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1、椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1：已知一个动圆与圆相切，且过点，求这个动圆圆心M的轨迹方程； 练习：1.方程对应的图形是（ ）A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2.方程对应的图形是（ ）A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆3.方程成立的充要条件是（ ）A. B. C. D. 4.如果方程表示椭圆，则的取值围是 5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于 ；6.设圆的圆心为，是圆一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为 ；题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线例1.方程的曲线是到定点 和 的距
2、离之和等于 的点的轨迹（二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程；例4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；（四）定义法求轨迹方程；例5.在中，所对的三边分别为，且，求满足且成等差数列时顶点的轨迹；练习：1、动圆P与圆切与圆外切，求动圆圆心的P的轨迹方程。2、已知动圆C过点A，且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ；（五）相关点法求轨迹方程；例6.已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程； （六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线垂直
3、于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹方程； （七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程； 题型三.焦点三角形问题椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆上一点和焦点，为顶点的中，则当为短轴端点时最大，且；=。（短轴长）例：知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及；练习：1、椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 ；的大小为 ；2、是椭圆上的一点，和为左右焦点，若。（1）求的面积；（2）求点的坐标。题型四.椭圆的几何性质例1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦
4、点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为 例2.椭圆的四个顶点为，若四边形的切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；例3.若椭圆的离心率为，则 ；例4.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，则椭圆的离心率为 题型五.求围例1.方程焦点在轴的椭圆，数的取值围；题型六.求离心率例1. 椭圆的左焦点为，是两个顶点，如果到直线的距离为，则椭圆的离心率 例2.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，则椭圆的离心率为 例3. 、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为 ；练习1、（2010二模）以椭圆的右焦点为圆心的圆经过原点，且与该椭圆的右准线交于、两点，已知是正三角形，则该椭圆的离心率是
5、 ；2、已知 分别为椭圆的右顶点、上顶点、和左焦点，若，则该椭圆的离心率为 ；3、（2012年新课标）设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为（）ABCD4、椭圆(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_题型七.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1. 当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？例2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的取值围。例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值围
6、 （二）弦长问题例1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，若，为坐标原点，的斜率为，求的值。例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，若的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例1.已知椭圆，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；例2.已知一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，求直线的方程；例3. 椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.（1）用直线的斜率表示的面积；（2）当的面积最大时，求椭圆E的方程（四）关于直线对称问题例1.已
7、知椭圆，试确定的取值围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称； 例2.已知中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分？若存在，求出直线倾斜角的取值围；若不存在，请说明理由。题型八.最值问题F2F1M1M2例1若，为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。结论1：设椭圆的左右焦点分别为,为椭圆一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为,最小值为；例2,为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。结论2设椭圆的左右焦点分别为，为椭圆外一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为，最小值为;2.二次函数法例3求定点到椭圆上的点之间
8、的最短距离。结论3：椭圆上的点到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示MA或MB，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值围。3.三角函数法例4求椭圆上的点到直线的距离的最值；4.判别式法例4的解决还可以用判别式法结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。题型九.轨迹问题例1到两定点，的距离之和为定值5的点的轨迹是 例2已知点，点在圆的上半圆周上(即y0)，AOP的平分线交于Q，求点Q的轨迹方程。例3.已知圆及点，是圆C上任一点，线段
9、的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用椭圆定义：平面一动点到两定点，的距离和等于常数（ 大于= ）点的集合叫椭圆；即注：当时轨迹为椭圆；当时轨迹为线段；当时无轨迹。例1：已知一个动圆与圆相切，且过点，求这个动圆圆心的轨迹方程； 练习：1.方程对应的图形是（ ）A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2.方程对应的图形是（ ）A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆3.方程成立的充要条件是（ ）A. B. C. D. 4.如果方程表示椭圆，则的取值围是 5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于 ；6
10、.设圆的圆心为，是圆一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为 ；题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线例1.方程的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程；例4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为；（四）定义法求轨迹方程；例5.在中，所对的三边分别为，且，求满足且成等差数列时顶点的轨迹；练习1、动圆P与圆切与圆外
