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1、环与域,主要内容:环的定义与性质无零因子环的特征数子环、理想子环与商环极大理想环的同态基本定理,1/17,第10节 环的定义及性质,主要内容:环的定义与性质零因子特殊的环 无零因子环/整环/除环/域无零因子环的特征,2/17,环的定义,定义1 设(R,+,)是代数系统，+和是二元运算.如果满足以下条件:(1)(R,+)构成交换群;(2)(R,)构成半群;(3)运算关于+运算满足左、右分配律;则称(R,+,)是一个环.通常称+运算为环中的加法，运算为环中的乘法.环中加法单位元记作 0，并称为R的零元(素).乘法单位元(如果存在)记作1.对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作x.若 x 存
2、在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.,3/17,定义2 称环(R,+,)是有限环，如果R是有限非空集合.,定义3 设(R,+,)是环，(1)若环中乘法 适合交换律，则称R是交换环或可换环.(2)若环中乘法 存在单位元，则称R是含幺环.,环的定义,4/17,环的实例,例1(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2)n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为 n 阶实矩阵环.(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环.(4)设Zn0,1,.,n1，和分别表示模n的加法和乘法。对
3、于x,yZn，xy=xy，xy=xy则(Zn,)构成环，称为模 n同余类环.,5/17,性质1 设(R,+,)是环，则(1)aR，a0=0a=0；(2)a,bR，(a)b=a(b)=ab；(3)a,b,cR，a(bc)=abac，(bc)a=baca；(4)a1,a2,.,an，b1,b2,.,bmR(n,m2);,环的运算性质,(5)(na)b=a(nb)=n(ab).,6/17,实 例,例2 在环中计算(a+b)3,(ab)2.,解:(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(ab)2=(a
4、b)(ab)=a2baab+b2,7/17,问 题,初等代数中：,ab=0 a=0或b=0,n0，na=0 a=0,环中：,ab=0 a=0或b=0?,n0，na=0 a=0?,8/17,零因子,定义4 设(R,+,)是环，aR，a0。如果存在一个元bR，b0，使得 ab=0，则称a是R的一个左零因子.如果存在一个元cR，c0，使得 ca=0，则称a是R的一个右零因子.如果a既是R的左零因子，又是R的右零因子，则称a是R的零因子.,显然，若R有左零因子，则R必有右零因子.,9/17,特殊的环,定义5 设(R,+,)是环，若a,bR，ab=0 a=0或b=0，则称R是无零因子环.或 若a,bR，
5、a0，b0 ab0，则称R是无 零因子环.或 没有左零因子，也没有右零因子的环称为无零因子环.,10/17,特殊的环,定义6 设(R,+,)是环，(1)若R是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是整环.(2)如果R满足以下两个条件：1)R中至少含有两个元素(或R中至少含有一个非 零元素)；2)非零元素的全体对乘法构成一个群.则称R是除环或体.(3)可换体称为域.,显然：除环是无零因子环、含幺环.域是无零因子环、含幺环、交换环，即是整环.,11/17,例3(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环，含幺环，无零因子环和整环.除了整数环以外都是域.(2)令2Z=2z|zZ，则(2Z,+
6、,)构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)(Z6,)构成环，它是交换环，含幺环，但不是无零因子环和整环.23=32=0，2和3是零因子.,实 例,12/17,定理1 环R是无零因子环当且仅当在R中乘法满足消去律，即 如果a0，ab=ac，则b=c；如果a0，ba=ca，则b=c.,无零因子环,13/17,实 例,例5 设 p为素数，证明Zp是(有限)域.,证 p为素数，所以|Zp|2.易见Zp可交换，单位元是1.对于任意的 i,jZp,i 0有i j=0 p
7、整除 ij p|j j=0所以 Zp 中无零因子.,注意：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.,例4 至少有一个非零元的无零因子有限环是体.,提示：注意“有限”两个字.,14/17,域中除法及其性质,在域F中可以引入除法，如果a,b F，a 0，则b被a除记为b/a，且b/a=a-1b.,有以下性质：,15/17,再回到问题,初等代数中：,ab=0 a=0或b=0,n0，na=0 a=0,环中：,ab=0 a=0或b=0(无零因子环),n0，na=0 a=0?(与元素的阶有关),分别考虑：整数环(Z,+,)，模n剩余类环(Z5,)，(Z6,).,16/17,无零因子环的特征,定理1 在一个无零因子环中，每个非零元素对加法的阶均相同.,推论1 体和域中每个非零元素对加法的阶均相同.,定义1 无零因子环R中非零元素对加法的阶称为该环的特征数，简称为特征，记为ChR.,定理2 若无零因子环R的特征数为正整数p，则p为素数.,推论2 整环、体和域的特征数或是无穷大，或是一个素数.,17/17,
