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1、电力设备状态检测与故障诊断,华中科技大学水电与数字化工程学院,第四章 数字信号处理,随着计算机技术的发展，数字信号处理技术已成为现代科学技术必不可少的工具。例如在发电机组的状态监测与故障诊断中，将机组的振动、噪声、位移、温度等物理量，通过传感器转换为电信号，输入计算机，对采集的数字信号处理后，得到一系列机组的工作状态的特征参数，在此基础上对设备的故障进行诊断。,数字信号处理技术的主要内容包括频谱分析与数字滤波，前者又包含有相关分析与统计分析，其数学运算的核心是离散傅里叶变换；后者又包含了无限冲激响应滤波与有限冲激响应滤波。本章将重点介绍基于傅里叶变换的频谱分析技术。,4.1 信号采样及其频谱分
2、析,采样过程是通过采样脉冲序列p(t)与被采集的连续时间信号x(t)相乘来完成的。其采样脉冲（采样周期为）序列为,一、时域采样,采样信号为,如果,，,则根据频域卷积定理，有采样信号 的频谱,另外，由于采样脉冲序列是一个周期函数，可以证明序列p(t)的傅里叶变换为,式中，为p(t)的傅里叶系数，即,当p(t)为脉冲序列时，由上式得p(t)的傅里叶系数为,由此可得采样信号 的频谱为,；,上式表明，一个连续信号经过理想采样后，它的频谱将沿着频率轴每隔一个采样频率 重复一次，即频谱 产生了周期延拓，其幅值被 所加权，因为，所以频谱形状不变。,二、频域采样,已知连续频谱函数，其对应的时间函数为，若 在频
3、域中被间隔为 的脉冲序列 所采样，其频谱函数为，且 所对应的时间函数为，以下分析采样信号 与原信号 之间的关系。,已知，若采样过程满足条件：,其中，脉冲序列为频率为 的周期函数,根据周期函数的傅里叶变换，有,则 的傅里叶逆变换为,又根据时域卷积定理，有,即,这样便可以得到 被采样以后 所对应的时间函数,上式表明，若 的频谱 被间隔为 的脉冲序列在频域中采样，则在时域中等效于 以 为周期而重复，即周期信号的频谱是离散的。,由上述分析可知，傅里叶变换的另一个重要性质，即信号的时域与频域呈采样（离散）与重复（周期）关系。,三、混频现象,混频现象又称为频谱混叠效应，它是由于采样信号频谱发生变化，而出现
4、高、低频成分发生混淆的一种现象，如图所示：,的傅氏变换为，其带宽范围为。,采样信号的傅氏变换 是一个周期谱图，其采样周期为，故。,四、时域采样定理,上述两种情况表明，如果，则不发生混频现象，因此对采样脉冲序列的间隔 须加以限制，即采样频率 必须大于或等于信号 中的最高频率 的两倍,或,采样定理可作如下解释：一个频谱受限的信号，如果频谱只占据 范围，则信号可以用等间隔采样值来唯一地表示，而采样间隔 必须不大于，或者说最低采样频率为。,五、信号复原,为了从采样信号频谱 中无失真地选出，还须采用频率矩形窗函数 与 相乘，即。,为实现这一过程，需将采样信号 通过理想低通滤波器，这样在滤波器的输出端就可
5、以得到频谱为 的连续信号。,已知理想滤波器的传输函数,根据傅里叶变换的时域、频域对称性，有,又根据时域卷积定理，复原信号 可表示为,所以有,其中，为理想滤波器的截止频率；,式中，为辛克函数。,若取，而且，则,上式表明，连续信号可以展开成正交采样函数（辛克函数）的无穷级数，级数的系数等于采样值。也就是说，若在采样信号 的每个采样值上画一个峰值为 的 波形，则合成的波形就是。而 波形就是理想滤波器的脉冲响应。,所以，若 通过理想滤波器 时，每个采样值产生一个脉冲响应，这些响应进行叠加就得到，即 是对原始信号 的逼近，由此达到由采样信号 恢复原始信号 的目的。,六、频域采样定理,根据时域与频域的对称
