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1、第二章 连续系统的时域分析,1.LTI连续系统的时域分析：,2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换,时域分析法：函数的变量-t,域分析法的基础,3.时域分析法主要内容：,概述：,求出响应与激励关系,经典法,零输入响应和零状态响应,冲击响应与卷积积分,建立线性微分方程并,本章主要内容,2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 二、阶跃响应2.3 卷积积分 一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解2.4 卷积积分的性质 一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积
2、的时移特性,2.1 LTI连续系统的响应,一、微分方程的经典解二、关于0-和0+值三、零输入响应四、零状态响应五、全响应,一、微分方程的经典解,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t),高等数学中经典解法：完全解=齐次解+特解。y(t)(完全解)=y h(t)(齐次解)+y p(t)(特解）,LTI连续系统：常系数的n阶线性常微分方程,齐次解：,满足齐次方程的通解，又叫齐次解,特解：,满足非齐次方程的解，叫特解,1.齐次解与微分方程特征根决定齐次解是齐次微分方程y(n)+an-
3、1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解,齐次方程：,特征方程：,特征根：,r重共轭复根,齐次解的形式由微分方程特征根确定,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t),一般微分方程,表21 不同特征根所对应的齐次解,齐次解的待定系数Ci在求得全解后由初始条件确定满足方程必须代入t0时刻的初值 y（0+）参考点齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关(反映的是系统的结构)而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；,齐次解举例,解：系统的特征方程为,
4、特征根,对应的齐次解为,2.特解特解函数形式与激励的函数有关,特解的函数形式与激励函数形式有关如下表，将特解函数式代入原方程，比较定出待定系数。,激励f(t),响应y(t)的特解yp(t),特征根均不为0,特征根,=特征根,=r重特征根,特征根j,有r重等于0的特征根,特解举例,如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。,例：给定微分方程式,解:(1)由于f(t)=t2，,故特解函数式为,将此式代入方程得到,这里，P2，P1，P0，,等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有,联解得到,所以，特解为,(2)当f(t)=et 时,特解为yp(t)=P et，这里，P是待定系数。代入方程后有：,3.全解
5、,完全解=齐次解+特解,注意：,齐次解的函数形式：仅与系统本身的特性有关,特解中待定系数：特解带入非齐次方程，对比求；,齐次解中待定系数：在全解求得后由初始条件定。满足方程必须代入t0时刻的初值 y（0+）,与激励f(t)的函数形式无关,又叫固有响应或自由响应,特解的函数形式：,又叫强迫响应,由激励确定,自由响应,强迫响应,解:(1)特征方程为2+5+6=0 其特征根 1=2，2=3。齐次解为yh(t)=C1e 2t+C2e 3t 因为f(t)=2e t，故其特解可设为 yp(t)=Pe t 将其代入微分方程得 Pe t+5(Pe t)+6Pe t=2e t 解得P=1 于是特解为yp(t)=
6、e t,例 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t0；y(0)=2，y(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。,举例,其中待定常数C1,C2由初始条件确定。0+y(0)=C1+C2+1=2，y(0)=2C1 3C2 1=1解得C1=3，C2=2最后得全解y(t)=3e 2t 2e 3t+e t,t0,全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e 2t+C2e 3t+e t,注意：自由响应的系数Cj由系统的初始状态和激励信号共同来确定,自由响应,强迫响应,一般输入是在t=0时接入系
7、统方程的解适用于t0,解：齐次解同上。由于f(t)=e2t，其指数与特征根之一相重。故其特解可设为yp(t)=(P1t+P0)e2t代入微分方程可得P1e-2t=e2t所以P1=1 但P0不能求得。全解为y(t)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t=(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t将初始条件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1，y(0)=2(C1+P0)3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=1 最后得微分方程的全解为y(t)=2e2t e3t+te2t,t0注：上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,（2）当f(t)=
