点线面位置关系知识点梳理及经典例题带解析.doc

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1、【知识梳理】（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论： 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 经过两条相交直线，有且只有一个平面 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。符号语言：。公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：。（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直

2、线。 已知两条异面直线，经过空间任意一点O作直线，我们把与所成的角（或直角）叫异面直线所成的夹角。（易知：夹角范围） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：直线、平面平行的判定及其性质1.内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就

3、可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行直线、平面平垂直的判定及其性质1.内容归纳总结（一）基本概念1.直线与平面垂直：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面垂直，记作。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。直

4、线与平面的公共点叫做垂足。2. 直线与平面所成的角：角的取值范围：。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法： 二面角的取值范围： ； 两个平面垂直：直二面角。（二）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。（满足条件与垂直的平面有无数个）判定的关键：在

5、一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线 【经典例题】典型例题一例1 简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线平面，直线，则和的位置关系如何？（2）直线，直线，则直线和的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知：或； （2）由图（2）可知：或说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法典型例题二例2 是平行四边形所在平面外

6、一点，是的中点，求证：平面分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了证明：如图所示，连结，交于点，四边形是平行四边形，连结，则在平面内，且是的中位线， 在平面外，平面说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行典型例题三例3 经过两条异面直线，之外的一点，可以作几个平面都与，平行？并证明

7、你的结论分析：可考虑点的不同位置分两种情况讨论解：（1）当点所在位置使得，（或，）本身确定的平面平行于（或）时，过点再作不出与，都平行的平面；（2）当点所在位置，（或，）本身确定的平面与（或）不平行时，可过点作，由于，异面，则，不重合且相交于由于，确定的平面，则由线面平行判定定理知：，可作一个平面都与，平行故应作“0个或1个”平面说明：本题解答容易忽视对点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论典型例题四例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面已知：直线，平面，求证：证明：如图

8、所示，过及平面内一点作平面设，又，说明：根据判定定理，只要在内找一条直线，根据条件，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的典型例题五例5 已知四面体的所有棱长均为求：（1）异面直线的公垂线段及的长；（2）异面直线和所成的角分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解解：（1）如图，分别取的中点，连结由

9、已知，得，是的中点，同理可证是的公垂线段在中， （2）取的中点，连结，则和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角连结，在中，由余弦定理，得故异面直线和所成的角为说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值典型例题六例6如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内已知：直线，求证：分析：由于过点与平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面外，不存在过与平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法证明：如图所示，设，过直线和点作平面，且，这样过点就有两条直线和同时平行于直线，与平行公理矛盾必在内说明：(

10、1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式如上图，过直线及点作平面，设，这样，与都是过点平行于的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，与重合，典型例题七例7 下列命题正确的个数是（）(1)若直线上有无数个点不在平面内，则；(2)若直线平行于平面内的无数条直线，则；(3)若直线与平面平行，则与平面内的任一直线平行；(4)若直线在平面外，则A0个B1个C2个D3个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类解：(

11、1)直线上有无数个点不在平面内，并没有说明是所在点都不在平面内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交解题时要注意“无数”并非“所有”(2)直线虽与内无数条直线平行，但有可能在平面内，所以直线不一定平行(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到当时，若且，则在平面内，除了与平行的直线以外的每一条直线与都是异面直线(4)直线在平面外，应包括两种情况：和与相交，所以与不一定平行故选A说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面如直线、都平行于，则与的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线、，则与的位置关系可能是平行，可

12、能是在内典型例题八例8如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交已知：直线，求证：直线与平面相交分析：利用转化为平面问题来解决，由可确定一辅助平面，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用解：，和可确定平面，平面和平面相交于过点的直线在平面内与两条平行直线、中一条直线相交，必定与直线也相交，不妨设，又因为不在平面内（若在平面内，则和都过相交直线和，因此与重合，在内，和已知矛盾）所以直线和平面相交说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如

13、果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）典型例题九例9如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行已知：与是异面直线求证：过且与平行的平面有且只有一个分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法解题时要理解“有且只有”的含义“有”就是要证明过直线存在一个平面，且，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论证明：(1)在直线上任取一点，由点和直线可确定平面在平面内过点作直线，使，则和为两相交直线，所以过和可确定一平面，与为异面直线，又，故经过存在一个平面与平行