6、性，可由时域采样定理推论出频域采样定理。,如果信号 是时域有限信号，并集中在 的时间范围内，若在频域中以不大于 的频率间隔对频谱 进行采样，则采样后的频谱 可以唯一地表示原信号。类似于时域采样（即根据时域与频域的对称性），有,上式表明，在频域中对 进行采样，等效于 在时域中重复，只要采样间隔不大于，则在时域中波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号就可以无失真地恢复原信号，即应满足关系式，此称为频域采样定理。,需要指出，频域采样以后，只能获得采样点的频率成分，其余的频率成分一概被舍去，这就如透过栅栏观赏光景，只能看到一部分，就可能使一部分有用的频率成分被漏掉，而丢掉了那部分有用信息，此种现象称为
7、栅栏效应。,数字信号处理的重要数学工具是傅里叶变换。应注意到傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而，当运用计算机实现检测信号处理时，不可能对无限长的信号进行运算，而是取其有限的时间间隔进行分析，这就需要对信号在时间域内进行截断。截断方法就是将无限长的信号乘以窗函数。这里“窗”的含义是指透过窗口能够观测到整个信号外景的一部分，而其余被遮蔽（视为零），如图所示：,七、信号的截断与能量泄漏效应,余弦信号 在时域分布为无限长，当用矩形窗函数 与其相乘时，得到截断信号。根据傅里叶变换关系，余弦信号的频谱是位于 处的 函数，而矩形窗函数 的频谱为辛克函数，按照频域卷积定理，则截断信号 的频谱应为,
8、将截断信号的谱 与原始信号的谱 相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱。这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在 处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为泄漏。,能量泄漏,信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的：因为窗函数 是一个频带无限的函数，所以即使原信号 是限带信号，而截断以后也必然成为无限带宽的函数（时域有限信号为频域无限信号），即信号在频域的能量与分布被扩展了。,又从采样定理可知：无论采样频率有多高，只要信号一经被截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是在信号分析中不容忽视的问题。,泄漏与窗函数频谱 的两侧旁瓣有关，
9、如果使旁瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。,八、常用的窗函数,实际应用的窗函数有以下几种类型：,幂窗：采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间 的高次幂；,三角函数窗：应用三角函数，即由正弦或余弦函数等组合成的复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；,指数窗：采用指数时间函数，如 形式，例如高斯窗等。,4.2 离散傅里叶变换（DFT）,离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）一词并非泛指对任意离散信号取傅里叶积分，而是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词，
10、所以有时称 DFT 是适用于数字计算机计算的 FT。这时因为，对信号x(t)进行傅里叶变换运算时，无论在时域或是在频域都需要进行包括 区间的积分运算。在计算机上实现这一运算的过程如图所示：,如前所述，对连续信号 进行采样，采样间隔为，则采样信号,根据频域卷积定理，采样信号的傅里叶变换,一、信号的时域与频域采样,由此可知，采样信号的频谱 是一个周期性的连续函数，频谱周期间隔为，谱的幅值是连续信号频谱 的 倍。,对连续信号进行傅里叶变换，一般可概括为下列步骤：,（1）时域采样,时域采样的过程：,用矩形函数 截断采样信号，使其仅有有限个样本点（例如N 点），则截断后得到的时间函数为,（2）时域截断,