8、e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。,y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),总结经典解思路,1 完全解 y(t)(完全解)=y h(t)(齐次解)+y p(t)(特解）2 Y h(t)(齐次解)Y h(t)-齐次方程-特征方程-特征根-齐次解形式3 y p(t)y p(t)(特解）-输入激励f(t)-特解带入方程-待定系数求特解4 将y(t)代入初始条件求解齐次解系数c1,c2-完全解,在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)
9、(0+)。,若输入f(t)是在t=0时接入系统，方程的解适用于t0则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2，n-1)。y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。,二关于0-和0+状态的转换,解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)（1）（由于上式对于所有t都成立，等号两端(t)项的系数应相等。）由于等号右端为2(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y(t)在t=0处将发生跃变，即y(0+)y(0-)。但y(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有(t)项。由于y(t)中不含(t
10、)，故y(t)在t=0处是连续的。故y(0+)=y(0-)=2*方程包含(t)，则积分后函数有间断点，方程不包含(t)，则积分后函数连续*,例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,由于积分在无穷小区间0-，0+进行的，且y(t)在t=0连续，故,y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)（1）对式(1)两端积分有,于是由上式得y(0+)y(0-)+3y(0+)y(0-)=2因为y(0+)=y(0-)=2，所以y(0+)y(0-)=2，y(0+)=y(0-)+
11、2=2结论：当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。,零输入响应和零状态响应,y(t)=yzi(t)+yzs(t),LTI系统 响应,第1种：自由响应+强迫响应,第2种：零输入响应+零状态响应,yzit):没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应；,yzst):不考虑起始储能的作用（起始状态=0），只由系,统外加输入信号所产生的响应。,全响应 y(t)=yzi(t)+yzs(t)的求取方法：,借助经典方法,卷积积分法（后面学）,1.概 述,y(t)=yh(t)+yp(t),全响应 y(t)=yzi(
12、t)+yzs(t),三、零输入响应yzi(t)（没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应）零输入响应，对应的输入为零，齐次微分方程为y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)0当其特征根都为单根，则零输入响应为：,由于激励为零，故有yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-),(j=0,1,n-1),由yzi(j)(0+),（0+=0-）,由y(j)(0+),对比齐次解,四、零状态响应起始状态为0只由外加输入信号所产生的响应,非齐次方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f
13、(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有yzs(j)(0-)=0；若微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应为,Czsj 为待定系数，yp(t)为方程的特解,由yzs(j)(0+),(j=0,1,2,-n-1),五、全响应,如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下，LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应与零状态响应之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t),由y(j)(0+),由yzi(j)(0+),由yzs(j)(0+),响应及各阶导数初始值,(j=0,1,2,-n-1),y(t)=yzi(t)+yzs(t),y（j
