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1、第5章 空间力系与重心教学提示：本章介绍空间力系和重心、包括空间力的投影与分解、力对轴之矩、空间力系的平衡、物体的重心.是静力学重要内容之一。教学要求： 本章是学生掌握以下内容，并学会实际应用。 (1) 空间汇交力系的概念 (2) 力对轴之矩和力对点之矩概念和计算 (3) 空间力偶系 (4) 空间力系的简化 (5) 空间力系的平衡条件和平衡方程 (6) 物体的重心5.1力在直角坐标轴上的投影已知力F与x轴如图5.1(a)所示，过力F的两端点A、B分别作垂直于x轴的平面M及N ，与x轴交于a、b，则线段ab冠以正号或负号称为力F在x轴上的投影，即Fxab符号规定：若从a到b的方向与x轴的正向一致
2、取正号，反之取负号。已知力F与平面Q，如图5.1(b)所示。过力的两端点A、B分别作平面Q的垂直线AA、BB，则矢量称为力F在平面Q上的投影。应注意的是力在平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。(a) (b)图5.1图5.2现在讨论力F在空间直角坐标系Oxy中的情况。如图5.2(a)所示，过力F的端点A、B分别作x、y、z三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA、OB、OC就是力F在x、y、z轴上的投影。设力F与x、y、z所夹的角分别是、，则力F在空间直角坐标轴上的投影为： (51)用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已
3、知力F与z轴夹角为 ,可先将力投影到坐标平面Oxy上，然后再投影到坐标轴x、y上，如图5.2（b）所示。设力F在Oxy平面上的投影为Fxy与x轴间的夹角为，则 (52)用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。若已知力F在坐标轴上的投影，则该力的大小及方向余弦为 （53）如果把一个力沿空间直角坐标轴分解，则沿三个坐标轴分力的大小等于力在这三个坐标轴上投影的绝对值。例5.1 如图5.3所示，已知力F12kN，F21kN，F33kN，试分别计算三力在x、y、z轴上的投影。图5.3解：5.2力对轴之矩力对轴之矩是度量力使物体绕某轴转动效应的力学量。实践表明，力使物体绕一个轴转动的效果，不仅与力的大
4、小有关，而且和力与转轴之间的相对位置有关。如图5.4所示的一扇门可绕固定轴z转动。我们将力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于轴的分力Fxy（即为力F在平面Oxy上的投影）。由经验可知，分力Fz不能使门绕z轴转动，即力Fz对z轴的矩为零；只有分力Fxy才能使门绕z轴转动。现用符号mz(F)表示力F对z轴的矩，点O为平面Oxy与z轴的交点，d为O点到力Fxy作用线的距离。因此，力F对z轴的矩与其分力Fxy对点O的矩等效，即mz(F)mo(Fxy) Fxy d (54) 图5.4 图5.5 可得力对轴之矩的定义如下：力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的量度，是一个代数量，其大小等于力在垂直于该轴的
5、平面上的投影对该平面与该轴的交点的矩，其正负号规定为：从轴的正向看，力使物体绕该轴逆时针转动时，取正号；反之取负号。也可按右手螺旋法则来确定其正负号，姆指指向与轴的正向一致时取正号，反之取负号，如图5.5所示。注意，当力与轴共面时力对该轴的之矩为零。力对轴之矩的单位是牛米（Nm）或千牛米(kNm)。另外合力矩定理在空间力系中也同样适用。例5.2 计算图5.6所示手摇曲柄上的力对轴之矩。已知N，AB=20cm，BC=40cm，CD=15cm，A、B、C、D处于同一水平面上。图5.6解：力为平行于平面的平面力，在和轴上有投影 计算力对各轴的力矩Ncm Ncm Ncm5.3空间力系的平衡方程及应用与
6、建立平面力系的平衡条件的方法相同，通过力系的简化，可建立空间力系的平衡方程。 （55）上式表明：空间力系平衡的必要和充分条件为各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和分别等于零。（55）式有六个独立的平衡方程，要以求解六个未知数。从空间任意力系的平衡方程，很容易导出空间汇交力系和空间平行力系的平衡方程。如图67a所示，设物体受一空间汇交力系的作用，若选择空间汇交力系的汇交点为坐标系Oxyz的原点，则不论此力系是否平衡，各力对三轴之矩恒为零，即mx(F)0,my(F)0，mz(F)0。因此，空间汇交力系的平衡方程为：Fx0, Fy0, Fz0 （56）设物体受一空间平行力系的作