14、(2)如果平面也是经过且与平行的另一个平面，由上面的推导过程可知也是经过相交直线和的由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面与重合，即满足条件的平面是唯一的说明：对于两异面直线和，过存在一平面且与平行，同样过也存在一平面且与平行而且这两个平面也是平行的（以后可证）对于异面直线和的距离，也可转化为直线到平面的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法典型例题十例10如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行已知：，求证：分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力利用线面平行的性质定理，可以先证明直线分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平

15、行然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明与平行证明：在平面内取点，使，过和直线作平面交于，同理过作平面交于，又，又，另证：如图，在直线上取点，过点和直线作平面和相交于直线，和相交于直线，但过一点只能作一条直线与另一直线平行直线和重合又，直线、都重合于直线，说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要典型例题十一例11正方形与正方形所在平面相交于，在、上各取一点、，且求证：面分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行关键是在平面中如何找一直线与平行可考察过的平面与平面的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同证明一：如图，在

16、平面内过作交于，在平面内过作交于，连结，又，即 正方形与有公共边， ，又，四边形为平行四边形又面，面证明二：如图，连结并延长交于，连结，又正方形与正方形有公共边，又面，面说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例12三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点已知：，求证：、互相平行或相交于一点分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我

17、们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系证明：，与平行或相交若，如图，又，若与相交，如图，设，又，又，直线、交于同一点说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体中，、分别是、的中点，画出点、的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？典型例题十三例13已知空间四边形，是的边上的高，是的边上的中线，求证：和是异面直线证法一：（定理法）如图由题设条件可知点、不重合，设所在平面和是异面直线证法二：（反证法）若和不是异面直线，则和共面，设过、的平面为(1)若、重合，则是的中点，这与题设相矛盾(2)若、不重合，、四点共面，这

18、与题设是空间四边形相矛盾综上，假设不成立故和是异面直线说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾只须两句话就解决了这个问题典型例题十四例14已知、是不在同一平面内的三条线段，、分别是、的中点，求证：平面和平行，也和平行分析：欲证明

19、平面，根据直线和平面平等的判定定理只须证明平行平面内的一条直线，由图可知，只须证明证明：如图，连结、在中，、分别是、的中点于是平面同理可证，平面说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的判定定理典型例题十五例15已知空间四边形，、分别是和的重心，求证：分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明与平面中的某条直线平行，根据条件，此直线为，如图证明：取的中点是的重心，连结，则，连结，为的重心，在中，又，说明：(1)本例中构造直线与平行，是充分借助于题目的条件：、分别是和的重心，借助于比例的性质证明，该种方法经常使用，望注意把握(2)

20、“欲证线面平行，只须证线线平行”判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法根据问题具体情况要熟练运用典型例题十六例16正方体中，、分别是、的中点如下图求证：分析：要证明，根据线面平等的判定定理，需要在平面内找到与平行的直线，要充分借助于、为中点这一条件证明：取的中点，连结、为的中点，为的中位线，则，且为的中点，且，且，四边形为平行四边形，而，典型例题十七例17如果直线，那么直线与平面内的（）A一条直线不相交B两条相交直线不相交C无数条直线不相交D任意一条直线都不相交解：根据直线和平面平行定义，易知排除A、B对于C，无数条直线可能是一组平行线，也可能是共点线，C也不正确，应排除C与平面内任意一条

21、直线都不相交，才能保证直线与平面平行，D正确应选D说明：本题主要考查直线与平面平行的定义典型例题十八例18分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A一定平行B一定相交C一定异面D相交或异面解：如图中的甲图，分别与异面直线、平行的两条直线、是相交关系；如图中的乙图，分别与异面直线、平行的两条直线、是相交关系综上，可知应选D说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力典型例题十九例19、是两条异面直线，下列结论正确的是（）A过不在、上的任一点，可作一个平面与、平行B过不在、上的任一点，可作一个直线与、相交C过不在、上的任一点，可作一个直线与、都平行D过可以并且只可以作一平