14、)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t),y（j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-),y（j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+),响应：,且,yzi(0+)、yzs(0+)、及各阶导数的确定,（1）零输入响应的 起始条件yzi(0+)齐次方程解，系数不同,其中：Czij要由起始条件yzi(j)(0+)定,且 yzi（j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-),零输入响应,注意：cj 初始状态和激励信号共同决定,固有响应,满足方程必须代入t0时刻的初值 y（0+）,(j=0,1,2,-n-1),（2）零状态响应起始条件yzs(0+),零状态响
15、应,Czsj-由yzs(j)(0+)定,若有，利用函数匹配法,(j=0,1,2,-n-1),解：（1）零输入响应yzi(t)激励为0，故yzi(t)满足yzi”(t)+3yzi(t)+2yzi(t)=0该齐次方程的特征根为1，2，故yzi(t)=Czi1e t+Czi2e 2t（Czi1 Czi2 由 yzi1(0+)、yzi2(0+)决定）yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=0代入初始值并解得系数为Czi1=4,Czi2=2，代入得yzi(t)=4e t 2e 2t,t 0,例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2
16、f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。,注意此时系数C的求法！,（2）零状态响应yzs(t),y zs(t)解的形式：同非齐次方程，由两部分组成,形式同齐次方程的解,特解（满足非齐次方程）,yzs(j)(0+),Czs1 Czs2:由yzs(0+)及yzs,(0+)定,y zs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6,yzs(t)中有3各系数待定：Czs1,Czs2,C,C 应满足：,带入方程求得：C=3,yzs(0+)=？yzs(0+)=？,由函数匹配法定：,分析+直接积分,(对t0后),yzs(0+)=0,yzs(0
17、+)=2,yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)yzs(0-)=yzs(0-)=0,零状态响应yzs(t),满足下列方程,yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+C,该齐次方程的特征根为1，2,y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t),yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t),右端有(t),微分方程积分得：,yzs”(t)含有(t),yzs(t)跃变,yzs(t)在t=0连续,yzs(0+)yzs(0-),yzs(0+)=yzs(0-)=0,yzs(0+)-yzs(0-)+3yzs(0+)-yzs(0-)+2,因此
18、，yzs(0+)=2+yzs(0-)=2,yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3 代入初始值yzs(0+)=0，yzs(0+)=2求得 yzs(t)=4e-t+e-2t+3，t0,yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t),2.2 冲激响应和阶跃响应,概述：,学习了2种求LTI系统响应的方法,自由响应+强迫响应,零输入响应+零状态响应,下面一节的内容，针对零状态响应的求取，,找寻一种好方法。,零状态响应 把一激励信号（函数），分解为冲击函数或阶,冲击响应 阶跃响应,跃函数之和(积分），只要求出了系统对冲击函,数或阶跃函数的响应，利用LTI 系统的特性，,在系
19、统的输出端，叠加得到系统总的零状态响应。学习系统对冲击或阶跃信号的零状态响应：,一、冲激响应,1定义,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t),冲激响应示意图,x(0)=0,2系统冲激响应的求解,冲激响应的数学模型,对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示,响应及其各阶导数(最高阶为n次),激励及其各阶导数(最高阶为m次),例:当特征根均为单根时,h(t)解的形式:由于(t)及其导数在 t0+时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零.,这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。,0,带(t),当n阶微分方程右端只含激励f（t）
