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1、第十三章 （精编）轴对称轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴毛有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线画一图形关于某条直线的轴对称图
2、形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，线段角直角三角形半圆，其中一定是轴对称图形的有【 】A1个B2个C3个D4个2图中，轴对称图形的个数是【 】A4个 B3个 C2个 D1个 3正n边形有_条对称轴，圆有_条对称轴线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线
3、段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合考点二、线段垂直平分线的性质4如图，ABC中，A90，BD为ABC平分线，DEBC，E是BC的中点，求C的度数。5如图，ABC中，ABAC，PBPC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分BC6如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC8厘米，AB10厘米，则EBC 的周长为【 】A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米7如图，BAC30，P是BAC平分线上一点，PM AC，PD
4、AC，PD30 , 则AM 轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形关于坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（x，y）
5、关于原点对称点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（x，y）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线yx对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y x对称的点的坐标是（y，x）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线xm对称的点的坐标是（2mx，y）；点P（x，y）关于直线yn对称的点的坐标是（x，2ny）；考点三、轴对称变换及用坐标表示轴对称8 点 A（-3 ，2）关于 y 轴对称点的坐标是( ) A （-3 ，-2） B （3 ，2） C （-3 ，2） D（2 ，-3） 9点P（a，b）关于 x 轴的对称点为P（1，-
6、6），则A、B的值分别为( ) A1 ，6 B-1 ，-6 C-1 ，6 D1 ，-610.点P关于x 轴对称点P的坐标为（4，-5）,那么点P关于y轴对称点P的坐标为： A(-4，5) B (4，-5) C (-4，-5) D (-5，-4) 11.平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是( ) A.x轴 B.y轴 C.直线y=4 D.直线x=-1 12.下列关于 直线 x=1 对称的点是( )A点（0 ，-3）与点（-2 ，-3） B点（2 ，3）与点（-2 ，3）C 点（2 ，3）与点（0 ，3）D点（2 ，3）与点（2 ，-3 )13.已知A(-1，-2)和B(1，3），将点
7、A向_平移_个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称 14.如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形，点A的坐标为（2，1），标出点 B 、C 、D 的坐标分别为：B( ， )，C( ， )，D( ， )。 15. 若A（m-1，2n+3）与B（n-1，2m+1）关于y轴对称，则m= ,n= 16.已知a0，那么点P（-a-2，2-a）关于x轴对称的对应点P在第 象限三、解答题17.已知点M（1-a，2a+2），若点M关于x轴的对称点在第三象限，求a的取值范围？18.已知点A的坐标为（2x+y-3，x-2y）。它关于x轴对称的点A的坐标为（x+3，y-4），求点A关于y轴
8、对称的点的坐标。19.如图，从ABC到ABC是进行的平移变换还是轴对称变换，如果是轴对称变换，找出对称轴，如果是平移变换，是怎样平移的？20.如图，ABC，求顶点A、B、C关于y轴对称点的坐标并在坐标系中画出ABC关于x轴对称的EDF。 21.已知两点A（1，2） B（3，1）（1）P点在X轴上移动。求PA+PB的最小值。（2）Q点在Y轴上移动。求QA+QB的最小值。（3）并求出P.Q的坐标。考点四、作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形22如图，RtABC，C90,B30,BC8，D为AB中点
9、，P为BC上一动点，连接AP、DP,则APDP的最小值是 23已知等边ABC，E在BC的延长线上，CF平分DCE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接AP、PQ.若APPQ，求证APQ是多少度作点Q关于BE的对称点R，交BE于点H，从而可得QCHRCH,QCH=RCH=60度。A,C,R在同一直线上。易证PCQPCR,从而QPH=RPH,PR=PQ,PQC=PRC.又由于AP=PQ,从而AP=PR,得到PRA=PARBAP+PAC=PQC+QPCBAP=QPC即有：BAP+B=QPC+APQ即APQ=60等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边两腰所夹
10、的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形考点五、等腰三角形
11、的特征和识别24如图，ABC中，ABAC8，D在BC上，过D作DE AB交AC于E，DFAC交AB于F，则四边形AFDE的周长为_ 。 25如图，ABC中，BD、CD分别平分ABC与ACB，EF过D且EFBC，若AB 7，BC 8，AC 6，则AEF周长为【 】A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 26如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上，且ABBCCDEDEF,A20o,则FEB_度27已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，则它的一个底角的度数是_28如图：在ABC中，ABAC，ADBC， DEAB于点E, DFAC于点F。试说明DEDF。29如图,E在ABC的AC
12、边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DFEF，BDCE.求证：ABC是等腰三角形.30已知：如图，ABC中，ACB的平分线交AB于E，EFBC交AC于点F，交ACB的外角平分线于点G试判断EFC的形状，并说明你的理由 等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形考点六、等边三角形的特征和识别31下列推理中，错误的是【 】AABC，ABC是等边三角形BABAC