11、截断后采样信号的傅里叶变换为,由于矩形截断函数有突变阶跃点，在时域截断后，反映在频域将会产生皱波，即发生能量泄漏效应。减少泄漏现象的途径是加长矩形函数的宽度，以及选取旁瓣较弱的窗函数。,式中,时域截断的过程：,采样信号经截断处理后，虽然在时域为有限长的离散样本，但频域内仍为连续函数，若实现逆变换，还必须改造频域函数为有限离散值。,令频域采样脉冲序列为，根据频域采样定理（），选取采样间隔（时域截断信号分布区间为，它相当于）。又根据傅里叶变换的对称性，则对应的时域为,（3）频域采样,被 采样后的频域采样信号,其逆傅里叶变换为,上式表明，是周期为 的离散函数，每个周期内有 个离散点。,采样信号频谱,
12、加窗函数频谱,频域采样脉冲,离散频谱,周期函数,由于 是周期函数，所以其傅里叶变换也是等间隔脉冲序列,傅里叶系数,将 代入，有,因积分是在一个周期 内进行，即，并应用 函数的筛选特性，因此,又由于，则,由此得到,整理得,上式表明，与 是一傅里叶变换偶对，是原信号 经过有限化、离散化以后而变换成的时域、频域关系，它们都是以 为周期的脉冲序列，在时域、频域内分布区间为。,进一步考察上式中 与 的脉冲强度序列之间的关系，即研究其时域、频域采样序列样本之间的关系，如图所示：,二、离散傅里叶级数,对于 的脉冲强度序列（用 表示），就是 的傅里叶级数的系数，即,对于 的脉冲强度序列（用 表示），是由 每个
13、脉冲强度构成的序列。实际上，它是原信号 的 个采样值 乘以 因子延拓而成的序列。,与 是 的傅里叶级数的系数相对应，是 周期脉冲序列的傅里叶级数的系数。由傅里叶级数的系数公式的正、逆对称性，可得,于是，得到构成了信号 的时域、频域采样样本值序列的变换对,因为上述变换对是互为傅里叶级数关系，通常称为离散傅里叶级数（DFTS）变换对。显然它们也是以N为周期的序列，在时、频域的分布区间为。,对于离散傅里叶级数（DFTS）变换对，将 的取值范围定义为序列的“主值区间”，而将主值区间的N点序列定义为“主值序列”，则有,三、离散傅里叶变换,上式即构成了离散傅里叶变换对，亦可表示为,如果令,则上式可表示为,
14、以上分析结果表明，通过对连续傅里叶变换的改造，将 个时域采样点与 个频域采样点联系起来，建立起时、频域关系，提供了利用数字计算机作离散傅里叶变换运算的一种方法。,4.3 快速傅里叶变换（FFT）,快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种减少DFT计算时间的算法。在FFT出现之前，虽然DFT为离散信号的分析从理论上提供了变换工具，但是由于DFT的计算很长，使之难以实现。,例如，对采样点N=1000，DFT算法运算量约需200万次，而FFT算法则仅需1.5万次，可见FFT方法大大地提高了运算效率。,因此，FFT方法于1965年由美国库利-图基（J.W.Coole
15、y-J.W.Tukey）首先提出时，曾被认为是信号分析技术的一个划时代进步。,一、FFT的基本原理,为了说明FFT算法的原理，首先研究DFT变换计算所需的工作量。,由离散傅里叶变换分析已知，DFT 计算式为,将以上两式写成矩阵形式,式中：,由此可知，上述两个 方阵 和 都是对称矩阵,；,将上述两式简写为,由 式可以看出，将 与 两两相乘再取和即可得到。每计算一个 值，需要进行 次复数相乘和 次复数相加。当计算 共 个 值时，则需要 次复数相乘，次复数相加。,随着N值加大，运算工作量将迅速增大。例如，当N=10时，需要100次复数相乘；而当N=1024(210)时，就需要一百多万次(104857
16、6)复数乘法运算。即，DFT 方法的计算量与采样点数N2成正比，按照这种规律，如果在N较大时，要求对信号进行实时处理，所需的运算时间就难以实现。,由此可见，在 与 相乘的过程中存在着不必要的重复运算。避免这些重复则是简化运算的关键，即为FFT算法的基本思想。,为了便于讨论，设N=4，则 矩阵表达式为,进一步分析矩阵式，可以发现如下特性：,（1）；,（2）的周期性，即,把以上特性运用于N=4的矩阵，则可将该矩阵简化为,由此可见，在简化后矩阵 中的若干数量的元素相同，这样就使运算过程得到极大的简化。这就是库利-图基FFT算法的基本思想。,（原计算式）,（周期性简化）,（对称性简化）,（3）的对称性
