设是关于x的方程的两个实数根，那么是否存在实数k，使得成立？请说明理由。 2、（2009 淄博）已知设是关于x的方程的两个实数根，且 ，（1）求，及a的值；（2）求的值。家庭作业校区： 姓名：_科目： 数学 第 4 次课 作业等级：_第一部分：1.（2010年四川省眉山）已知方程的两个解分别为、，则的值为( )A B C7 D32.（2012，济南）若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）ABCD3.（2012，烟台）
22、设是方程的两个实数根，则的值为（ ）A2006B2007C2008D2009 4.（2010，包头）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）CA1 B12 C13 D25第二部分：5.(2010年安徽省芜湖市)已知x1、x2为方程x23x10的两实根，则x128x220_6.（2012，兰州）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2，x1x2.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+30的两实数根，则+的值为 10第三部分：7.（2011，潍坊）已知是方程的两个实数根，且(1)求及a的值；(2)求的
23、值 第五讲 列一元二次方程解应用题【基础知识精讲】1一元二次方程的一般形式_2解方程的常见方法_3列方程解应用问题的步骤：审题，设未知数，列方程，解方程，答列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件方程的解必须进行实际题意的检验【知识巩固】1方程x(2x1)=5(x+3)的一般形式是_，其中一次项系数是_，二次项系数是_，常数项是_.2.解下列方程:（1） （2）3若关于的方程是一元二次方程,求的值.【例题巧解点拨】例1：有一个两位数，它们的十位数字与个
24、位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数例2：如图，有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少？ 例3：某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？例4：将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？例5：已知直角三角形的周长是,两直角边分别是,若斜边上的中线长是1,则无论为
25、何值时,这个 直角三角形的面积都为一定值,求这个定值.练习： (1)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500,销售单价每涨1元,月销售量就减少10,针对这种水产品情况,请解答以下问题.当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润.设销售单价定每千克x元，月销售利润y元,求y与x的关系式.商品想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?例6.一矩形花园,长比宽长10米,在花园中间开条纵横贯通的十字路.十字路的面积共6000平方米.园外面再修一圈路把花园围起来,所有路的宽都相同.如果
26、外面一圈路的外周长是1300米,求路宽与花园宽. 例7、如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动.（1）P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？练习：.如图所示,在ABC中,B=,点P从A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动.(1)如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，使PBQ的面积等于8？（2）
27、如果点P、Q分别从A、B同时出发，并且点P到点B后又继续在BC边上前进，点Q到C后又继续在CA边上前进，经几秒钟，使PCQ的面积等于12.6？【同步达纲练习】A组1.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用作购物,剩下的1000元及所得利息又全部按一年定期存入银行.如果存款的利率不变,到期后又可得本金和利息共计1320元.求年利率.2.已知斜边为10的直角三角形的两条直角边、为方程的两个根。求的值 求以该直角三角形的面积和周长为根的一元二次方程。3.如图,在宽为20,长为32的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条互相垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得
28、耕地的面积为280,求道路的宽? B组4.某农户2000年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2005年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8(1)根据样本平均数估计该农户2005年水果的总产量是多少?(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪 种出售方式合理?为什么?(3)该农户加强果园管理,力争到2007年三年
29、合计纯收入达57000元,求2006年,2007年平均每年增长率是多少?家庭作业校区： 姓名：_科目： 数学 第 5 次课 作业等级：_第一部分：1.（2010绵阳）某校初三甲、乙两班同学向水灾地区捐款的总数为3600元，已知甲班比乙班少5人，但平均每人比乙班多捐5元，结果两班的捐款数相同，求甲、乙两班平均每人的捐款数。 第二部分：2. （2012锦州）已知一个矩形和一个正方形的面积相等，它们的周长之和为108，且矩形的长比宽多18，求矩形的长和宽以及正方形的边长第三部分： 3.（2012通州）某商店如果将进货为8元的商品每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间的摸索,该店主发现这种商
30、品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,每降价0.5元,其销售量就增加10件.你能帮助店主设计一种方案,使每天的利润达到700元吗?将售价定为每价多少元时,能使这天所获利润最大?最大利润是多少?第六讲 正弦与余弦（1）【基础知识精讲】一、 正弦与余弦：1、 在中，为直角，我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作.若把的对边记作，邻边记作，斜边记作，则，。2、当为锐角时， ，（为锐角）。二、 特殊角的正弦值与余弦值：， ， ， ， 三、 增减性：当时，sin随角度的增大而增大；cos随角度的增大而减小。【例题巧解点拨】例1：在图1中求出中的、的值，在图2中
31、求出中的、的值例2：求下列各式的值：（1）； （2） （3） (4) 例3：（1）若，则锐角；（2）若，则锐角.（3）若，则锐角 （4）若，则锐角（5）已知中，=_【同步达纲练习】A组一、填空题：1. _， 2. 。3、若，且，则=_， 已知，则锐角=_。4在5在，67在中，则=_，=_8如图，已知在二、选择题：9的值是（ ）A B1 C D10的值是（ ）A B C D11在，AC=6，BC=8，则（ ）（A） （B）（C）（D）12在中，则等于（ ）A B C D13在中，则为（ ） A B C D 14在中，则A B C D15在中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角的正弦值和余弦值（ ）A
32、 都没有变化 B 都扩大2倍 C 都缩小2倍D 不能确定16在中，若，都是锐角，则的度数是（ ）A B C D 三、求下列各式的值：17 18。19四、解答题：20在中，所对的边分别为，且b=7。求sin,cos,sin,cos.B组1如图，在于点D，AD4， 、的值。2.比较大小：sin23_sin33;cos67.5_cos76.5。3、如图，在RtABC中，所对的边分别为，C=90。sinA=_；cosB=_；则sinA_ cosBcosA=_；sinB=_；则cosA_ sinB思考：sin(90-)=_；cos(90-)=_。4、若3090，化简。家庭作业校区： 姓名：_科目： 数学 第 6 次课 作业等级
