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1、相似三角形与圆的综合考题1、已知：如图，AB是O的直径，E是AB延长线上一点，过E作O的切线ED，切点为C，ADED交ED于点D，交O于点F，CGAB交AB于点G求证：BGAG=DFDA2、已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F(1)求证：DE为O的切线(2)求证：AB：AC=BF：DF3、(南通)已知：如图，AB是O的直径，AB=AC，BC交O于点D，DEAC，E为垂足(1)求证：ADE=B；(2)过点O作OFAD，与ED的延长线相交于点F，求证：FDDA=FODE4、如图，AB为O的直径，BF切O于点B，AF交O于点D，点C在DF上
2、，BC交O于点E，且BAF=2CBF，CGBF于点G，连接AE(1)直接写出AE与BC的位置关系；(2)求证：BCGACE；(3)若F=60，GF=1，求O的半径长5、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF(1)求证：PC是O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长6、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF(1)
3、求证：PC是O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长7、如是O的直径，CB、CD分别切O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；(1)求证：AE是O的切线；(2)过点D作DFAB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF8、已知：如图，AB是O的直径，D是O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DEAC，垂足是点E过点B作BEAB，交ED延长线于点F，连结OF。求证：(1)EF是O的切线；(2)OBFDEC。9、如图，已知AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D
4、，过点C作O切线，交OD的延长线于点E，连结BE(1)求证：BE与O相切；(2)连结AD并延长交BE于点F，若OB6，且sinABC，求BF的长10、如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。(1)求证：DE是O的切线；(2)若，求的值；(3)在(2)的条件下，若O直径为10，求EFD的面积11、已知：如图，在RtABC中，A=90，以AB为直径作O，BC交O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F求证：(1)DE为O的切线(2)ABDF=ACBF12、如图，以ABC的边AB为直径的O与边BC交于点D，过点D作D
5、EAC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分BAC(1)求证：EF是O的切线；(2)若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积13、知AB是O的直径，直线l与O相切于点C且，弦CD交AB于E，BFl，垂足为F，BF交O于G。(1)求证：CE2=FGFB；(2)若tanCBF=，AE=3，求O的直径。14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E.求证：AEBD； AD 2 = DFAE15、已知：ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作O，过E作O的切线ET，T为切点.求证：E
6、T = ED16、如图，ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CDBA，垂足为D.求证：（1） DAC = 2B； （2） CA 2 = CDCO 相似三角形与圆的综合考题（教师版）1、已知：如图，AB是O的直径，E是AB延长线上一点，过E作O的切线ED，切点为C，ADED交ED于点D，交O于点F，CGAB交AB于点G求证：BGAG=DFDA证明：连接BC，FC，CO，过E作O的切线ED，DCF=CAD，D=D，CDFADC，=，CD2=ADDF，CGAB，AB为直径，BCA=AGC=BGC=90，GBC+BCG=90，BCG+GCA=
7、90，GBC=ACG，BGCCGA，=， CG2=BGAG，过E作O的切线ED，OCDE，ADDE，COAD，OCA=CAD，AO=CO，OAC=OCA，OAC=CAD，在AGC和ADC中，AGCADC（AAS），CG=CD，BGAG=ADDF2、已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F(1)求证：DE为O的切线(2)求证：AB：AC=BF：DF3、(南通)已知：如图，AB是O的直径，AB=AC，BC交O于点D，DEAC，E为垂足(1)求证：ADE=B；(2)过点O作OFAD，与ED的延长线相交于点F，求证：FDDA=FODE解：（1）方
8、法一：证明：连接OD，OA=OD，OAD=ODAAB是O的直径，ADB=90，即ADBC又AB=AC，AD平分BAC，即OAD=CADODA=DAE=OADADE+DAE=90，ADE+ODA=90，即ODE=90，ODDEOD是O的半径，EF是O的切线ADE=B方法二：AB是O的直径，ADB=90，又DEAC，DEA=90，ADB=DEA，ABC中，AB=AC，ADBC，AD平分BAC，即DAE=BADDAEBADADE=B（2）证明：OFAD，F=ADE又DEA=FDO（已证），FDODEAFD：DE=FO：DA，即FDDA=FODE点评：本题主要考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、