20、=(t)时冲击响应满足：h(n)(t)+a n-1 h(n-1)(t)+a1h(1)(t)+a0h(t)=(t)且,解：,求特征根,冲激响应,例1 求系统的冲激响应,两种求待定系数方法：,平衡求0+法,奇异函数相平衡求待定系数法,法一：平衡求0+值确定系数,代入h(t)，确定系数C1,C2，得,代入微分方程，利用(t)系数匹配:a=1 b=-2,所以：,对式(1)从0-到0+积分得:h,(0+)h,(0-)=2,对式(2)从0-到0+积分得:h(0+)h(0-)=1,法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数,根据系数平衡，得,不用求 h(0+)、h,(0+),解法三：线性时不变性质法,解：,求冲击
21、响应,设h1(t)满足简单方程,将边界条件代入h1(t)式，解得 C1=1/2，C2=-1/2，,则由系统的线性时不变特性,解根据h(t)的定义有h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)(1)由方程可知，h(t)中含(t)h(0-)=h(0-)=0先求h(0+)和h(0+)。令h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)h(t)=a(t)+b(t)+p2(t)h(t)=a(t)+p1(t)p1(t)为不含(t)的某函数代入式(1)，有,例2 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应h(t)。,整理
22、得a”(t)+(b+5a)(t)+(c+5b+6a)(t)+p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)=”(t)+2(t)+3(t)利用(t)系数匹配，得a=1，b=-3，c=12所以h(t)=(t)+p1(t)（2）h(t)=(t)-3(t)+p2(t)（3）h”(t)=”(t)-3(t)+12(t)+p3(t)（4）对式(3)从0-到0+积分得h(0+)h(0-)=3对式(4)从0-到0+积分得h(0+)h(0-)=12,a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)+5a(t)+b(t)+p2(t)+6a(t)+p1(t)=”(t)+2(t)+3(t),微分方程的特征根为 2，3。故系统的冲
23、激响应为h(t)=C1e2t+C2e3t，t0代入初始条件h(0+)=3，h(0+)=12求得C1=3，C2=6,所以h(t)=3e2t 6e3t,t 0结合式(2)得h(t)=(t)+(3e2t 6e3t)(t),对t0时，有h”(t)+6h(t)+5h(t)=0,故h(0+)=3，h(0+)=12,3.基本单元的冲激响应,二、阶跃响应,阶跃响应示意图,*阶跃响应是激励为单位阶跃函数(t)时，系统的零状态响应，如下图所示。,用g(t)表示阶跃响应,如果描述系统的微分方程是式y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=f(t)，当f(t)=(t)时，有,式
24、（1）的特解为,其初始值为:,t0，,若微分方程的特征根i(i=1，2，n)均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式(nm)为,若描述系统的微分方程是式,可根据LTI系统的线性性质和微积分特性求出阶跃响应：,g(j)(0+),解：系统的微分方程 设图中左端积分器的输入为x(t)，输出为x(t)，右端积分器的其输入为x(t)，则输出为x(t)。左端加法器的输出为x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t)即 x(t)+3 x(t)+2 x(t)f(t)（1）右端加法器的输出为：y(t)=-x(t)+2 x(t)（2）,例2.2-3 如图2.2-3 所示的LTI系统，求其阶跃响应,x(t),x(t)
25、,x(t),x(t)+3 x(t)+2 x(t)f(t);（1）y(t)=-x(t)+2 x(t)（2）,阶跃响应若设（1）式所述系统的阶跃响应为gx(t),则有 g(t)=-gx(t)+2 gx(t),gx(t)满足方程 gx(t)+3 gx(t)+2 gx(t)(t)gx(0_)=gx(0_)=0其特征根11；22，其特解为0.5，于是得 gx(t)(C1e-t+C2e-2t+0.5)(t)初始值为gx(0)=gx(0)=0，代入上式得 gx(0)=C1+C2+0.5=0;gx(0)=-C1-2C2=0,解得 C1-1；C20.5,所以，gx(t)(-e-t+0.5e-2t+0.5)(t)
26、求出 gx(t)，代入g(t)=-gx(t)+2 gx(t)得 g(t)=-gx(t)+2 gx(t)(-3e-t+2e-2t+1)(t),解法二：由（1）、（2）式求得x(t)+3 x(t)+2 x(t)f(t);（1）y(t)=-x(t)+2 x(t)（2）系统的微分方程为：y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t),当f(t)=(t)时，有,先求h(0+)和h(0+),令：,由（4）式从0-到0+积分得,将上三式代入（3）式得,由（5）式从0-到0+积分得,可以求得系统的冲激响应为 h(t)=(3e-t-4e-2t)(t),当t0,有,所以,由,2.3 卷积积分,一、信号的