22、面与平行解：A错，若点与所确定的平面与平行时，就不能使这个平面与平行了B错，若点与所确定的平面与平等时，就不能作一条直线与，相交C错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有，这与，异面矛盾D正确，在上任取一点A，过A点做直线，则与确定一个平面与平行，这个平面是惟一的应选说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念典型例题二十例20(1)直线，则与平面的位置关系是_(2)是两异面直线、外的一点，过最多可作_个平面同时与、平行解：(1)当直线在平面外时，；当直线在平面内时，应填：或(2)因为过点分别作，的平行线只能作一条，（分别称，）经过，的平面也是惟一的所以只能作一个平面；还有不能作的

23、可能，当这个平面经过或时，这个平面就不满足条件了应填：1说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键典型例题二十一例21如图，是的另一侧的点，线段，交于，若，则=_解：，即，则应填：说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力【课堂练习】1.若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）A. 内所有的直线都与a异面； B. 内不存在与a平行的直线；C. 内所有的直线都与a相交； D.直线a与平面有公共点.2.已知两个平面垂直，下列命题一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；一个平

24、面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.03.空间四边形ABCD中，若，则与所成角为A、 B、 C、 D、4. 给出下列命题：（1）直线a与平面不平行，则a与平面内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面不垂直，则a与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面其中错误命题的个数为（ ） （A）0 （B） 1 （C）2 （D）35正方体ABCD-A

25、1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（ ）条 A 3 B 4 C 6 D 8 ABCDA1B1C1D16. 点P为ABC所在平面外一点，PO平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ABC的（ ） （A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心7.如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角 C1BDC的大小为（ ） （A）300 （B）450 （C）600 （D）9008.直线a,b,c及平面,下列命题正确的是（ ）A、若a，b,ca, cb 则c B、若b, a/b 则 a/ C、若a/,=b 则a/b D、若a, b 则a/b9.平面与平面平行的条件可以是（ ）A.内有

26、无穷多条直线与平行； B.直线a/,a/C.直线a,直线b,且a/,b/ D.内的任何直线都与平行10、 a, b是异面直线，下面四个命题：过a至少有一个平面平行于b； 过a至少有一个平面垂直于b；至多有一条直线与a，b都垂直；至少有一个平面与a，b都平行。其中正确命题的个数是（）选择题答题表题号12345678910答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知直线a/平面，平面/平面，则a与的位置关系为 . 12已知直线a直线b, a/平面,则b与的位置关系为 .ABCP13如图，ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有 个直角三角形14.、是两个不同的平

27、面，m、n是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断： m n m n 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）PABC15如图，PA平面ABC，平面PAB平面PBC 求证：AB BC 16在三棱锥S-ABC中，已知AB=AC， O是BC的中点，平面SAO平面ABC 求证：SAB=SACABOCS17如图，PA平面ABC，AEPB，ABBC，AFPC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF平面PBC；（2）求二面角PBCA的大小；（3）求三棱锥PAEF的体积.ABCPEF【课后作业】一、选择题1 给出下列

28、关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若；若m、l是异面直线，；若；若其中为假命题的是ABCD2.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数是 A1 B2 C3 D43已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若； 若；若；若m、n是异面直线，。其中真命题是A和B和C和D和4已知直线及平面，下列命题中的假命题是 A若，则. B若，则. C若，则. D若，则.5在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是 ABC平面PDF BDF平面PAE C平面P

29、DF平面ABC D平面PAE平面ABC6有如下三个命题：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为A0 B1 C2 D37下列命题中，正确的是A经过不同的三点有且只有一个平面B分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D垂直于同一个平面的两个平面平行8已知直线m、n与平面，给出下列三个命题： 若 若 若 其中真命题的个数是A0 B1 C2 D39已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题： 若；若；若；若a与b异面，且相交； 若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都

30、垂直. 其中真命题的个数是A1B2C3D410过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A18对 B24对 C30对 D36对11正方体中，、分别是、的中点那么，正方体的过、的截面图形是A三角形 B四边形 C五边形 D六边形12不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有A3个 B4个 C6个 D7个13设为平面，为直线，则的一个充分条件是ABC D14设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：若，则lm；若lm，则那么A是真命题，是假命题 B 是假命题，是真命题C 都是真命题 D都是假命题15对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得