7、用。令轴与这些力平行，则各力对于轴的矩恒等于零；又由于轴和轴都与这些力垂直，所以各力在这两个轴上的投影也恒等于零。即mz(F)0，Fx0, Fy0。因此空间平行力系的平衡方程为Fz0，mx(F)0,my(F)0 （57）空间汇交力系和空间平行力系分别只有三个独立的平衡方程，因此只能求解三个未知数。 图5.7例5.3用三角架ABCD和绞车提升一重物如图5.8所示。设ABC为一等边三角形，各杆及绳索均与水平面成60的角。已知重物FG30kN,各杆均为二力杆，滑轮大小不计。试求重物匀速吊起时各杆所受的力。图58（ab）解：取铰D为 脱离体，画受力图如图5.8b所示，各力形成空间汇交力系。由Fx0,
8、NADcos60sin60+ NBDcos60sin60=0得 NAD=NAD由Fy0, T cos60+NCDcos60NADcos60cos60NBDcos60cos60=0得 FGNCD0.5NAD0.5NBD=0由Fz0, NADsin60+NCDsin60+NBDsin60T sin60FG=0得 0.866(NAD+ NCD+ NBD)(0.866+1)FG=0联立求解得：NAD =NBD =31.55kN ， NCD=1.55kN。例5.4 一辆三轮货车自重FG5kN，载重F10kN，作用点位置如图5.9所示。求静止时地面对轮子的反力。图5.9解：自重FG、载重F及地面对轮子的反
9、力组成空间平行力系。Fx0 FAFBFCGAF0mx(F)0 1.5 FA0.5 FG0.6 F0my(F)0 0.5FA1FB0.5FG0.4FA0联立以上方程得：FA5.67kN FB5.66kN FC3.67kN例5.5 某厂房柱子下端固定，柱顶承受力F1，牛腿上承受铅直力F2及水平力F3，取坐标系如图5.10所示。F1、F2在yoz平面内，与z轴的距离分别为e10.1m，e20.34m；F3平行于x轴。已知F1120kN，F2300kN，F325kN，柱子自重FG40kN，h6m。试求基础的约束反力。解 ：柱子基础为固定端，其约束反力如图所示，该约束反力与柱子上各荷载形成空间任意力系。
10、Fx0 FxF30 Fy0 Fy0 Fz0 FzF1F2FG0 mx(F)0 mx + F1e1F2e20 my(F)0 myF3 h0 mz(F)0 mz+ F3e20 将已知数值代入以上方程并求得柱子的约束反力为 F125kN Fy0 Fz460kNmx 90kNm my150kNm mz8.5kNm 图5.10 5.4物体的重心和形心物体的重力是地球对物体的引力，如果把物体看成是由许多微小部分组成的，则每个微小的部分都受到地球的引力，这些引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物体尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地看成是空间平行力系，该力系的合力即为物体的
11、重量。由实践可知，无论物体如何放置，重力合力的作用线总是过一个确定点，这个点就是物体的重心。重心的位置对于物体的平衡和运动，都有很大关系。在工程上，设计挡土墙、重力坝等建筑我时，重心位置直接关系到建筑我的抗倾稳定性及其内部受力的分布。机械的转动部分如偏心轮应使其重心离转动轴有一定距离，以便利用其偏心产生的效果；而一般的高速转动物体又必须使其重心尽可能不偏离转动轴，以免产生不良影响。所以如何确定物体的重心位置，在实践中有着重要的意义。 1.物体重心坐标公式图5.11如图5.11所示，设一物体放置于坐标系Oxyz中,将物体分成许多微小的部分，其所受的重力各为Pi，作用点即微小部分的重心为Ci ，其
12、对应坐标分别为xi、yi、zi，所有Pi的合力P就是整个物体所受的重力，其大小即整个物体的重量为Pp，其作用点即为物体的重心C。设重心C的坐标为xc、yc、zc ，由合力矩定理，有mx(P)mx(P) , PycPymy(P)my(P) , PxcPx根据物体重心的性质，将物体与坐标系固连在一起绕x轴转过90，各力Pi及P分别绕其作用点也转过90，如图中虚线所示，再应用合力矩定理，有mx(P)mx(P) , PzcPz由上述三式可得物体的重心坐标公式为 （ 58）若物体是均质的，其单位体积的重量为，各微小部分体积为Vi，整个物体的体积为VV，则PiVi，PV代入上式，得 （59）由式（59）可
13、知，均质物体的重心与物体的重量无关，只取决于物体的几何形状和尺寸。这个由物体的几何形状和尺寸决定的物体的几何中心，称为物体的形心。它是几何概念。只有均质物体的重心和形心才重合于同一点。若物体是均质薄壳（或曲面），其重心（或形心）坐标公式为 （510）若物体是或均质细杆（或曲线），其重心（或形心）坐标公式为 （511） 2.物体重心与形心的计算根据物体的具体形状的特征，可用不同的方法确定其重心及形心的位置。（一） 对称法由重心公式不难证明，具有对称轴、对称面或对称中心的均质物体，其形心必定在其对称轴、对称面或对称中心上。因此，有一根对称轴的的平面图形，其形心在对称轴上；具有两根或两根以上对称轴的