27、时域分解与卷积积分1.信号的时域分解(1)预备知识,问f1(t)=?p(t),P（t）延时,(2)任意信号分解,“0”号脉冲高度f(0),宽度为，用p(t)表示为：f(0)p(t)“1”号脉冲高度f(),宽度为，用p(t-)表示为：f()p(t-)“-1”号脉冲高度f(-)、宽度为，用p(t+)表示 为：f(-)p(t+),(2)任意信号分解任意f(t)用许多窄脉冲表示出来,信号f(t)分解为冲击函数叠加,n（连续）d（无限小）f(n)f()P(t-n)(t-),0有,2.任意信号作用下的零状态响应,yzs(t),f(t),根据h(t)的定义：,(t),h(t),由时不变性：,(t-),h(t
28、-),f()(t-),由齐次性：,f()h(t-),由叠加性：,f(t),yzs(t),卷积积分,3.卷积积分的定义,已知定义在区间（，）上的两个函数f1(t),为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为,变量，t为参变量，结果仍为t 的函数。,和f2(t)，则定义积分,f(t)=f1(t)*f2(t),注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分,注意积分限问题：,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为四步：（1）换元：t 换为得 f1()、f2()（2）反转平移：由f2()反转 f2()平移 t f2(t-)（3）两信号重叠部分相乘：f1()f2(t-)（有值保留）（4）相乘后图形积分：从
29、 到对乘积项积分。（重叠面积）注意：t为参变量，t在实数轴上取值,图解法计算卷积举例,例1 f(t)、h(t)如图所示，求yzs(t)=h(t)*f(t),解,h(t)函数形式复杂,换元h()。,f(t)函数：换元为f()、反折,并平移t,图解法计算卷积举例,(2)0t 1,t0,f(t-)：,yzs(t)=0,(3)1t 2,t0,h()=0,图解法计算卷积举例,(4)2t 3,(5)3t+,例2.3-1 f1(t)、f2(t)如图所示，求f(t)=f1(t)*f2(t),解,f1(t)函数：换元为f1(),f2(t)函数：换元为f2()、反折、移位,t,（1）-t-2,没有重叠，f(t)=
30、0,（2）-2 t 0,（3）0 t 2,（4）2 t 4,（5）4 t,没有重叠，f(t)=0,卷 积 计 算,例3 f1(t)=3e-2t()，f2(t)=2(t),求 f(t)=f1(t)*f2(t),解：,分析：,（1）t0:f(t)=f1(t)*f2(t)=0,（3）(t-):t-0 即 t,（2）():0,（4）积分限：0t,2.4 卷积积分的性质,卷积代数运算 与冲击函数或阶跃函数的卷积 微分积分性质 卷积的时移特性 相关函数,卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质,（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。,卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质,一、卷积代数运算,
31、1交换律,卷积结果与交换两函数的次序无关,一般选比较简单函数进行反转和平移,证明：,yzs（t）,h（t）,yzs（t）,h（t）,f1(t),f1(t),2分配律,分析物理意义：假设f1(t)冲击响应h（t），f2(t)+f3（t）系统的激励，上式表明：几个输入信号之和的 零状态响应=每个激励的零状态响应之和；,yzs（t）,h（t）(f1(t),f2(t)+f3(t),系统并联，框图表示：,结论：并联系统冲激响应等于子系统冲激响应之和,若假设f1(t)激励，f2(t)+f3（t）系统的冲击响应h（t）则表明：激励作用于冲击响应为h（t）的系统产生的零状态响应=激励分别作用于冲击响应h2（t
32、），h3（t）两个子系统并联产生的零状态响应,3结合律,结论：串联系统冲激响应等于子系统冲激响应的卷积,结合率用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应等于个子系统冲激响应的卷积。系统级联，框图表示：,二、与冲激函数的卷积,1.f(t)*(t)=(t)*f(t)=f(t),证：,信号f(t)分解为冲击函数叠加,f(t),(t),f(t)=f(t)*(t),*,=,f(t)(t)=f(0),筛选特性,交换律,结论：函数与冲击函数的卷积为其本身,f(t)(t)=f(0)(t),与冲激函数的卷积推广,证：,2.f(t)*(t t0)=f(t t0),f(t),f(t)=f(t)*(t-t0),(t-t0
33、),*,=,推广：,f(t-t1)*(t t2)=f(t t1-t2),(t-t1)*(t t2)=(t t1-t2),3.若 f1(t)*f2(t)=f(t)卷积的时移特性,证：,则 f1(t-t1)*f2(t-t2)=f1(t-t2)*f2(t-t1)=f(t-t1-t2),f1(t-t1)*f2(t-t2)=f1(t)*(t-t1)*f2(t)*(t-t2),=f1(t)*(t-t2)*f2(t)*(t-t1),=f1(t-t2)*f2(t-t1),且 f1(t-t1)*f2(t-t2),=f1(t)*(t-t1)*f2(t)*(t-t2),=f1(t)*f(t2)*(t-t1)*(t-