11、切，求动圆圆心的P的轨迹方程。练习2、已知动圆C过点A，且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ；（五）相关点法求轨迹方程；例6.已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程； （六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹方程； （七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程； 题型三.焦点三角形问题椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆上一点和焦点，为顶点的中，则当为短轴端点时最大，且；=。（短轴长）例：知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为
12、、，求、及；练习：1、（2009）椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 ；的大小为 ；2、是椭圆上的一点，和是焦点，若，则的面积等于 （ ） 3、是椭圆上的一点，和为左右焦点，若。（1）求的面积；（2）求点的坐标。题型四.椭圆的几何性质例1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为 例2.椭圆的四个顶点为，若四边形的切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；例3.若椭圆的离心率为，则 ；例4.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，则椭圆的离心率为 题型五.求围例1.方程焦点在轴的椭圆，数的取值围；题型六.求离心率例1. 椭圆的左焦点为，是两个顶点，如
13、果到直线的距离为，则椭圆的离心率 例2.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，则椭圆的离心率为 例3. 、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为 ；练习1、（2010二模）以椭圆的右焦点为圆心的圆经过原点，且与该椭圆的右准线交于、两点，已知是正三角形，则该椭圆的离心率是 ；2、已知 分别为椭圆的右顶点、上顶点、和左焦点，若，则该椭圆的离心率为 ；3、（2012年新课标）设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为（）ABCD4、椭圆(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此
14、椭圆的离心率为_题型七.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1. 当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？例2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的取值围。例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。 解：设，：把代入椭圆方程得：，即，此时 令直线的倾角为，则即面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值围。 （
15、二）弦长问题例1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。 分析：若直线与圆锥曲线相交于两点、，则弦的长度的计算公式为，而，因此只要把直线的方程代入圆锥曲线方程，消去（或），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。 解：设（），则直线的方程为，设直线与椭圆相交于、，由，可得，则，即，又，；例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，若，为坐标原点，的斜率为，求的值。例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，若的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例1.已知椭圆，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；例2.已知一直线与椭圆相交
16、于两点，弦的中点坐标为，求直线的方程；例3. 椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.（1）用直线的斜率表示的面积；（2）当的面积最大时，求椭圆E的方程解：（1）设椭圆的方程为，由，a2=3b2故椭圆方程；设，由于点分有向线段的比为2，即由消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直线l与椭圆E相交于两点而 由得:，代入得：.（2）因,当且仅当取得最大值此时，又，；将及代入得3b2=5，椭圆方程例4.已知是椭圆上的三点，为椭圆的左焦点，且成等差数列，则的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。（四）关于直线对称问题例1.已
17、知椭圆，试确定的取值围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称； 例2.已知中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分？若存在，求出直线倾斜角的取值围；若不存在，请说明理由。题型八.最值问题F2F1M1M2例1若，为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。分析：欲求的最大值和最小值o可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义, 为椭圆的左焦点。解：，连接，延长交椭圆于点M1,延长交椭圆于点由三角形三边关系知当且仅当与重合时取右等号、与重合时取左等号。因为，所以, ；结论1：设椭圆的左右焦点分别为,为椭圆一点，为椭圆上任意一点
18、，则的最大值为,最小值为；例2,为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。分析：点在椭圆外，交椭圆于，此点使值最小，求最大值方法同例1。解：，连接并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时取最大值；最大值是10+，最小值是。结论2设椭圆的左右焦点分别为，为椭圆外一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为，最小值为;2.二次函数法例3求定点到椭圆上的点之间的最短距离。分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示，转化为的函数求最小值。解：设为椭圆上任意一点，由椭圆方程知的取值围是（1）若，则时，（2）若,则时（3）若,则结论3：椭圆上的点到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点
19、间距离公式表示MA或MB，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值围。3.三角函数法例4求椭圆上的点到直线的距离的最值；解：三角换元 令 则当时；当时,结论4：若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例4的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线将代入椭圆方程整理得，由=0解得, 时直线与椭圆切于点，则到直线的距离为最小值，且最小值就是两平行直线与的距离，所以；时直线与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与l的
20、距离，所以。结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。例5.已知定点，点为椭圆的右焦点，点在该椭圆上移动时，求的最小值，并求此时点的坐标；（第二定义的应用）例3已知、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，试分别求：（1）的最小值； （2）的取值围解：（1），此时点为过点且垂直于的线段与椭圆的交点；（2）由椭圆的定义知，故，故（当且仅当为有向线段的延长线与椭圆的交点时取“=”）；，故;（当且仅当为有向线段的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）综上可知，的取值围为;题型九.轨迹问题例1到两定点，的距离之和为定值5的点的轨迹是 例2已知点，点在圆的上半圆周上(即y0)，AOP的平分线交于Q，求点Q的轨迹方程。例3.已知圆及点，是圆C上任一点，线段的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。
