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1、相似专项训练专训1证明三角形相似的方法要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)考虑平行线截三角形相似定理及相似三角形的“传递性”利用平行线判定两三角形相似1如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求BP:PQ:QR.(第1题)利用边或角的关系判定两直角三角形相似2下面关于直角三角形相似叙述错误的是()A有一锐角对应相等的两个直
2、角三角形相似B两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C有一条直角边相等的两个直角三角形相似D两个等腰直角三角形相似3如图，BCAD，垂足为C，AD6.4，CD1.6，BC9.3，CE3.1，求证：ABCDEC.(第3题)利用角判定两三角形相似4如图，ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE交于点E.(1)求证：ABDCED；(2)若AB6，AD2CD，求BE的长(第4题)利用边角判定两三角形相似5如图，AB3AC，BD3AE，又BDAC，点B，A，E在同一条直线上(第5题)求证：ABDCAE.利用三边判定两三角形相似6如图，AD是ABC的高，E，F分别是AB，
3、AC的中点求证：DEFABC.(第6题)专训2巧作平行线构造相似三角形解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形巧连线段的中点构造相似三角形1如图，在ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.(第1题)过顶点作平行线构造相似三角形2如图，在ABC中，ACBC，F为底边AB上一点，BFAF32，取CF的中点D，连接AD并延长交B
4、C于点E，求的值(第2题)3如图，过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE:ED2AF:FB.(第3题)过一边上的点作平行线构造相似三角形4如图，在ABC中，ABAC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：.(第4题)过一点作平行线构造相似三角形5如图，在ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AEAB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC2CD.专训3用线段成比例法解四边形问题利用线段成比例不仅能解三角形问题，还能解四边形问题在中考中涉及相似、线段成比例的四边形的题型有填空题、选择题、解
5、答题，是中考热门命题点之一一、选择题1如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，MEAD，NFAB.若NFNM2，ME3，则AN()(第1题)A3 B4 C5 D62如图，有一块矩形纸片ABCD，AB8，AD6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CEF的面积为()(第2题)A.B.C2 D43如图，在平行四边形ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BGAE于G，BG4，则EFC的周长为()A11 B10 C9 D8(第3题)(第4题)二、填空题4如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕
6、为EF，若AB4，BC2，那么线段EF的长为_三、解答题5如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设RtCBD的面积为S1，RtBFC的面积为S2，RtDCE的面积为S3，则S1_S2S3(填“”“”或“”)；(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明(第5题)6如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于O.(1)求证：COMCBA；(2)求线段OM的长度(第6题)7如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFEB.(1)求证：A
7、DFDEC；(2)若AB8，AD6，AF4，求AE的长(第7题)8如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DECF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：ADEDCF.(2)若E为CD的中点，求证：Q为CF的中点(3)连接AQ，设SCEQS1，SAEDS2，SEAQS3，在(2)的条件下，判断S1S2S3是否成立？并说明理由(第8题)9如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BFAE，垂足为H，交CD于F，作CGAE，交BF于G.求证：(第9题)(1)CGBH；(2)FC2BFGF；(3).10如图，点P是菱形ABCD对角线AC上
