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1、第16讲 巧用对称、旋转解图形题如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形；如果一个图形沿着某一固定点旋转180，两个图形能够完全重合，那么这两个图形叫做以这个点为中心对称图形。灵活地运用轴对称和中心对称常可以得到问题的简捷解法。日常生活中，我们经常能够看到两边对称的图形，例如，枫叶、蝴蝶、飞机很多几何图形，如矩形、等腰三角形、菱形也是对称的。例1、有一个长方形ABCD和圆心为O的圆，你能作一直线，把它们分成周长和面积都相等的两部分吗？分析与解 长方形是中心对称图形，圆也是中心对称图形，由于过中心对称图形对称中心的直线把图形分成周长和面积都相等的两部分，所
2、以找出同时过两个图形的中心对称点的直线，问题就能够顺利解决。如图：做一做1、下面的图形分成周长和面积相等的两部分。例2、求下图1中阴影部分的面积。（单位：厘米）解：图1中阴影部分的面积=等腰直角三角形的面积-圆面积的。圆面积可求，但三角形的面积不易求。不过我们知道圆盒正方形是对称图形，根据对称性，只要将四个同样的图1拼到一起，就能得到如图2所示的图形，这样解题思路就明朗化了。S阴影=（88-3.1442）4=13.764=3.44（厘米2）做一做：求右图的面积。（单位：厘米）例3、如下图1，在直角三角形ABC中，AF长10厘米，CD长8厘米，求长方形BDEF的面积是多少？分析与解 分别过A点和
3、C点作BC和AB的平行线AA和CA,延长DE交AA于D，延长FE交CA于F（见图2）。在图2中，因为ADE的面积等于AEF的面积，CEF的面积等于CED的面积，所以ADE和CEFD 面积之和等于AEF和CDE的面积之和；又因为AAC的面积等于ABC的面积，所以长方形BDEF的面积应该等于长方形ADEF的面积。（想一想，为什么？）分析到此，便可看出：长方形ADEF的面积等于108=80（厘米2），所以，长方形BDEF的面积也是108=80（厘米2）。做一做：如下图，四边形ABCD中，AC垂直于BD，AC长15厘米，BD长12厘米，求四边形ABCD的面积是多少？例4、如图1，ABCD是直角梯形，四
4、边形AEGF、MBKN都是正方形，且AE=MB，EP=KC=9，DF=PM=4，则DPC的面积是（单位厘米）。解：如图2所示，以PC为对角线作长方形PBCH。因为PBC与PHC，PMN与PIN,CKN与CJN的面积相等，所以正方形MBKN与长方形INJH的面积相等，面积为INNJPMKC4936(厘米2)由此求得正方形MBKN的边长为6厘米。梯形ABCD的面积= = =312.5(厘米2)直角PAD与CBP的面积相等，且为=(6+4)(6+9)2=75(厘米2)所以，DPC的面积=312.5-752=162.5(厘米2)答：DPC的面积是162.5厘米2。做一做4、 图中ABC是直角三角形，B
5、DEF是正方形，AD=4厘米，FC=9厘米，则ABC的面积是多少？例5、已知正方形的周长是8分米，求阴影部分的面积。此题一般解法的图示：将上图1中的半圆（以AB为轴）、扇形（以BC为轴）翻开，变成图2，再将图2变成图1，反复几次，不难发现：阴影是重叠的，而阴影、则非重叠，都在ABC之外，半圆形与扇形的面积之和减去ABC的面积，其差就是图中三个阴影部分面积之和。从而解得：S阴影=12+22-22=-2=1.44（分米2）做一做：如下图所示，底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高为直径画圆，以底的一半长为直径花两个半圆，求阴影部分的面积。例6、一个直角三角形的三条边的长度是3，4，5，如果分别以
6、各边为轴旋转一周，则得到三个立体图形，求这三个立体图形中最大体积和最小体积之比。分析与解 （1）如下图1所示，以长度是3的边为轴旋转一周，得到的是底面半径4，高为3的圆锥，体积为423=16。图1 图2 图3（2）以长度是4的边为轴旋转一周，得到的是底面半径为3，高为4的圆锥（图2），其体积为324=12。（3）以长度是5的边为轴旋转一周，得到的是底面半径都为，底部相接的两个圆锥（图3），其体积为2（）25=。做一做：如图，ABCD是直角梯形。（单位：厘米）（1） 以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少？（2） 如果以CD为轴，并将这个梯形绕这个轴旋转一周，得到的旋
7、转体体积是多少？例7、如图，正方形ABCD的面积是120厘米2，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少？解：因为BE=BF=FC,所以BEC、BDF、FDC的面积相等，都等于1204=30（cm2）。连接GF（见下图）。因为BF=FC,所以SBFG=SPGC。再由对称性，SBFG= SBEC = 30=10（cm2）。因为SGDF=SBDF-SBGF=30-10=20（cm2），所以?=,推知？=，所以SGHF=SPGC=10=4（cm2）。四边形BGHF的面积为：SBGF+SGHF=10+4=14（cm2）。做一做：下图中ABCD是边长为1的正方形，E，F，G，H分别是A
8、B,BC,CD,DA的中点，计算下图中阴影部分的面积。巧练习温故知新（十六）1、如图1所示，将立方体绕它的对角线AC旋转，会形成图2中哪种立体图形？ 2、如图所示，求阴影部分的面积。（单位：厘米）3、如下图所示，求直角梯形中阴影部分面积。（单位：厘米）4、求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）5、已知等腰直角三角形的斜边长为7厘米，求三角形的面积。6、以等腰直分别角三角形两个锐角的顶点为圆心，以2厘米为半径分别画一个圆(如下图)。如果直角三角形的面积是24厘米2，求阴影部分的面积。7、如下图所示，圆心角为45，其中等腰直角三角形的直角边长6厘米，求阴影部分面积。8、求下图中阴影部分面积。（单位
9、：厘米）9、如下图所示，求阴影部分面积。（单位：厘米）10、下图中的正方形由三个长方形拼成，已知一个长方形的宽等于另两个长方形的宽的和，若对角线上方两个阴影部分的面积分别是6厘米2和5厘米2，则对角线下方阴影部分的面积是多少？11、用一张斜边长3厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长5厘米的蓝色直角三角形的纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，如下图所示。问：红、蓝两张三角形纸片的面积之和是多少？12、如下图所示、E、F分别是梯形ABCD底BC和腰CD上的点，DF=FC，并且甲、乙、丙三个三角形的面积相等。已知梯形ABCD的面积是32厘米2，求图中阴影部分的面积。13、如下图所示，ABCD是平行四边形，AD=8厘米，AB=10厘米，DAB=30，高CH=4厘米，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径。求阴影部分的面积。（精确到0.01）14、下图中ABC是等腰三角形，AB=AC,BAC=120。三角形ADE是正三角形，点D在BC边上，BD:DC=2:3。当ABC的面积为50厘米2时，ADE的面积是多少？15、如下图所示，正方形，正方形PQRS有三个顶点分别在ABC的三条边上，BQ=QC，请求出正方形PQRS的面积。