9、相似三角形的判定和性质；（2）题乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得以证明 4、如图，AB为O的直径，BF切O于点B，AF交O于点D，点C在DF上，BC交O于点E，且BAF=2CBF，CGBF于点G，连接AE(1)直接写出AE与BC的位置关系；(2)求证：BCGACE；(3)若F=60，GF=1，求O的半径长解：（1）如图1，AB是O的直径，AEB=90AEBC（2）如图1，BF与O相切，ABF=90CBF=90-ABE=BAEBAF=2CBFBAF=2BAEBAE=CAECBF=CAECGBF，AEBC，CGB=AEC=90CBF=CAE，CGB=AEC，BCGACE（
10、3）连接BD，如图2所示DAE=DBE，DAE=CBF，DBE=CBFAB是O的直径，ADB=90BDAFDBC=CBF，BDAF，CGBF，CD=CGF=60，GF=1，CGF=90，tanF=CG=tan60=CG=，CD=AFB=60，ABF=90，BAF=30ADB=90，BAF=30，AB=2BDBAE=CAE，AEB=AEC，ABE=ACEAB=AC设O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=rADB=90，AD=rDC=AC-AD=2r-r=（2-）r=r=2+3O的半径长为2+3解析：（1）由AB为O的直径即可得到AE与BC垂直（2）易证CBF=BAE，再结合条件BAF=2CBF
11、就可证到CBF=CAE，易证CGB=AEC，从而证到BCGACE（3）由F=60，GF=1可求出CG=；连接BD，容易证到DBC=CBF，根据角平分线的性质可得DC=CG=；设圆O的半径为r，易证AC=AB，BAD=30，从而得到AC=2r，AD=r，由DC=AC-AD=可求出O的半径长5、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF(1)求证：PC是O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长分析：（1）连接OC，
12、证明OCP=90即可（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明OGAOHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长解答：（1）证明：连接OCPC=PF，OA=OC，PCA=PFC，OCA=OAC，PFC=AFH，DEAB，AHF=90，PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90，PC是O的切线（2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DEDF，理由如下：连接AE点D在劣弧AC中点位置，DAF=DEA，ADE=ADE，DAFDEA，AD：ED=FD：AD，AD2=DEDF（3）解：连接OD交AC于GOH=1，AH=2，
13、OA=3，即可得OD=3，DH=2点D在劣弧AC中点位置，ACDO，OGA=OHD=90，在OGA和OHD中，OGAOHD（AAS），AG=DH，AC=4点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质 6、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF(1)求证：PC是O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长（1
14、）证明：连接OCPC=PF，OA=OC，PCA=PFC，OCA=OAC，PFC=AFH，DEAB，AHF=90，PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90，PC是O的切线（2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DEDF，理由如下：连接AE点D在劣弧AC中点位置，DAF=DEA，ADE=ADE，DAFDEA，AD：ED=FD：AD，AD2=DEDF（3）解：连接OD交AC于GOH=1，AH=2，OA=3，即可得OD=3，DH=2点D在劣弧AC中点位置，ACDO，OGA=OHD=90，在OGA和OHD中，OGAOHD（AAS），AG=DH，AC=4解析：（1）连接OC，证明OCP=90
15、即可（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明OGAOHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长。7、如图，AB是O的直径，CB、CD分别切O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；(1)求证：AE是O的切线；(2)过点D作DFAB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF证明：（1）连接OD，OE，CB、CD分别切O于B、D两点，ODE=90，CD=CE，CE=AE+BC，CE=CD+DE，AE=DE，OD=OA，OE=OE，ODEOAE（SSS），OAE=ODE=90，OAAE，AE是O的切线；（2）
16、DFAB，AEAB，BCAB，AEDFBC，BMFBEA，EDMECB，DM=MF解析：（1）首先连接OD，OE，由CB、CD分别切O于B、D两点，即可得ODE=90，CD=CE，又由CE=AE+BC，CE=CD+DE，即可证得AE=DE，则可得ODEOAE，即可证得AE是O的切线；（2）首先易证得AEDFBC，然后由平行线分线段成比例定理，求得比例线段，将比例线段变形，即可求得DM=MF8、已知：如图，AB是O的直径，D是O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DEAC，垂足是点E过点B作BEAB，交ED延长线于点F，连结OF。求证：(1)EF是O的切线；(2)OBFDEC
17、。证明：（1）连结OD，AB是O的直径，OA=OB，又CD=BD，ODAC， DEAC， DEC=90，ODE=90，点D是O上一点，EF是O的切线。（2）BFAB，AB是O的直径，BF是O的切线，EF是O的切线，BFO=DFO，FB=FD， OFBD，FDB=CDE，OFD=C，C=OFB， 又CED=FBO=90， OBFDEC。9、如图，已知AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O切线，交OD的延长线于点E，连结BE(1)求证：BE与O相切；(2)连结AD并延长交BE于点F，若OB6，且sinABC，求BF的长解：（1）连结CO，ODBC，12，再由COOB，OE公共，O
