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1、导数章节涉及的19个必考点全梳理必考点1 导数的概念1函数yf(x)在xx0处的导数定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即.2函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数例题1 一质点运动的方程为.（1）求质点在1，1+t这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）【解析】（1），s=8-3(1+t)2-(8-312)=-6t-3(t)2，.（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度求导法：质点在t时刻瞬时速度，当t=1时，v=-61=-6.【小结】1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：求
2、函数的增量；求平均变化率；得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数必考点2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1. 基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cosxf(x)cos xf(x)sinxf(x)axf(x)axlnaf(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)2导数的运算法则（1） f(x)g(x)f(x)g(x)；（2） f(x)g(x)f(x)g(x)f(
3、x)g(x)；（3）(g(x)0) (4) 复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积例题2 （2019全国高三（文）已知下列四个命题，其中正确的个数有（ ），（，且），A0个B1个C2个D3个【解析】，所以错误；，所以错误；（，且），所以错误；，所以错误.故选：A例题3 （2020全国高考真题（文）设函数若，则a=_【解析】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.【小结】1.求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；(2)遇到根
4、式形式，先化为分数指数幂，再求导；(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程.必考点3 导数的几何意义-求曲线的切线方程函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点
5、(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)例题4 （2020全国高考真题（理）函数的图像在点处的切线方程为（ ）A B C D【解析】，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.例题5 （2019全国高考真题（文）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）ABCD【解析】，将代入得，故选D【小结】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与
6、曲线可能有两个或两个以上的公共点曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f(x)；求切线的斜率f(x0)；写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程必考点4 导数的几何意义-求切点坐标例题6 （2015陕西高考真题（理）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_【解析】设.对yex求导得yex，令x0，得曲线yex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为1，由，得，则
7、，所以P的坐标为(1，1)例题7 （2019江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是_.【解析】设点，则.又，当时，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，当时，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【小结】已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.必考点5 导数的几何意义-求参数的值(范围)例题8 （2019安徽高二月考（文）若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【解析】设切点为，切
8、线的斜率为，由，得，所以，而，所以，故选B.例题9 （2020届山东省青岛市三模）【多选题】已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）AB3CD【解析】由题可知，则，可令切点的横坐标为，且，可得切线斜率，由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，且可知，则，即，解得：，的取值可能为，.故选：AC.例题10 （2018全国高考真题（理）曲线在点处的切线的斜率为，则_【解析】，则，所以【小结】根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解1（2018全国高考真题（理）设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
9、()ABCD【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.2（2020全国高考真题（理）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）Ay=2x+1By=2x+Cy=x+1Dy=x+【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.3（全国高考真题（理）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ）A0B1C2D3【解析】，y（0）=a1=2，a=3故答案选D4（全国高考真题（理）
10、曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.ABC2D1【解析】由，得，故，故切线的斜率为，故选C.5（2019重庆南开中学高三月考（文）若直线与相切，则实数（ ）A2BCD【解析】设切点为： ，在此点处的切线方程为： ，即 ，解得，故选：B6（2019辽宁高三期中（理）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=x2+f（2）lnx，则f（2）的值为（ ）A6B7C8D9【解析】由题得，解得故选：C7（2019河北安平中学高二月考）某物体运动规律是，若此物体的瞬时速度为，则 ( )ABCD【解析】依题意，令，解得.故选：C.8（2019全国高考真题（文）曲线在点处的切线方程为_【解析】
11、所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即9（2020全国高考真题（文）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_.【解析】设切线的切点坐标为，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即.10.（2019江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_.【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，即切点，则切点Q到直线的距离为，11（2019天津高考真题（文） 曲线在点处的切线方程为_.【解析】，当时其值为，故所求的切线方程为，即.12（2019全国高考真题（文）曲线在点处的切线方程为_【解析】所以，所以，曲线在点处的切
12、线方程为，即13（2018全国高考真题（文）曲线在点处的切线方程为_【解析】由，得，则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.14.（2019江苏高三期中（文）在平面直角坐标系中，点在曲线（为自然对数的底数）上，且该曲线在点处的切线经过原点，则点的坐标是_.【解析】设切点，切线的斜率，所以切线方程为：，因为切线过原点，所以，所以点的坐标是.15（2019重庆南开中学高三月考（理）已知曲线在处的切线与直线平行，则的值为_【解析】由得，因此曲线在处的切线斜率为：，又切线与直线平行，所以，解得.16.（2019全国高三月考（理）已知函数，则_.【解析】由，得，令，得，解得. 所以. 所以.1