8、的一点，连接DP并延长交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：APBAPD；(2)已知DFFA12，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.求y与x的函数关系式；当x6时，求线段FG的长(第10题)专训4用线段成比例法解与圆有关问题线段成比例法求解有关线段问题在三角形、四边形中有着广泛的应用，是近几年中考命题的必考内容；在中考中，它的另一重点是与圆的知识相结合进行考查；题型既有选择题、填空题，也有解答题，也常以压轴题的形式出现一、选择题1如图，已知ABC，ABBC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的O的切线交BC于点E.若CD5，CE4，则O的半径是(
9、)A3 B4 C.D.(第1题)(第2题)2如图，AB为O的直径，C为O上一点，弦AD平分BAC，交BC于点E，AB6，AD5，则AE的长为()A2.5 B2.8 C3 D3.23如图，A，B，C，D是O上的四个点，ABAC，AD交BC于点E，AE3，ED4，则AB的长为()A3 B2C.D3(第3题)(第4题)二、填空题4如图，AB是O的直径，点C在圆上，CDAB，DEBC，则图中与ABC相似的三角形有_个5如图，直线l与半径为4的O相切于点A，P是O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PBl，垂足为B，连接PA.设PAx，PBy，则xy的最大值是_(第5题)三、解答题6如图，AB是O的直
10、径，AC是O的弦，过点B作O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AEAC交DE于点E.(1)求证：BADE；(2)若O的半径为5，AC8，求BE的长(第6题)7如图，在ABC中，BABC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，连接DB，过点D作DEBC，垂足为点E.(1)求证：DE为半圆O的切线；(2)求证：DB2ABBE.(第7题)8如图，AB是圆O的直径，点C，D在圆O上，且AD平分CAB.过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F.(1)求证：EF与圆O相切；(2)若AB6，AD4，求EF的长(第8题)9如图，AB是O的直径，点C在O上，CAB的平分线交O于点
11、D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.(1)猜想ED与O的位置关系，并证明你的猜想；(2)若AB6，AD5，求AF的长(第9题)10如图，AB是O的直径，点E是上的一点，DBCBED.(1)求证：BC是O的切线；(2)已知AD3，CD2，求BC的长(第10题)11如图，AB是O的直径，点C为O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PBPC12.(1)求证：AC平分BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD3，求ABC的面积(第11题)1解：(1)BCPBER，PCQP
12、AB，PCQRDQ，PABRDQ.(2)四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形BCADCE，ACDE，BCPBER，则，BPPR，.点R是DE的中点，DRRE.又PCDR，.QR2PQ.又BPPRPQQR3PQ，BPPQQR312.2C3证明：AD6.4，CD1.6，ACADCD6.41.64.8.3.又3，.又BCAD，ACBDCE90，ABCDEC.(第4题)4(1)证明：ABC是等边三角形，AACB60.ACF120.CE是外角平分线，ACEACF12060.AACE.又ADBCDE，ABDCED.(2)解：如图，作BMAC于点M，则AMCM3，BM3.AD2CD，CD2，AD4.
13、则MD1.在RtBDM中，BD2.由ABDCED得，即2，ED.BEBDED3.5证明：BDAC，点B，A，E在同一条直线上，DBACAE，又3，ABDCAE.方法规律：本题运用了数形结合思想和演绎推理，通过已知条件寻找两边成比例并且夹角相等，从而证明两三角形相似6证明：AD是ABC的高，ADBD.又E，F分别是AB，AC的中点在RtABD中，DE为斜边AB上的中线DEAB，即.同理.EF为ABC的中位线，EFBC，即.DEFABC.1解：如图，连接DF，E，F是边BC上的两个三等分点，BEEFFC.D是AC的中点，ADCD.DF是ACE的中位线DFAE，且DFAE.DFPE.BEPBFD.B
14、F2BE，BD2BP.BPPD.DF2PE.DFAE，APQFDQ，PAQDFQ.APQFDQ.设PEa，则DF2a，AP3a.PQQDAPDF32.BPPQQD532.(第1题)(第2题)2解：如图，过点C作CGAB交AE的延长线于点G.CGAB，DAFG.又D为CF的中点，CDDF.在ADF和GDC中，ADFGDC(AAS)AFCG.BFAF32，ABAF52.ABCG.ABEGCE.3证明：如图，过点B作BNCF交AD的延长线于点N.，ECDNBD.又CDEBDN，EDCNDB.BDCD，EDDNEN.AEED2AFFB.(第3题)(第4题)4证明：如图，过点C作CFAB交DP于点F，P
15、CFPBD.ADCF，ADEEFC.ADAE，ADEAED.AEDCEP，EFCCEP.ECCF.5证明：(方法一)过点C作CFAB，交DE于点F，CDFBDE.点M为AC边的中点，AMCM.CFAB，BACMCF.又AMECMF，AMECMF.AECF.AEAB，BEABAE，BE3AE.，即BD3CD.又BDBCCD，BC2CD.(方法二)过点C作CFDE，交AB于点F，.又点M为AC边的中点，AC2AM.2AEAF.AEEF.又AEAB，2.又CFDE，2.BC2CD.(方法三)过点E作EFBC，交AC于点F，AEFABC.由AEAB，知，EFBC，AFAC.EFCD，EFMDCM，.又