18、CEOBE（SAS ）OCEOBE，又CE是切线，OCE90，OBE90BE与O相切（2）备用图中，作DHOB于H，H为垂足，在RtODB中，OB6，且sinABC，OD4，同理RtODHRtODB，DH，OH又RtABFRtAHD，FBDHABAH，FB考点：切线定义，全等三角形判定，相似三角形性质及判定。点评：熟知以上定义性质，根据已知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。但解法不唯一，属于中档题。10、如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。(1)求证：DE是O的切线；(2)若，求的值；(3)在(2)的条件下，若O直
19、径为10，求EFD的面积试题分析：（1）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形的性质可得CAD=ODA，推出ODAC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；（2）先由（1）得ODAE，再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案；（3）根据三角形的面积公式结合圆的基本性质求解即可.（1）连接OD因为OA = OD所以OAD = ODA又已知OAD = DAE可得ODA = DAE ，所以ODAC ，又已知DEAC可得DEOD所以DE是O的切线；（2）由（1）得ODAE，（3）考点：圆的综合题点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.11、已知：如图，在R
20、tABC中，A=90，以AB为直径作O，BC交O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F求证：(1)DE为O的切线(2)ABDF=ACBF证明：（1）如图，连接OD、ADOD=OA，2=3，AB是O的直径，BDA=90，CDA=90又E是边AC的中点，DE=AE=AC，1=4，4+3=1+2=90，即又AB是O的直径，DE为O的切线；（2）如图，ABAC，ADBC，3=C（同角的余角相等）又ADB=CDA=90，ABDCAD，易证FADFDB，ABDF=ACBF解析：（1）连接OD、AD，求出CDA=BDA=90，点E为AC中点，求出1=4，2=3，推出4+3=1+2=90，根据
21、切线的判定即可；（2）证ABDCAD，推出，再证FADFDB，推出，得，即可得出ABDF=ACBF12、如图，以ABC的边AB为直径的O与边BC交于点D，过点D作DEAC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分BAC(1)求证：EF是O的切线；(2)若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积解：（1）连接ODOA=OD，OAD=ODA，AD平分BAC，OAD=CAD，ODA=CAD，ODAC，DEAC，DEA=90，ODF=DEA=90，OD是半径，EF是O的切线（2）AB为O的直径，DEAC，BDA=DEA=90，BAD=CAD，BADDAE，即，AD=2，cosBAD=， BAD=30
22、，BOD=2BAD=60，BD=AB=2，SBOD=SABD=22=，S阴影=S扇形BOD-SBOD=解析：（1）根据等腰三角形性质和角平分线性质得出OAD=ODA=DAE，推出ODAC，推出ODEF，根据切线的判定推出即可；（2）证BADDAE，求出AD长，根据锐角三角函数的定义求出BAD=30，求出BOD=60和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和BOD的面积，相减即可13、知AB是O的直径，直线l与O相切于点C且，弦CD交AB于E，BFl，垂足为F，BF交O于G。(1)求证：CE2=FGFB；(2)若tanCBF=，AE=3，求O的直径。解：（1）证明：连结AC，AB为直径，ACB
23、=90，且AB是直径，ABCD即CE是RtABC的高，A=ECB，ACE=EBC，CE是O的切线，FCB=A，CF2=FGFB，FCB=ECB，BFC=CEB=90，CB=CB，BCFBCE，CE=CF，FBC=CBE，CE2=FGFB；（2）CBF=CBE，CBE=ACE，ACE=CBF，tanCBF=tanACE=，AE=3，CE=6，在RtABC中，CE是高，CE2=AEEB，即62=3EB，EB=12，O的直径为：12+3=15。14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E.求证：AEBD； AD 2 = DFAE证明
24、：AE为圆的切线，EAB=ACE（弦切角等于夹弧所对的圆周角），CA为BCD的平分线，ACE=ACD，ABD=ACD，EAB=ABD，AEBD；AEBD，AEC=DBC，DBC=DAC，AEC=DAC，EAB=ADB（弦切角等于夹弧所对的圆周角），ABEDFA，ACE=ACD，AD=AB，则ADAB=AD2=AEDF15、已知：ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作O，过E作O的切线ET，T为切点.求证：ET = ED证明：因为四边形ABCD是平行四边形ADBCEAD=ECFEDA=EFCAEDCEF(AA) AB平行DCEAG=ECDG=EDC
25、AEGCED（AA)ET与O相切于点T16、如图，ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CDBA，垂足为D.求证：（1） DAC = 2B； （2） CA 2 = CDCO证明：（1）如图,由已知ABC中,AB=AC得ABC为等腰三角形,B=ACB外角1=B+ACB=2B又由已知O是BC上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆与AC相切于点A得OAB为等腰三角形,B=OAB,OAAC外角2=B+OAB=2BOAC=90即1=2，OAC为直角三角形由已知过C作CDBA的延长线于D，得ADC=90，ADC为直角三角形在直角三角形OAC和ADC中1=2,OAC=ADC=90OACADC则CA/CO=CD/CA，即CA=CDCO
