数学论文拐点的判别及其在情报学中的应用.doc

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1、学校代码10812分 类 号O17学 号20100403207XX学院毕业论文（设计）拐点的判别及其在情报学中的应用系 别数学系专 业数学与应用数学姓 名xxx指导教师xxx职 称教授日 期2012年6月国内图书分类号：O17吕梁学院本科毕业论文（设计）拐点的判别及其在情报学中的应用姓 名xxx系 别数学系专 业数学与应用数学申请学位学士学位指导教师职 称教授摘 要本文以实数集R连续的七大定理:单调有界原理(公理);闭区间套定理;确界定理;有限覆盖定理;致密性定理;柯西收敛准则(完备性定理);戴德金分割定理为理论依据应用极限的研究方法提出拐点的不同定义,并对不同定义进行分析,进而给出了拐点的一

2、个确切定义,在此基础上应用拐点定义判别了一些分段函数、初等函数以及由参数方程确定的函数的拐点.任何一个数学概念的给出都是其该数学概念的充分必要条件,那么对于拐点这一数学概念来说当然也不例外,从拐点的定义出发可以推出拐点的一系列充分条件和必要条件,它们作为定理当然需要严格的证明,本文对这些定理也给出了其严格的证明.同时,在给出拐点的定义及其判别法之后,针对极点来说很有必要来进一步探讨一下拐点和极点的联系.即:对于一个函数来说它的拐点是它一阶导函数的极点.在这一系列拐点的理论基础知识中最为重要的是给出一个具体的函数如何运用最为恰当的判别法来判别一点是否为该函数的拐点,从而起到最优化的作用.最后,在

3、研究一系列拐点的理论基础知识后,重点讨论拐点在生活中的运用,其中最为重要的是拐点在情报学中的应用,其中有:拐点的情报学意义和决策支持价值,以及逻辑曲线的拐点公式.关键词:拐点;导数;极点;凹凸性;情报学ABSTRACTBased on the continuous seven theorems in the set of real numbers(R)monotone bounded principle (axioms); closed interval theorem; supremo theorem; finite covering theorem; compact theorem; Ca

4、uchy convergence criteria(completeness theorem); Dedekin partition theoremand the method of limit theory, I put forward different definitions of inflection point and analyze them. Then, I get the accurate definition and discriminate other inflection points, such as piecewise function, elementary fun

5、ction and the function defined by parametric equations of inflection.Any mathematical concept is the necessary and sufficient condition for itself. For the inflection point, there is no exception. From the definition of inflection point, we can interfere a series of necessary and sufficient conditio

6、ns. Inevitably, these conditions need strict proofs. Meanwhile, given the definition of inflection point and its discrimination method, it is very necessary to make a further discussion about the contact between inflection point and pole. Namely, for a derivative function, the inflection point is th

7、e pole. In this series of theoretical knowledge of the inflection point, the most important is how to use the most appropriate method to determine whether a point is the the inflection point of a function if given a specific function and thus realize optimization. Finally, after a series of research

8、 on theory knowledge of inflection point, we mainly talk about its uses, of which the most important is the application in Information Science including the significance and decision value in Information Science as well as the inflection point formula of logistic curve. Key words: turning point;deri

9、vative; poles;convexity; Information Science 目 录 引 言1 第1章 拐点的基本概念2 1.1 预备知识2 1.2 拐点的定义2 第2章 应用拐点的定义求函数的拐点6 2.1 应用拐点的定义求分段函数的拐点6 2.2 应用拐点的定义求初等函数的拐点6 2.3 应用拐点的定义求由参数方程确定的函数的拐点8 第3章 拐点的判定定理10 3.1 拐点的必要条件10 3.2 拐点的第一充分条件10 3.3 拐点的第二充分条件11 3.4 拐点的第三充分条件14 3.5 拐点的第四充分条件15 3.6 拐点的第五充分条件16 第4章 拐点与极点的一般判定定理

10、18 4.1 拐点与极点的第一充分条件18 4.2 拐点与极点的第二充分条件19 4.3 拐点与极点的第三充分条件20 第5章 拐点与极点的特殊判定定理及其联系22 5.1 极点的特殊判定定理22 5.2 拐点的特殊判定定理22 5.3 拐点与极点的联系25 第6章 拐点在情报学中的应用26 6.1 拐点的情报学意义26 6.2 拐点的决策支持价值27 6.3 情报学中逻辑曲线的求拐点公式27 结束语29 参考文献30 谢 辞31引 言大学数学中数学分析是一门很重要的基础课程,在自然课程中占有绝对基础地位,而微积分又是数学分析中的基本内容,微分学则又是微积分的重要组成部分,而导数又是微分学中的