31、、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l、m，使得l/，l/，m/，m/，其中，可以判定与平行的条件有A1个B2个C3个D4个二、填空题1已知平面和直线m，给出条件：；.（i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有（填所选条件的序号）2在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则一、 四边形一定是平行四边形二、 四边形有可能是正方形三、 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形四、 四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）3下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥

32、底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中，真命题的编号是_（写出所有真命题的编号）4已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：若则 若则若,则m、n是两条异面直线，若则上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)5 已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题： 若，则平行于平面内的任意一条直线 若则 若,则若,则 上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)6连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项

33、的序号）菱形有3条边相等的四边形梯形平行四边形有一组对角相等的四边形三、计算题1 如图1所示，在四面体PABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，点E在线段AB上，且EFPB.如图1 （）证明：PB平面CEF； （）求二面角BCEF的大小.2如图，在五棱锥SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2， 求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）； 证明：BC平面SAB； 用反三角函数值表示二面角BSCD的大小（本小问不必写出）3 已知三棱锥PABC中，E、F分别是AC、AB的中点,ABC，PEF都是正三角形，PFAB. （）证明P

34、C平面PAB；（）求二面角PABC的平面角的余弦值； （）若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上，求ABC的边长.4. 已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为。 （1）证明：；（2）求底面中心到侧面的距离. 5如图,在直四棱柱 中,，垂足为()求证;()求二面角的大小;()求异面直线与所成角的大小6如图, 在直三棱柱中， ，点为的中点 ()求证;() 求证;()求异面直线与所成角的余弦值7如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M求：（1）二面角的大小；（2）异面直线与所成角的大小

35、（用反三角函数表示）8如图，正三棱锥SABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：（）的值；（）二面角SBCA的大小；（）正三棱锥SABC的体积.【参考答案】课堂参考答案1.D；2.C；3.D；4.D；5.C；6.B；7.A；8.D；9.D；10.C11.平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； 13.4； 14.若则17.（2）45课后作业答案一、选择题1C 2. B 3D 4D 5 C 6C 7C 8C9A 10D 11D 12B 13D 14D 15B 二、填空题1 2 3，4 5 6三、计算题1.解（I）证明：PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可

36、证PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形故PA平面ABC又而故CFPB,又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE, PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角二面角BCEF的大小为2.解（）连结BE，延长BC、ED交于点F，则DCF=CDF=600，CDF为正三角形，CF=DF又BC=DE，BF=EF因此，BFE为正三角形，FBE=FCD=600，BE/CD所以SBE（或其补角）就是异面直线C

37、D与SB所成的角SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，SB=，同理SE=，又BAE=1200，所以BE=，从而，cosSBE=，SBE=arccos所以异面直线CD与SB所成的角是arccos() 由题意，ABE为等腰三角形，BAE=1200，ABE=300，又FBE =600， ABC=900，BCBASA底面ABCDE，BC底面ABCDE，SABC，又SABA=A， BC平面SAB（）二面角B-SC-D的大小3.解（）证明： 连结CF. （）解法一：为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则 解法二：设P在平面ABC内的射影为O. 得PA=PB=PC. 于是O是ABC的中心.

38、为所求二面角的平面角.设AB=a，则 （）解法一：设PA=x，球半径为R. ，的边长为. 解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.连结OA、AD，可知PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R. 4. 证明（1）取边的中点，连接、， 则，故平面. . （2）如图， 由（1）可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角. 过点作为垂足，则就是点到侧面的距离. 设为，由题意可知点在上， ，., ， ， . 即底面中心到侧面的距离为3. 5. 解 （I）在直四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1底面ABCD AC是A1C在平面ABCD上的射影 BDAC BDA1C；（II）连结A1E，C1E，A1 C1 与（I）同理可证BDA1E，BDC1E， A1EC1为二面角A1BDC1的平面角 ADDC， A1D1C1=ADC90， 又A1D1=AD2，D1C1= DC2，AA1=且 ACBD， A1C14，AE1，EC3， A1E2，C1E2， 在A1EC1中，A1C12A1E2C1E