34、t2),=f(t)*(t-t1-t2),=f(t-t1-t2),f1(t-t1)*f2(t-t2)=f1(t-t2)*f2(t-t1)=f(t-t1-t2),卷积的时移特性应用,*,*,=,=,激励延时t1,激励延时t2,响应延时t2,响应延时t1,零状态响应总延时t1+t2,与阶跃函数的卷积,(t)*(t)=t(t),f(t)*(t),推广：,(t)*(t),卷积性质例题,(t+3)*(t-5),例1,解：,方法一.,(t+3)*(t-5),分析：,(+3)：-3,(t-5)：t-5,(t+3)*(t-5),分析：,t-5-3,t2,(t+3)*(t-5)=(t-2)(t-2),1.(t+3
35、)*(t-5),卷积性质例题,(t+3)*(t-5),例1,解：,方法二.,(t)*(t)=t(t),(t+3)*(t-5)=(t)*(t)*(t+3-5)=t(t)*(t+3-5),分析：,利用性质及结论,f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2),=(t-2)(t-2),应用T(t)产生周期信号,周期性单位冲击函数序列,分配率,三、卷积的微积分性质,1.,若 f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t),则 f（1）(t)=f1（1）(t)*f2(t)=f1(t)*f2（1）(t),证明：,f（1）(t)=,同理：,f（1）(t)=,“正”：导数阶次“负”：积分次
36、数,f（1）(t)=,微分,卷积的积分性质,若 f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t),2.,则,证明：,f(-1)(t)=,=f1(t)*f2(-1)(t),卷积的积分性质,推论：3.在f1()=0或f2(1)()=0的前提下，,同理：,f(-1)(t)=,=f2(t)*f1(-1)(t),=f1（-1）(t)*f2(t),f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t),f1(-)=f2(-)=0,卷积性质的推广,杜阿密积分：,LTI系统：,（1）利用定义式直接进行积分：对于容易求积分的函,数比较有效。如指数函数、多项式函数等。（2）图解法：特别适用于求某时刻点上的卷
37、积值。（3）利用性质：比较灵活。,卷积的求解：重点、难点,求解卷积的方法可归纳为：,推广：,f(i)(t)=f1(j)(t)*f2(i-j)(t)i、j可+阶数，-次数,卷积性质例1,例1：f1(t)如图,f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t）),解：f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t),f1(t)=(t)(t 2),f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2),注意：当 f1(t)=1，f2(t)=et(t)，套用 f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)=0*f2(1)(t)=0 显然是错误的。,例2：f1(t),f2(t)如图
38、，求f1(t)*f2(t),解：f1(t)=2(t)2(t 1)f2(t)=(t+1)(t 1),f1(t)*f2(t)=2(t)*(t+1)2(t)*(t 1)2(t 1)*(t+1)+2(t 1)*(t 1),由于(t)*(t)=t(t)据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t 1)(t 1)2 t(t)+2(t 2)(t 2),求卷积是本章的重点与难点。求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。,常
39、用信号的卷积公式,附录一 常用信号的卷积公式,五、相关函数（相关积分）,相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。,相关函数的定义 相关与卷积的关系 相关函数的图解,相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个函数的反转。,比较信号与延时信号的相似程度,概述,相关的概念：,互相关是表示两个不同函数的相似性参数。可证明，R12()=R21()。,若f1(t)=f2(t)=f(t)，则得自相关函数,显然，R(-)=R()偶函数。,实能量有限函数f1(t)和f2(t)的互相关函数,实功率有限信号相关函数的定义,f1(t)与f2(t)是功率有限信号,相关函数：,自相关函数：,解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有,此例结论,1.周期信号自相关函数仍为周期信号,且周期相同。2.自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。3.余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。,2.相关与卷积的关系,R12(t)=f1(t)*f2(t)R21(t)=f1(t)*f2(t)。,可见，若f1(t)和 f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。,3.相关函数的图解(0t12),