16、AMMC，MFMC，EFCD.BC2CD.(方法四)过点A作AFBD，交DE的延长线于点F，AEFBED.AEAB，AEBE.AFBD.由AFCD，易证得AFMCDM.又AMMC，AFCD.CDBD.BC2CD.点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似一、1.B2.C3.D二、4.三、5.解：(1)(2)BCFDBCCDE；选BCFCDE，证明：在矩形ABCD中，BCD90，且点C在边EF上，BCFDCE90.在矩形BDEF中，FE90，在RtBCF中，CBFBCF90，CBFDCE，BCFCDE.(答案不唯一)6(1)证明：由折叠可知，COM90，BCOM.又MCO
17、ACB，COMCBA.(2)解：AB6，BC8，AC10，OCAC5，COMCBA，即，OM.7(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，CB180，ADFDEC.AFDAFE180，AFEB，AFDC.在ADF与DEC中，ADFDEC.(2)解：四边形ABCD是平行四边形，CDAB8.由(1)知ADFDEC，DE12.在RtADE中，由勾股定理得AE6.8(1)证明：由ADCD，ADEDCF90，DECF得ADEDCF.(2)证明：易证ADEECQ，所以.因为，所以，即点Q是CF的中点(3)解：S1S2S3成立理由：因为ADEECQ，所以，所以.因为CAEQ90，所以AEQ
18、ECQ，所以AEQECQADE，所以，所以.因为EQ2AE2AQ2，所以S1S2S3.9证明：(1)BFAE，CGAE，BAHABH90，CGBF.CBGBCG90.在正方形ABCD中，ABHCBG90，BAHCBG，ABHBCG.ABBC，ABHBCG，CGBH.(2)BFCCFG，BCFCGF90，CFGBFC，即FC2BFGF.(3)CBGFBC，CGBBCF90，BCGBFC，即BC2BGBF.ABBC，AB2BGBF，即.10(1)证明：点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，DAPPAB，ADAB.在APB和APD中，APBAPD(SAS)(2)解：APBAPD，DPPB，ADPAB
19、P.在DFP和BEP中，DFPBEP(ASA)，PFPE，DFBE.GDAB，FDGFAB，.DFFA12，.DGBE，DPGEPB，.PEPF，yx.当x6时，y64，PFPE4，DPPB6，FDGFAB，解得FG5，故线段FG的长为5.方法规律：本题运用了演绎推理，考查了相似三角形、全等三角形和函数知识，是一个综合性的问题推出，是解题的关键一、1.D2.B3.C二、4.45.2三、6.(1)证明：O与DE相切于点B，AB为O的直径，ABE90，BAEE90.又DAE90，BADBAE90，BADE.(2)解：如图，连接BC，AB为O的直径，ACB90.AC8，AB2510，BC6.又BCA
20、ABE90，BACE，ABCEAB，.BE.(第6题)(第7题)7证明：(1)如图，连接OD.AB为半圆O的直径，ADB90.ABBC，D为AC中点O为AB中点，ODBC.DEBC，ODECED90，DE为半圆O的切线(2)ABBC，ADB90，CBDDBA.又ADBDEB90，ADBDEB.，即DB2ABBE.8(1)证明：连接OD，如图因为OAOD，所以OADODA.又因为AD平分BAC，所以OADCAD，所以ODACAD.所以ODAE.又因为EF垂直于AE，所以OD垂直于EF，所以EF与圆O相切(2)解：如图，连接CD，BD，BC，则CDBD.因为AB是直径，所以ACBADB90.又因为
21、AB6，AD4，所以BD2，所以CD2.因为OADCAD，ADBE90，所以ADEABD，所以，所以，所以DE.在RtCDE中，CE.易得四边形CEDG是矩形，所以DGCE，OGB90.所以DG，OG3.在RtOGB中，GB.因为ACBE90，所以BCEF，所以OGBODF，所以，所以，所以DF.所以EFDEDF.(第8题)(第9题)9解：(1)ED与O相切证明：如图，连接OD.OAOD，12.AD平分CAB，23.13.ODAE.AEDE，ODDE.D在O上，DE是O的切线(2)如图，连接BD.AB是O的直径，ADB90，则BD2AB2AD211.34，32，24.ADBBDF90，DFBD
22、BA.，DF.则AFADDF5.10(1)证明：AB是O的直径，ADB90.又BADBED，BEDDBC，BADDBC，BADABDDBCABD90，ABC90，BC是O的切线(2)解：BADDBC，CC，ABCBDC，即BC2ACCD(ADCD)CD10，BC.(第11题)11(1)证明：如图，连接OC.PE与O相切，OCPE.OCP90.AEPE，AEP90OCP.OCAE.CADOCA.OAOC，OCAOAC.CADOAC.AC平分BAD.(2)解：PB，AB之间的数量关系为AB3PB.理由如下：AB为O的直径，ACB90.BACABC90.OBOC，OCBABC.PCBOCB90，PCBPAC.PP.PCAPBC.PC2PBPA.PBPC12，PC2PB.PA4PB.AB3PB.(3)解：过点O作OHAD于点H，如图，则AHAD，四边形OCEH是矩形OCHE.AEOC.OCAE，PCOPEA.AB3PB，AB2OB，OBPB.，OC，AB5.PBCPCA，AC2BC.在RtABC中，AC2BC2AB2，(2BC)2BC252，BC，AC2.SABCACBC5，即ABC的面积为5.