14、平面图形，其形心在对称轴的交点上；有对称中心的物体，其形以在对称中心上。如图5.12所示。图5.12 （二） 积分法求基本规则形式的形心，可将形体分割成无限多个微小形体，在此极限情况下，可利用形心的积分公式（5-9）、（5-10）、（5-11）求解。对于常用的一些简单的图形和物体的重心位置可从工程手册中查得。现将几种常用的简单形体的重心列于表5-1，供参阅。表5-1 常用简单形状均质物体的重心位置图 形重心位置图 形重心位置在中线交点上在上下底中点的连线上半圆弧半圆（三）组合法有限分割法有些平面图形是由几个简单图形组成的，称为组合图形，可先把图形分成几个简单图形，每个简单图形的形心可查表求得，
15、再应用形心坐标公式计算出组合图形的形心这种方法称组合法。 如有一形体为一基本形体中挖去另一基本形体的残留形状，则只需将被挖去的体积或面积看成负值，仍然可应用相同的方法来求出其形心。 例5.6图5.13为一倒T形截面，求该截面的形心。图5.13解：因图形有一对称轴，故取该轴为轴，如图所示。则图形形心必在轴上，即xc0。将图形分成两部分A1、A2，各分图形面积及坐标yi如下A120040080 000 (mm2)Y1400/2+100300 (mm)A260010060 000 (mm2)Y1100/250 (mm)则例5.7 图5.14所示为振动器中偏心块，已知R100mm，r17mm，b13m
16、m。求振动器偏心块的形心。图5.14解：将振动器偏心块看成是由三部分组成的，即半径为R的半圆A1 、半径为（r+b）的半圆A2 、及半径为r的圆A3，但因为该圆是被挖去的部分，所以A3应取负值。取坐标如图，轴为对称轴，故xc0。各部分的面积及形心坐标为偏心块重心坐标为(0，40mm)本章小结1) 力在空间直角坐标轴上的投影方法有直接投影法和二次投影法：直接投影法：二次投影法：2) 对轴之矩在力与轴平行和力与轴相交两种情况下为零。力与轴空间交错时（不平行也不相交）3) 空间一般力系合成和平衡求解有两种方法：（1） 直接利用空间力系在坐标轴上的投影得到从而得到平衡方程：， ，（2） 将空间力系转化
17、为三个平面力系求解问题。4) 物体的重心位置可根据应用合力矩定理得到的确定重心的坐标公式得出。习 题5.1已知一个力F的值及该力与x轴、y轴的夹角、，能否算出该力在z轴的投影？5.2有一力F和x轴，若力在轴上的投影和力对轴的矩是下列情况：（a）Fx0 ，mx(F)0；（b）Fx0 ，mx(F)0；（c）Fx0 ，mx(F)0；（d）Fx0 ，mx(F)0。试判断每一种情况力F的作用线与x轴的关系如何。5.3空间任意力系的平衡方程除了包括三个投影方程和三个力矩方程外，是否还有其它形式？5.4物体的重心是否一定在物体的内部？5.5当物体质量分布不均匀时，重心和几何中心还重合吗？为什么？5.6计算一
18、物体重心的位置时，如果选取的坐标轴不同，重心的坐标是否改变？重心在物体内的位置是否改变？ 5.7沿着直三棱边作用 5 个力，如图5.7所示。已知 ，OA = OC = ，OB = 2 。试将此力系简化。 5.8力系中，各力作用线的位置如图5.8 所示。试将力系向原点O 简化。 题图5.7 题图5.85.9 平行力系由五个力组成，各方向如图5.9所示。已知P1=150 N，P2=100 N，P3=200 N，P4=150 N，P5=100 N。图中坐标的单位为cm。求平行力系的合力。 题图5.95.10 托架ABCD 在平面Axy 平面内，AB 垂直BC，BC垂直CD，尺寸如图5.10 所示，A
19、处为固定端。在D 处作用一力F。它在与y 轴垂直的平面内，与铅垂线夹角为a。试求力F对三个坐标轴之矩。题图5.105.11重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。已知P1000N，CEED12cm，EA24cm，b 45，不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。 题图5.115.12一车床的主轴如图a所示，齿轮C半径为100 mm，卡盘D夹住一半径为50 mm的工件，A为向心推力轴承，B为向心轴承。切削时工件等速转动，车刀给工件的切削力Px466 N、Py352 N、Pz1400 N，齿轮C在啮合处受力为Q，作用在齿轮C的最低点。不考虑主轴及其附件的质量，试求力Q的大小及A、B处的约束反力。 题图5.12