17、，即,；,。,FFT算法的类型有多种，但每种算法的建立，多是考虑了被分析数据的特性，或者利用计算机特性、或者利用专用计算机FFT硬件特性等。,FFT算法的典型形式是库利-图基算法，一般是时域抽取基2算法，即对时间序列 进行分解，选取采样点数N为2的幂，即N=2M,M是正整数。例如，一般FFT算法的采样点数N为256（28），512（29）和1024（210）等。,二、FFT算法,基2算法的出发点即把时间序列 按n为偶数和n为奇数分解为两部分，分组算出两个N/2点的DFT（如下图），又组合为N点的DFT。,右图是 N=8 点时的分组运算框图。由图可以看出，首先对时间序列 按偶、奇分为4组点的DF
18、T，再组合为两个N/2点的DFT，最后组合为N=8点的DFT。,由第三章可知，一个随机信号 的功率谱密度正是其自相关函数的傅里叶变换,三、功率谱密度计算,而对于一个随机信号x(t)来讲，它本身的傅里叶变换是不存在的，只能用功率谱密度来表征它的统计平均频谱。因此，功率谱密度是随机信号的一种最重要的表征形式，如果要求在统计意义下了解一个随机信号，就要知道它的功率谱密度。,其估计值为,可以证明一个随机信号序列 的功率谱密度为,其中，,如果观测到随机信号序列x(t)的N个值，即x(0)，x(1)，x(N-1)就可以通过FFT直接求得X(k)，再按上式求得，其计算过程如图。,4.4 其它频谱分析技术简介
19、,一、倒频谱分析,倒频谱（Cepstrum）分析是近代信号处理科学中的一项新技术，是检测复杂谱图中周期分量的有用工具。在系统识别、语言分析、机械振动中故障监测和诊断等方面均得到广泛的应用。,倒频谱的表达式为,（1）倒频谱的定义与物理意义,式中:为信号x(t)的自功率谱密度函数；q为倒频率。,由于自功率谱本身是一个偶函数，自功率谱的对数也是一个实偶函数，故其傅里叶正变换和逆变换相等，并且也是一个实偶函数。即,由此可见，倒频谱 是对原信号的功率谱 取对数后，再进行一次傅里叶变换，并取其平方而获得（即为“对数功率谱的功率谱”）。而工程上常用的是取上式的开方，即,称为幅值倒频谱，有时简称倒频谱；自变量
20、q 称为倒频率，它具有与自相关函数 中的自变量 有相同的时间量纲，一般以毫秒（ms）计。q 值大者称为高倒频率,表示谱图上的高频（快速波动）；q 值小者称为低倒频率,表示谱图上的低频（缓慢波动）。,取对数可提升 的较小值，使 的周期性得到更清晰地反映。,由于 是偶函数，上式可写成,可以扩大频谱分析的动态范围，以提高再变换的精度；,因此，倒频谱比自相关函数有更高的识别信号的能力。,可以看出这种表达式与自相关函数更接近。不同的是倒频谱取信号的功率谱的对数加权，其目的是：,综上所述，频域函数经过傅里叶变换为倒频域的倒频谱,这与时域函数经过傅里叶变换为频域函数的频谱概念一样。如果后者称为时频域转换的话
21、，那么前者就称为频时（倒谱）域转换。,时频域转换,频时（倒谱）域转换,倒频谱,功率谱,自相关函数,特征信号,从以上分析可知，对功率谱作倒频谱变换，其根本原因是在倒频谱上可以较容易地识别信号的组成分量，便于提取其中有用信号成分。,（2）倒频谱的应用,例如，工程上实测的振动、噪声信号往往不是振源信号本身，而是振源或音源信号 经过传递系统 到测点的输出信号。,对于线性系统 三者的关系可用卷积公式表示，即,在时域上信号经过卷积一般给出的是一个比较复杂的波形，难以区分源信号（振动信号或噪声信号）与系统的响应。为此，需要对上式继续作傅里叶变换，在频域上进行频谱分析，其表达式为 或 式中，分别为 的傅里叶变
