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1、绝对值型不等式和三角不等式定理1 如果a, b是实数，则 |a+b|a|+|b|（当且仅当ab0时，等号成立）。绝对值三角不等式(a,b为实数)定理2 如果a, b, c是实数，那么 |a-c|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立）。证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立）。绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。题型一解绝对值不等式 【例1】设函数f(x)|x1|x2|.(1)解不等式f(x)3；(2)若f(x)a对xR恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)
2、所以不等式f(x)3的解集为(，0)(3，).(2)因为f(x)所以f(x)min1.因为f(x)a恒成立，所以a1，即实数a的取值范围是(，1).【变式训练1】设函数f(x).(1)当a5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.【解析】(1)由题设知|x1|x2|50，如图，在同一坐标系中作出函数y|x1|x2|和y5的图象，知定义域为(，23，).(2)由题设知，当xR时，恒有|x1|x2|a0，即|x1|x2|a，又由(1)知|x1|x2|3，所以a3，即a3.题型二 绝对值三角不等式的应用例2(1)求函数y|x3|x1|的最大值和最小值 (2)设
3、aR，函数f(x)ax2xa(1x1)若|a|1，求|f(x)|的最大值思路点拨利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解解(1)法一：|x3|x1|(x3)(x1)|4，4|x3|x1|4.ymax4，ymin4.法二：把函数看作分段函数y|x3|x1|4y4.ymax4，ymin4.(2)|x|1，|a|1，|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|a|x21|x|x21|x|1|x2|x|x|2|x|1(|x|)2. |x|时，|f(x)|取得最大值.规律：(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是
4、解题的关键3若a，bR，且|a|3，|b|2则|ab|的最大值是_，最小值是_解析：|a|b|ab|a|b|，132|ab|325.答案：514求函数f(x)|x1|x1|的最小值解：|x1|x1|1x|x1|1xx1|2，当且仅当(1x)(1x)0，即1x1时取等号当1x1时，函数f(x)|x1|x1| 取得最小值2.5若对任意实数，不等式|x1|x2|a恒成立，求a的取值范围解：a|x1|x2|对任意实数恒成立，a|x1|x2|min.|x1|x2|(x1)(x2)|3，3|x1|x2|3.|x1|x2|min3.a3.即a的取值范围为(，3)题型三解绝对值三角不等式【例2】已知函数f(x
5、)|x1|x2|，若不等式|ab|ab|a|f(x)对a0，a、bR恒成立，求实数x的范围.【解析】由|ab|ab|a|f(x)且a0得f(x).又因为2，则有2f(x).解不等式|x1|x2|2得x.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x1|x3|a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是.【解析】(，0)2.题型四利用绝对值不等式求参数范围【例3】(2009辽宁)设函数f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范围.【解析】(1)当a1时，f(x)|x1|x1|.由f(x)3得|x1|x1|3，综上得f(x)3的解集为(，).(2
6、)综上可知a的取值范围为(，13，).【变式训练3】关于实数x的不等式|x(a1)2|(a1)2与x23(a1)x2(3a1)0 (aR)的解集分别为A，B.求使AB的a的取值范围.【解析】由不等式|x(a1)2|(a1)2(a1)2x(a1)2(a1)2，解得2axa21，于是Ax|2axa21.由不等式x23(a1)x2(3a1)0(x2)x(3a1)0，当3a12，即a时，Bx|2x3a1，因为AB，所以必有解得1a3；当3a12，即a时， Bx|3a1x2，因为AB，所以解得a1.综上使AB的a的取值范围是a1或1a3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运
7、用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，a的解集是(a，a)；a的解集是(，a)(a，)，它可以推广到复合型绝对值不等式c，c的解法，还可以推广到右边含未知数x的不等式，如x11x3x1x1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如c和c型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.类型一：含一个绝对值符号的不等式的解法含一个绝对值符号的不等式的一般形式为 或 ，解这种不等式我们最常用的方法是等价转化法，有时也可用分类讨论法绝对值不等式的两类同解变形：
8、不等式同解变形例1.解不等式分析利用f(x)0) -af(x)a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组.解：原不等式等价于，即由（1）得：；由（2）得：或， 所以，原不等式的解集为或注本题也可用数形结合法来求解.在同一坐标系中画出函数的图象，解方程，再对照图形写出此不等式的解集.例2. 解不等式.分析利用f(x)g(x) -g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理或用分类讨论法解之.方法一：原不等式转化为或，解之得原不等式的解集为. 方法二：原不等式等价于或.解之得或，即或.所以原不等式的解集为.注.通过例
9、2可以发现：形如，型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，用同解变形法则更为简洁.分类讨论法也可讨论而解之，这实际上是同解变形法的推导依据.类型二：含两个绝对值符号的不等式的解法含两个绝对值符号的不等式，我们常见的形式为： 或 ，我们解这种不等式常用的方法有零点分段法和构造函数的方法，有时候也可利用绝对值的几何意义和平方法例3.解不等式分析两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：|0解：原不等式解得，故原不等式的解集为例4.解不等式分析解法一利用绝对值的几何意义（体现了数形结合的思想）不等式的几何意义是
