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1、第3章 点、直线、平面的投影,3.1 点的投影,3.2 直线的投影,3.3 平面的投影,3.4 直线与平面及两平面的 相对位置,本章小结,结束放映,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,3.1 点的投影,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧面投影面（简称侧 面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,注意：空间点用大写字
2、母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:,aaOX轴,aax=,aax=,aay=,a,y,Y,Z,az,a,X,Y,ay,O,a,ax,ay,a,aaOZ轴,=y,=Aa（A到V面的距离）,aaz,=x,=Aa（A到W面的距离）,aay,=z,=Aa（A到H面的距离）,aaz,(),a c,c,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,a,a,c,被挡住的投影加(),A、C为H面的重影点,重影点：,结束？,继续？,两点确定一条直线，
3、将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面投影重合为一点 积 聚 性,直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=AB.cos,3.2 直线的投影,直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。,投影面平行线,X,Z,水平线,实长,在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并
4、 反映直线与另两投影面 倾角的实大。,另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反 映直线与它所平行的投 影面之间的距离。,投影特性：,判断下列直线是什么位置的直线？,侧平线,正平线,与H面的夹角:与V面的角:与W面的夹角:,实长,实长,直线与投影面夹角的表示法：,反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。,投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,另外两个投影，,在其垂直的投影面 上，,投影有积聚性。,投影特性:,一般位置直线,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,投影特性,二、直线与
5、点的相对位置,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。,点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：,AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb,定比定理,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,a,b,不在,应用定比定理,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：（应用第三投影）,解法二：（应用定比定理）,a,b,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。,两直线平行,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB
6、与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,两直线相交,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。,交点是两直线的共有点,a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,d,b,O,B,c,d,k,k,d,例1：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,例2：判断直线AB、CD的相对位置。,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合空间一个点的投影特性。,判断方法？,应用定比定理,利用侧面投影,两直线交叉,为什么？,两直线相交吗？,不相交！,交点不符合一个点的投影规律！,1(2),投影特性：
7、,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,结束？,继续？,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,3.3 平面的投影,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,c,c,投影面垂直面,为什么？,a,b,c,a,b,b,a,
8、类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影为类似形。,投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,a,c,b,c,a,a,b,c,b,例：正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水平投影 及顶点B的正面投影，求ABC的正面投影及侧面 投影。,思考：此题有几个解？,三、平面上的直线和点,位于平面上的直线应满足的条件：,平面上取任
9、意直线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,d,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,有无数解！,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,c,a,b,c,a,b,唯一解！,平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,d,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,首先面上取线,b,c,k,a,d,a,d
10、,b,c,k,b,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一：,解法二：,d,e,例3：在ABC内取一点M，并使其到H面V面的 距离均为10mm。,结束？,继续？,3.4 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面平行,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,d,d,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。,唯一解,c,b,a,m,a,b,c,m,n,d,d,两平面平行,若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这
11、两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,由于ek不平行于ac,故两平面不平行。,例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，已知ABCDEFMH,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,直线与平面相交,要讨论的问题：,求直线与平面的交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,二、相交问题,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该
12、直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,作图,用线上取点法,1(2),1(2),k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k2为不可见。,作图,用面上取点法,两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求两平面的交线,方法：,确定两平面的两个共有点。,确
13、定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。,求交线,判别可见性,作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线 MN并判别可见性。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),例：求两平面的交线 MN并判别可见性。,
14、空间及投影分析,求交线,判别可见性,作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。,空间及投影分析,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。,求交线,判别可见性,点在MC上，点在FH上，点在前，点在后，故mc 可见。,作图,a,b,d(e),e,b,d,h(f),c,f,c,h,空间及投影分析,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点
15、m、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。,求交线,判别可见性,点在MC上，点在FH上，点在前，点在后，故mc 可见。,作图,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def 的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def 的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,结束？,继续？,小 结,点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊
16、位置直线 与平面的投影特性。,重点掌握：,点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。,一、直线上的点,点的投影在直线的同名投影上。,点的投影必分线段的投影成定比定比定理。,判断方法:,二、两直线的相对位置,平行,同名投影互相平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,相交,交叉（异面）,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,三、点与平面的相对位置,面上取点的方法:,利用平面的
17、积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,四、直线与平面的相对位置,直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。,直线与平面相交,投影面垂直线与一般位置 平面求交点，利用交点的 共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求 解。,一般位置直线与特殊位置 平面求交点，利用交点的 共有性和平面的积聚性，采用直线上取点的方法求 解。,五、两平面的相对位置,两平面平行,若一平面上的两相交 直线分别平行于另一 平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必 相互平行。,两平面相交,两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。,一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交 线。,END,