22、换；为 的傅里叶变换；分别为 的单边自谱；,此式示于下图中，其中 是源信号，具有明显的周期特性，经过系统响应的修正（图中的中线），合成为输出信号。,然而，有时即使在频域上得出谱图，但也难区分源信号与系统的响应。故需对上式两边取对数，则有,上式在倒频域上表示如下图所示。它由两部分组成：一部分是高倒频率，在倒频谱图上形成波峰；另一部分是低倒频率，在倒频谱图左侧，靠近零倒频率。前者表示源信号 特征，而后者表示系统传递特征，各自在倒频谱上占有不同的倒频率范围。倒频谱图提供了清晰的分析结果。,若对上式再进一步作傅里叶变换，可得幅值倒频谱,在工程信号分析中，常会遇到频率很密集的频谱图，对其频谱图上的频率间
23、隔很细，但频带分布又较宽。用普通的频谱分析方法很难识别其频率成分。,二、细化谱分析,例如，在10kHz频率范围内作N=1024点的FFT谱分析，其谱线为500条，频率分辨率只有25Hz，即相邻两条谱线的间距为25Hz。若有相距5Hz的谐波成分就辨别不出来了。,因此，就必须要求信号分析系统既要有高的频率分辨率（即要求时域采样窗口足够宽），又要求有较宽的频率范围（即要求时域采样频率足够高）。但这两者之间是有矛盾的。,从FFT分析方法中已知，被分析信号的时域、频域关系如图所示。谱线间隔 决定了频率分辨能力，即当f0 越小，谱图的分辨率越高；当f0 较大时，将由于栅栏效应而丢掉有用信息。,如果要提高M
24、倍分辨率，就要求采样频率增加M倍后的信号来作频谱分析。但这样却使数据处理量增加了M2倍。由于受到信号分析系统处理能力的限制，使其难以实现。所以在某些情况下不能简单地以增加FFT分析的数据点数N来提高频率的分辨率。,频率细化（ZOOM）是20世纪70年代发展起来的信号分析技术。其中最常用的是复调制细化法（ZFFT）。其原理框图及各部分的谱图如图所示。,在MEM方法中建立了自相关函数的时序模型，并在每一步外推自相关函数中，使估计的相关函数包含过程的信息最多，即要求在过程的熵达到最大的条件下，确定未知的自相关函数值，借以达到谱估计的逼真和稳定程度最好的目的。,最大熵谱分析方法（Maximum Ent
25、ropy Method，MEM）把信息熵的概念引入信号处理中。已经证明，最大熵谱与自回归模型（AR）谱是等价的。因此，MEM是一种利用时序模型（AR模型）把自相关函数外推的方法。因此，有时又称MEM为现代时序谱分析方法。,三、最大熵谱分析,时序模型的谱是时序模型经过频域变换得到的一种功率谱密度函数。因此，时序模型谱反映了一个时间序列在频域中的组合情况。,虽然传统的傅里叶谱在工程中得到广泛的应用，但其存在的加窗截取、谱线泄露、弱信号被淹没等缺陷，使谱分析产生误差。,而AR模型是一个动态模型，且能将观测数据外延（适合短数据）。其功率谱不是直接从观测数据计算得到，而是从模型参数计算而来，它无加窗的影
26、响。,时序谱如果能正确地建模（即AR模型的定阶和参数辨识准确），则比传统的傅里叶谱有明显的优点：,由三个正弦波（三个离散的谱线）和有限噪声（即有限带宽噪声）所组成时间过程的真实功率谱。,由64个采样点经FFT变换求得的功率谱，可以看到三个正弦分量很难辨认。,由64个采样点用最小二乘法建立AR(16)模型得到的自回归谱，可见三个正弦分量清晰可辨，且高频段的谱线接近于真实功率谱。,3、信号 是否为周期信号？若是周期信号，求其周期，并用公式求其平均值和均方值。,一、思考题,第四章 作业,1、周期信号频谱有那些特征？,2、简述周期信号频谱和非周期信号频谱的区别。,4、什么是泄漏？为什么会产生泄漏？,5、什么是栅栏效应？如何减少栅栏效应的影响？,6、傅里叶变换的一个重要性质是信号的时域与频域呈 关系。,7、信号的倒频谱是什么？对信号进行倒频谱分析的目的又是什么？,8、简述采用计算机技术实现信号 傅里叶变换运算的过程。,若已知设备在正常运行时的传递函数为，试问可采用什么方法对该设备进行故障诊断？并对诊断方法进行说明。,二、已知有限长序列,求该序列的，并绘出频谱图。,三、某设备状态监测系统的构成如图所示。在该设备运行时，对其输入 信号 与输出信号 进行采样，可得到数据序列。,