13、7.（2019江西省奉新县第一中学高三月考（理）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是_【解析】由已知函数的导数为，即，即答案为：.18.（2020届山东省九校高三上学期联考）直线与曲线相切，则_.【解析】函数的导函数，设切点坐标，则，解得：.19（2020山东海南省高考真题）已知函数（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；【解析】（1），.，切点坐标为(1,1+e),函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为;必考点6 判断或证明函数的单调性1.在内可导函数，在任意子区间内都
14、不恒等于0.在上为增函数在上为减函数2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：确定函数的定义域；求导数；由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.例题11 （2020全国高考真题（理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，)的单调性；【解析】 (1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.例题12 （2019天津高三期中（理）已知函数，.（）若 ，求的值；（）讨论函数的单调性。【解析】 ()由题意可得：，故，.()函数，其中a1，f(x)的定义域为(0,+)，令f(x)
15、=0,得x1=1,x2=a1.若a1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+)单调递增.若0a11，即1a2时，由f(x)0得，a1x0得，0x1.故f(x)在(a1,1)单调递减,在(0,a1),(1,+)单调递增.若a11，即a2时，由f(x)0得,1x0得，0xa1.故f(x)在(1,a1)单调递减,在(0,1),(a1,+)单调递增.综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+)单调递增；当1a2时,f(x)在(1,a1)单调递减,在(0,1),(a1,+)单调递增.【小结】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f(x)含参数时，需依据参
16、数取值对不等式解集的影响进行分类讨论讨论的标准有以下几种可能：(1)f(x)0是否有根；(2)若f(x)0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小必考点7 求函数的单调区间例题13 （2016北京高考真题（理）设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.【解析】（）因为，所以.依题设，即解得.（）由（）知.由及知，与同号.令，则.所以，当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，.故的单调递增区间为.【小结】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)0或f(x)0求
17、出单调区间(2)当方程f(x)0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f(x)的符号，从而确定单调区间(3)若导函数方程、不等式都不可解，根据f(x)结构特征，利用图象与性质确定f(x)符号，从而确定单调区间温馨提醒：所求函数单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开必考点8 利用函数的单调性解不等式例题14 （2020山东奎文 潍坊中学高二月考）【多选题】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f（x），g（x）为其导函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0且g（3）0，则使得不等式f（x）g（x）0
18、成立的x的取值范围是（ ）A（,3）B（3,0）C（0,3）D（3,+）【解析】f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f（x）f（x），g（x）g（x），令h（x）f（x）g（x），则h（x）h（x），故h（x）f（x）g（x）为R上的奇函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，即x0时，h（x）f（x）g（x）+f（x）g（x）0，h（x）f（x）g（x）在区间（，0）上单调递减，奇函数h（x）在区间（0，+）上也单调递减，如图：由g（3）0，h（3）h（3）0，当x（3，0）（3，+）时，h（x）f（x）g（x）0，故选：BD.例题15 （2019四川高考模拟（文
19、）设定义在上的函数的导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）ABCD【解析】设，则，是上的增函数，又，的解集为，即不等式的解集为.故选A.【小结】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系必考点9 利用函数的单调性比较大小例题16 （2019天津高考模拟（理）已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,，则的大小关系是（ ）A
20、BCD【解析】，当时，；当时，即在上递增，的图象关于对称，向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，即为偶函数，即，即.故选D.例题17 （2020新泰市第二中学高三其他）【多选题】已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）ABCD【分析】构造函数，然后利用导数和已知条件求出在()上单调递减，从而有，据此转化化简后即可得出结论.【解析】设，则，因为()时，所以()时，因此在()上单调递减，所以，即，.故选：CD.【小结】在比较，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小必考点10 根据函数的单调性求参数例题18 （20
21、19湖北高三月考（理）已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】f（x）2x，在内不是单调函数，故2x在存在变号零点，即在存在有变号零点，21，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：x1+0极大值在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a0时，令得.当，即a=1时，在上单调递增，无极值，不合题意.当，即0a1时，随x的变化情况如下表：x+00+极大值极小值在x=1处取得极小值，即a1满足题意.（3）当a3a;若， 这两个函数的所有极值之和
22、不小于，求a的取值范围。【解析】（1）由，得.当时，有极小值.因为的极值点是的零点，所以，又，故.因为有极值，故有实根，从而，即.时，故在R上是增函数，没有极值；时，有两个相异的实根，.列表如下x+00+极大值极小值故的极值点是.从而，因此，定义域为.（2）由（1）知，.设，则.当时，从而在上单调递增.因为，所以，故，即.因此.（3）由（1）知，的极值点是，且，.从而记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，.因为，于是在上单调递减.因为，于是，故.因此a的取值范围为.【小结】1.两点说明：（1）可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f (x0)0，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不
23、同；（2）若f(x)在(a，b)有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减函数没有极值2.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值3.由函数极值求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转化讨论f(x)0根有无(个数)然后由已知条件列出方程或不等式求出参数值或范围，特别注意：极值点处导数为0，而导数为0点不一定是极值点，要检验极值点两侧导