10、表示数轴上与、两点距离之和大于等于7的点，而、的距离之和为3，因此线段上每一点到、的距离之和都等于3，左侧的点到、的距离之和等于这点到点距离的2倍加3，右侧的点到、的距离之和等于这点到点距离的2倍加3-34 图1由图1可知：原不等式的解集为解法二 利用的零点，把数轴分为三段，然后分段考虑把原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解（零点分段讨论法）（1）当时，原不等式同解于；（2）当时，原不等式同解于 无解；（3）当时，原不等式同解于综上知，原不等式的解集为解法三 通过构造函数，利用函数图像（体现了函数与方程的思想）原不等式可化为令，则可解得原不等式的解集为例5 解关于x的不等式分析原不等式可化为
11、，一般会分类讨论去绝对值号解题，即：通常分，三种情况去绝对值符号，再分进行讨论，这样做过程冗长，极易出错根据此题特点，不妨改变一下操作程序，即原不等式两边平方，再由定义去绝对值号，则分析将十分清晰，过程也简洁得多.解：原不等式可化为，将两边平方可得：，则有：（1）；（2）.综上知，故当时，解为；当时，解为 注形如和的含两个绝对值符号的不等式用平方法并不是很麻烦，可以通过两次平方去掉绝对值化为一般的不等式，所以我们在解题的过程中要选择一个合适的方法进行求解例6解不等式 分析解含有双层绝对值符号的不等式的基本思想就是一层一层的去掉绝对值，使不等式化为不含绝对值的一般不等式常用的方法有等价转化法、零
12、点分段法和平方法，当然利用绝对值不等式的性质求解不等式是一种比较简单的方法，但这种方法比较抽象，一般不容易想到但本题不可以采用零点分段法，也不能采用平方法，因为平方后既含有的项，又含有的项，所以我们先把不等式进行等价转化，然后把它看成有关的一元二次不等式组进行求解解： 原不等式的解集为 类型三：含参数的绝对值不等式的解法解含参数的绝对值不等式的思想就是首先要对参数的情况进行分情况讨论，然后分别在各种情况下对不等式进行求解，最后把各种结果综合在一起就可以得到原不等式的解另外，有一些题也可通过转化，不进行讨论就可以轻松的解答出来例7解关于x的不等式 分析本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等
13、式来解，运算理较大.若化简成，则解题过程更简单.在解题过程中需根据绝对值定义对的正负进行讨论.解：原不等式等价于 当即时，当即时， x-6当即时， xR注形如|()型不等式，简捷解法是等价命题法，即：例8 （2004年海南卷）解关于的不等式分析利用，无解或，即利用绝对值的定义法求解.解：（1） 当时，原不等式等价于：（2） 当时，原不等式等价于：（3） 当时，原不等式等价于：或或综上所述:（1） 当时，原不等式的解集为：（2） 当时，原不等式的解集为：（3） 当时，原不等式的解集为：类型四：含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题例9 （2010高考安徽卷）不等式对任意的实数恒成立，则实数a
14、的取值范围是（ ）A B.C. D.分析要使对任意实数恒成立，只要|+3|1|的最大值小于或等于.方法一：形如使恒成立型不等式.可利用绝对值三角不等式：，结合极端性原理即可解得，即：；解：设函数，所以而不等式对任意的实数恒成立.故，故选择A方法二：因|+3|的几何意义为数轴上点到3的距离，|1|的几何意义为数轴上点到1的距离，|+3|1|的几何意义为数轴上点到3与1的距离的差，其最大值可求.解：根据绝对值的几何意义，设数，3,1在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|PB|成立|AB|=4，即|+3|1|4故当4时，即原不等式恒成立注. 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改
15、写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围，但过程较繁. 转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R、有解或解集为空等问题都可转化为求最大、最小值问题.变式 （2012陕西文理）若存在实数使成立,则实数的取值范围是_.解析:,解得:例10（2012课标文理）已知函数=.()当时,求不等式 3的解集;() 若的解集包含,求的取值范围.分析本题()有些同学可能会去解这个不等式，再分析该不等式的解集与的集合关系，结果将问题复杂化.这个问题实际上可转化为不等式在恒成立的问题而解之. 解：(1)当时, 或或 或 (2)原命题在上恒成立 在上恒成立在上恒成立 例11（2010全国卷）设函数
16、= + 1. （）画出函数y=的图像： （）若不等式ax的解集非空，求a的取值范围解：（）由于则函数的图像如图所示.（）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点.故不等式a的解集非空时，的取值范围为 高.考.资.源.网高考资源网注.此题巧用构造函数法利用数形结合法解第二问，比参变分离法转化为最值问题求解更为简洁，避免了分类讨论的麻烦.含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题的等价转换（函数法）：.有解；解集为空集；这两者互补.恒成立.有解；解集为空集；这两者互补.恒成立.有解；解集为空集；这两者互补.恒成立.有解；解集为空集；这两者互补.恒成立.类型五绝对值三角不等式问题
17、例12已知，求证：分析本题中给定函数和条件，注意到要证的式子右边不含，因此对条件的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用，替出；(3)用绝对值的性质进行替换证明：，即注这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用分析中对条件使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用例13已知函数f(x)=，a,bR，且，求证|f(a)-f(b)|a-b|.分析要证，考察左边，是否能产生|a-b|.证明：|f(a)-f(b)|= （其中，同理）注.证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步.此外，综合运用不等式的性质是证
18、题成功的关键.如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等.本题的背景知识与解析几何有关.函数是双曲线，的上支，而（即），则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值，很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间.类型六 含有绝对值的不等式的应用含绝对值的不等式常用来解决一些有关集合、函数、数列、平面向量、解析几何的问题，也用来解决一些实际问题，通常解决这些问题就是根据题意列出含有绝对值符号的不等式，然后解出这个不等式就可以得到问题的答案，解这些不等式的常用的方法就是我们上面所总结的方法例14（2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所
