《证明圆的切线经典例题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《证明圆的切线经典例题.doc（8页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有：一、若直线 l 过 O 上某一点 A，证明 l 是 O 的切线， 只需连OA，证明 OAl 就行了， 简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直 .例 1 如图，在 ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D，交 AC 于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F.求证：EF 与 O 相切 .证明：连结OE，AD.AB 是 O 的直径，AD BC.又 AB=BC ， 3= 4. BD=DE ， 1=2.又 OB=OE ，OF=OF ， BOF EOF（SAS）. OBF= OEF.BF 与 O 相切，OBBF. O
2、EF=900.EF 与 O 相切 .说明：此题是通过 证明三角形全等证明垂直的1例 2 如图， AD 是 BAC 的平分线， P为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与 O 相切 .证明一：作直径 AE，连结EC.AD 是 BAC 的平分线， DAB= DAC.PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+ DAB ， 1=B.又 B=E， 1=EAE 是 O 的直径，AC EC， E+EAC=900. 1+EAC=900.即 OA PA.PA 与 O 相切 .证明二：延长 AD 交 O 于 E，连结OA ，OE.AD 是 BAC 的平分线， BE=CE，OEBC. E+BDE=900.O
3、A=OE ， E=1.PA=PD， PAD=PDA.又 PDA= BDE,0 1+PAD=90即 OA PA.PA 与 O 相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 .2例 3 如图， AB=AC ，AB 是O 的直径， O 交 BC 于 D，DM AC 于 M求证： DM 与O 相切.证明一： 连结 OD.AB=AC ，B= C.OB=OD ，1=B.D1=C.ODAC.DM AC ，DM OD.DM 与O 相切证明二： 连结 OD，AD.AB 是O 的直径，ADBC.又AB=AC,1=2.DM AC ，0 2+4=90OA=OD ，C 1=3.0 3+4=9
4、0 .即 ODDM.DM 是O 的切线说明： 证明一是通过证平行来证明垂直的 .证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知 .3例 4 如图，已知：AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，且 CAB=300，BD=OB ，D 在 AB 的延长线上 .求证：DC 是 O 的切线证明：连结OC、BC.OA=OC ，0 A=1=30 . BOC= A+ 1=600.D 又 OC=OB ， OBC 是等边三角形 .OB=BC.OB=BD ，OB=BC=BD.OCCD.DC 是 O 的切线 .说明：此题是根据圆周角定理的推论 3 证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好 .例
5、5 如图， AB 是 O 的直径， CDAB ，且 OA2=OD OP.求证：PC 是 O 的切线 .证明：连结OCOA2=OD OP，OA=OC ，OC2=OD OP，OCODOPOC.又 1=1， OCP ODC. OCP=ODC.CDAB ，0 OCP=90 .PC 是 O 的切线 .说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的4例 6 如图， ABCD 是正方形， G 是 BC 延长线上一点， AG 交 BD 于 E，交 CD 于 F.求证： CE 与 CFG 的外接圆相切.分析： 此题图上没有画出 CFG 的外接圆，但 CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点，为此我们取 FG 的中
6、点 O，连结OC，证明 CEOC 即可得解 .证明： 取 FG 中点 O，连结OC.ABCD 是正方形，BCCD， CFG 是 RtO 是 FG 的中点，O 是 RtCFG 的外心 .OC=OG ， 3= G，AD BC， G= 4.AD=CD ，DE=DE ，ADE= CDE=450， ADE CDE（SAS） 4=1， 1=3. 2+3=90 0, 1+2=90 0.即 CEOC.CE 与 CFG 的外接圆相切5二、若直线 l 与 O 没有已知的公共点，又要证明 l 是 O 的切线，只需作 OAl，A 为垂足，证明 OA 是 O 的半径就行了，简称： “作垂直；证半径”例 7 如图， AB
7、=AC ，D 为 BC 中点， D 与 AB 切于 E 点.求证： AC 与 D 相切 .证明一：连结DE，作 DFAC ，F 是垂足 .AB 是 D 的切线， DEAB. DFAC ， DEB= DFC=900. AB=AC ， B=C.又 BD=CD ， BDE CDF（AAS ）DF=DE.F 在 D 上.AC 是 D 的切线证明二：连结DE，AD ，作 DFAC ，F 是垂足 . AB 与 D 相切， DEAB. AB=AC ， BD=CD ， 1=2. DEAB ，DF AC， DE=DF. F 在 D 上. AC 与 D 相切 .说明： 证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE
8、的，证明二是利用角平分线的性质证明 DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例 8 已知：如图， AC，BD 与 O 切于 A 、B，且 AC BD ，若 COD=900.求证： CD 是 O 的切线 .证明一：连结OA， OB，作 OECD，E 为垂足 .6AC ，BD 与 O 相切，AC OA，BD OB.AC BD ，0 1+ 2+3+4=180 . COD=900，O 0， 1+4=900. 2+3=90 4+5=900. 1=5.Rt AOCRtBDO.ACOBOCOD.OA=OB ，ACOAOCOD.又 CAO= COD=900， AOC ODC， 1=2.又 OAAC ，OEC
9、D,OE=OA.E 点在 O 上.CD 是 O 的切线.证明二：连结OA， OB，作 OECD 于 E，延长 DO 交 CA 延长线于 F. AC，BD 与 O 相切， ACOA ，BD OB. ACBD ， F=BDO.又 OA=OB ， AOF BOD （AAS ） OF=OD. COD=900， CF=CD ， 1=2.7又OAAC ，OECD，OE=OA.E 点在 O 上.CD 是O 的切线 .证明三： 连结 AO 并延长，作 OECD 于 E，取 CD 中点 F，连结 OF.AC 与O 相切，ACAO.ACBD ，AOBD.BD 与O 相切于 B，AO 的延长线必经过点 B.AB 是O 的直径 .ACBD ，OA=OB ，CF=DF ，OFAC ， 1=COF.COD=900，CF=DF ，1 OF CD CF2. 2=COF. 1=2.OAAC ，OECD，OE=OA.E 点在 O 上.CD 是O 的切线说明： 证明一是利用相似三角形证明 1=2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明 1=2.证明三是利用梯形的性质证明 1=2，这种方法必需先证明 A、O、B 三点共线 .8