24、数是否异号必考点13 利用导数研究函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值例题25 （2019全国高考真题（文）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【解析】 (1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若，在区间单调递减，在区
25、间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为. 所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 所以，而，所以.即的取值范围是.综上得的取值范围是.例题26 （2017北京高考真题（理）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数在区间上的最大值和最小值【解析】（）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（）设，则.当时，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【小结】1.求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤
26、：第一步，求函数在(a，b)内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值2求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值必考点14 函数极值与最值的综合问题例题27 （2019泉州第十六中学高三期中（文）已知函数（）（1）求的单调区间和极值；（2）求在上的最小值【解析】（1），由，得；当时，；当时，；的单调递增区间为，单调递减区间为 ，无极大值（2）当，即时，在上递增，；当
27、，即时，在上递减，；当，即时，在上递减，在上递增，例题28 （2019江苏高考真题）设函数，为f（x）的导函数（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若ab，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M【解析】（1）因为，所以因为，所以，解得（2）因为，所以，从而令，得或因为，都在集合中，且，所以此时，令，得或列表如下：1+00+极大值极小值所以的极小值为（3）因为，所以，因为，所以，则有2个不同的零点，设为由，得列表如下： +00+极大值极小值所以的极大值解法一：因此解法二：因为，所以当时，令，则令，得列表如下：+0极大值所以
28、当时，取得极大值，且是最大值，故所以当时，因此【小结】求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值1（2018全国高考真题（理）函数的图像大致为 ()A B C D【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.2（2020广东东莞 高二期末）函数的单调递增区间是（ ）ABCD【解析】由，当时，当时，增区间为选D3（2020
29、江苏常熟 高二期中）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】，函数在区间内单调递增，导函数恒成立，则恒成立，故.故选：A4（2019湖北高三月考（理）已知为定义在R上的可导函数，为其导函数，且，=2019，则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A(0.+)B(-，0)(0，+)C(2019，+)D(-，0)(2019，+)【解析】设，则，是R上的增函数又，的解集为(0,+)即不等式的解集为(0,+)，故选A.5.（2019云南高三月考（理）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式成立的是（ ）A B C D【解析】令，则，即，在上单调递减，故，即，即，
30、故选：D6（2020甘肃省岷县第一中学高二开学考试（理）设函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )ABCD【解析】的定义域为.，令其分子为在区间上有两个零点，故，解得，故选B7（2020安徽屯溪一中高二期中（理）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】对函数进行求导，得，当，当或时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处函数取得极小值，因为函数在端点处的函数值无法取到，所以区间内必存在极小值点，且此极小值点为最小值，因此，解得，又因为，即函数在时的函数值与处的极小值相同，为了保证在区间上最小值在取到，所以，综上，.故选：C8（2020广西南
31、宁三中高二期末（文）已经知道函数在上，则下列说法不正确的是( )A最大值为9B最小值为C函数在区间上单调递增D是它的极大值点【解析】，令，解得或，所以当，时，函数单调递增，当时，函数单调递减，C错误；所以是它的极大值点，D正确；因为，所以函数的最大值为9，A正确；因为，所以函数的最小值为，B正确.故选：C9.（2020江苏高二期末）【多选题】已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）A是函数的极小值点 B是函数的极小值点C函数在区间上单调递增 D函数在处切线的斜率小于零【解析】由图象得时，时，故在单调递减，在单调递增，故是函数的极小值点，故选：BC10.（2020山东高二期中）【
32、多选题】已知函数，则（ ）A时，的图象位于轴下方 B有且仅有一个极值点C有且仅有两个极值点 D在区间上有最大值【解析】由题,函数 满足 ,故函数的定义域为由 当 时 ，所以，则的图象都在轴下方，A正确；又，在令 则 ，故 函数单调递增，则函数 只有一个根 使得 当时 函数单调递減 ，当时，函数单调递增，所以函数只有极值点且为极小值点，所以B正确，C不正确；又 所以函数在先减后增，没有最大值，所以D不正确.故选：AB.11.（2019江苏高三期中）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是_【解析】由题意可知，函数的定义域为，且，令，得，即，构造函数，则直线与函数在上有两个交点.
33、，令，得，列表如下：极大值所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，如下图所示：当时，直线与函数在上有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.12.（2019江西临川一中高三期中（理）函数的最大值为_【解析】因为，求导得因为，所以当时，当时，即当时，单调递增，当时，单调递减，故在处取得极大值即最大值，所以.13（2019山东高三期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为_.【解析】由题意得：，因为在区间上单调递减，所以在区间恒成立，所以. 14（2020全国高考真题（文）已知函数（1）讨论的单调性；【解析】（1）由题，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得
34、，令，得或，所以在上单调递减，在，上单调递增.15.（2019年高考全国卷理）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）令，得x=0或.若a0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a0时，由（1）知，在0，1单调递增，所以在区间0，l的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，即a=0，（ii）当a3时，由（1）知，在0，1单调递减，所以在区间0，1的最大值为，最小值为此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1（iii）当0a3时，由（1）知，在0，1的最小值为，最大值为b或若，b=1，则，与0a3矛盾.若，则或或a=0，与0a0；当x（，）时，f （x）0故f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）由于，所以等价于设=，则g （x）=0，仅当x=0时g （x）=0，所以g（x）在（，+）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点又f（3a1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点综上，f（x）只有一个零点例题30 （2019全国高考真题（理）已知函数，为的导