19、给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.分析本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的，也能先猜后证，所找到的实数只需满足，且1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.解：已知条件即，或，或，已知条件即，或；令，则即，或，此时必有成立，反之不然.故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应
20、的命题是若则，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.例15 已知数列通项公式对于正整数、，当时，求证：分析已知数列的通项公式是数列的前项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式，问题便可解决证明：注.以为首项，以为公比，共有项的等比数列的和，误认为共有项是常见错误.弦函数的值域，即，是解本题的关键.把不等式、三角函数、数列、个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立 高考试题精选2011年试题：一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为（A）-5.7 （B）-4,6 （C） （D） 【
21、答案】D【解析】由不等式的几何意义知，式子表示数轴的点与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确二、填空题1. (2011年高考天津卷理科13)已知集合，则集合=_.【答案】【解析】，.对于实数x，y，若，则的最大值为 .【答案】53. (2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是_.【解析】。由题得 所以不等式的解集为。4(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 【答案】【解析】：因为所以存在实数解，有或三、解答题:1(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知
22、函数f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3f（x）3；（II）求不等式f（x）x2-8x+15的解集.解：（I） 当 所以 （II）由（I）可知， 当的解集为空集； 当； 当.综上，不等式 2. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲设函数（1）当时，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集为，求的值。分析：解含有绝对值得不等式，一般采用零点分段法，去掉绝对值求解；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的值；解：（）当时，不等式，可化为，所以不等式的解集为（）因为，所以，可化为， 即因为，所以，该不等式的解集是，
23、再由题设条件得点评：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性。3.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。原不等式等价于：，解集为4(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为M（I）求集合M；（II）若a，bM，试比较ab+1与a+b的大小解析：本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。解：（I）由所以（II）由（I）和，所以故2010年试题：一、填空题：1（2010年高考陕西卷理科15）(不等式
24、选做题)不等式的解集为 .【答案】【解析】（方法一）当时，原不等式即为，这显然不可能，不适合.当时，原不等式即为，又，适合.当时，原不等式即为，这显然恒成立，适合.故综上知，不等式的解集为，即.（方法二）设函数，则作函数的图象，如图所示，并作直线与之交于点.又令，则，即点的横坐标为.故结合图形知，不等式的解集为.二、解答题：1（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数。（）若不等式的解集为，求实数的值；（）在（）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。【解析】（）
25、由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得。（）当时，设，于是=，所以当时，；当时，；当时，。2（2010年高考江苏卷试题21）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a、b是非负实数，求证：。解析 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。（方法一）证明：因为实数a、b0，所以上式0。即有。（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得当时，从而，得；当时，从而，得；所以。3. (2010年全国高考宁夏卷24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲 设函数（）画出函数的图像（）若不等式的解集非空，求a的取值范围。 （24） 解：（）由于则函数的图像如图所示。（）
26、由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点。故不等式的解集非空时，的取值范围为。4（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。2009年试题：1. （2009福建卷理）解不等式2x-1x+1解:当x0时,原不等式可化为又不存在;当时,原不等式可化为又当综上,原不等式的解集为2.（2009辽宁卷理）设函数。（1） 若解不等式；（2）如果,求 的取值范围。 解：（）当a=1时，f(x)=x1+x+1.由f(x)3得x1+x+1|3（）x1时，不等式化为1x1x3 即2x33（2009宁夏海南卷理）选修4-5：不等式选讲如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.（1）将y表示成x的函数；（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？ 解： （） （）依题意，x满足 解不等式组，其解集为【9，23】所以