13、，且BC，ABC是等边三角形CA60，B60，ABC是等边三角形DABAC，B60，ABC是等边三角形32如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。求证：M是BE的中点。33已知ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AECF，BE、AF交于点D，则BDF _度34如图，D、E、F分别是等边ABC各边上的点，且ADBECF，则DEF的形状是【 】A等边三角形 B腰和底边不相等的等腰三角形 C直角三角形 D不等边三角形 角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.三角
14、形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等考点七、30所对的直角边是斜边的一半35如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB8m，A30，则DE等于【 】A1m B2m C3m D4m36一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AOBO40cm，C0D030 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度AOB刚好为120，求桌面到地面的距离是多少？甲37如图，ABAC，DEAB于E，DFAC于F，BAC120o，BC6，则DEDF 38在中，的垂直平分线交于点F，交于点如果，求的长39已知：在ABC中，ABAC，BAC1
15、20，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F. 求证：CF2BF. 作图题专练ACDOB1如图：已知AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到AOB两边的距离相等2已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M（1）如图，在l上求作一点M，使得 AMBM 最小；作法：（2）如图，在l上求作一点M，使得AMBM最大 作法：（3）如图，在l上求作一点M，使得AMBM最小（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题变式练习1、如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B求作：点P，使点P在MN上，且APMBPN 2如图点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形AP
16、BC的周长最小；3.如图已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q （点P在点Q的左侧）且PQa，四边形APQB的周长最小4、已知：如图点M在锐角AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得PMQ的周长最小；5、已知：如图314，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小6、一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从A到B所走的路线最短？轴对称专题训练一、选择题（每题3分，共24分）1、下列图案中，不是轴对称图形的是（
17、） A B C D 2、（易错易混点）下列长度的三线段,能组成等腰三角形的是 （ ）A . 1 1 2 B. 2 2 5 C. 3 3 5 D. 3 4 5 3.如图，已知ACBD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是 （ ）A . B=D B. A=B C. AD=BC D. OA=OB4（易错易混点）下列说法正确的是( )A等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B顶角相等的两个等腰三角形全等C等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D等腰三角形的两个底角相等5、如图，与关于直线l对称，且，则B的度数为（）A48 B54 C74 D786、如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D
18、，C的位置若EFB65，则AED等于 A. 70 B. 65 C. 50 D. 25 7、已知M（a,3）和N（4，b）关于y轴对称，则的值为（）A.1 B、1 C. D.8、如图,BAC=110若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则PAQ的度数是()A.20 B. 40 C. 50 D. 60二、填空题（每题3分，共24分）9轴对称是指_个图形的位置关系;轴对称图形是指_个具有特殊形状的图形.10、有一条对称轴的三角形是_三角形,有三条对称轴的三角形是_三角形.11. 如图，在ABC中，BD是ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则C=_.12、（易错易混点）在ABC中，ABAC，AB的垂
19、直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50，则B等于_度13、如图，在ABC中，AB=AC，P是ABC内一点，且PBC= PCA，则BPC=_.14、如图，ABC中,A=36，AB=AC，BD平分ABC,DEBC,则图中等腰三角形有_个.15、如图,ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,ABD的周长为13cm,则ABC的周长为_.16如图，点P在AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若PEF的周长是20cm，则线段MN的长是_三、解答题（1720题每题10分，21题12分）17、右图（实线部分）补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，
20、你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不用写作法、保留作图痕迹）请用一句话说明你的画图思路 18、如图，写出ABC的各顶点坐标，并画出ABC关于Y轴对称的A1B1C1，写出ABC关于X轴对称的A2B2C2的各点坐标。19、如图所示，BACABD,ACBD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点试判断OE和AB的位置关系,并给出证明20 阅读下题及证明过程：已知：如图，D是ABC中的BC边上一点，EB=EC，ABE=ACE求证：BAE=CAE证明：在AEB和AEC中，AEBAEC第一步BAE=CAE第二步问上面的证明过程是否正确，若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程21等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ，问 APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论