11、基本概念之一,极限又是研究导数的重要工具,因此呢,学习极限与导数的概念并熟练的把握导数的应用就尤为重要.利用导数去研究函数的形态是非常有必要的,研究函数的收敛与发散、连续与一致连续、可导性、可微性等等,在函数的这些形态中,研究它所具有一类共同性质的点拐点就有着极其深刻的理论意义与实践意义.尤其是在日常生活中.例如:楼市出现拐点,股市出现拐点等等,更为重要的是运用拐点的理论知识进行情报研究，即拐点在情报学中的应用,进而解决很多生活中的问题.此外,极值点和拐点对描绘曲线的图形有着非常重要的作用.本文结合初等数学中的初等方法研究函数的定义域、对应法则、值域、四则运算和高等数学中的方法即特殊的极限形式

12、导数来进一步研究函数中的一类特殊的点拐点,即函数由凹变凸或由凸变凹的临界点.以及曲线的拐点和极值点本身的特点,对这两类点进行研究,得到了曲线拐点判定的几个充分条件,对比曲线的拐点和极值的判定方法,研究了曲线的拐点、极值点和不可导点之间的关系,最后给出拐点在生活中的具体应用.第1章 拐点的基本概念1.1 预备知识 拐点与凸凹性的概念最早出现于莱布尼兹发表于1684年的一篇微分学论文.曲线的拐点是同函数的凹凸性联系在一起的.关于凸函数和凹函数的定义说法不一 ,但是对于曲线拐点的定义则大同小异,即是曲线凹凸区间的交界点.为此首先给出凸函数和凹函数总结性的定义作为预备知识.定义1 设函数在开区间有定义

13、,若,有 (1.1.1) 则称为上的凸函数(在区间是向下凸函数(下凸函数)或在区间是向上凹函数(上凹函数).反之,如果总有 (1.1.2) 则称为上的凹函数(在区间是向上凸函数(上凸函数)或在区间是向下凹函数(下凹函数).如果(1.1.1)、(1.1.2)中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数(严格下凸函数或严格上凹函数)反之称为严格凹函数(严格上凸函数或严格下凹函数).式(1.1.1)的意义是过曲线上任意两点的弦总位于曲线弧的上方;式(1.1.2)的意义是过曲线上任意两点的弦总位于曲线弧的下方.这个定义有明确的几何背景,却难以用来判断函数在某区间上的凹凸性.因此,人们利用拉格朗

14、日中值定理证明了如下关于凹凸性的判别准则.设函数在区间上连续,在内二阶可导,对于任意的,即:1) 如果,则对应的函数为上的凸(下凸或上凹)函数;2) 如果,则对应的函数为上的凹(上凸或下凹)函数.注意:从该定义可以看出对于函数来说其凸性与下凸性以及上凹性具有一致的定义,更进一步来说凸函数既是下凸函数也是上凹函数.同理可知凹函数既是上凸函数也是下凹函数.1.2 拐点的定义定义24 若曲线在其上一点的一侧是凸(下凸或上凹),另一侧是凹(上凹或下凹),则称为曲线的拐点. 定义31 若曲线在点处有切线,且穿过曲线,在切点某近旁内曲线在切线的两侧分别是严格凸(严格下凸或严格上凹)的和严格凹的(严格上凸或

15、严格下凹),这时称点为曲线的拐点.定义42 若且自变量之值连续增加经过时,的符号改变,则点是曲线的拐点.分析:定义1和定义2要求拐点是凸凹弧的分界点,而对切线存在与否未作要求,也未提及在点处的导数是否存在的问题.定义3要求拐点是凸凹弧的分界点,且在拐点处切线必须存在.定义4要求拐点是凸凹弧的分界点,且在拐点处.显然,运用不同的定义对拐点的判定截然不同,其区别在于: 1) 是否要求函数在拐点处连续,但拐点处的导数不做要求. 2) 是否要求函数在拐点处有切线.3) 是否要求函数在拐点处二阶导数为零.为了对拐点的众多定义进行系统的研究,从而给出拐点的一个确切定义,举例如下:例1 讨论分段函数的拐点.

16、解 由题可知: 那么对点,当时,曲线凸(下凸或上凹);当时,曲线凹(上凸或下凹),因此有以下的特点:1) 在点点处连续,且在点不可导,无切线.2) 在点的左右两侧,曲线改变了凹凸的方向.3) 在点处. 分析:定义1和定义2对拐点处切线存在未作要求,故由定义1和定义2知,例1中点为拐点;而定义3认为拐点处切线必须存在,故例1中不是拐点;而定义4知,拐点处必须,故例1中不是拐点. 例2 讨论函数的拐点.解 由题可知: 可以看到,当,曲线凸(下凸或上凹);当,曲线凹(上凸或下凹),因此,有以下的特点:1) 在点处连续,导数为无穷大,有切线.2) 在点左右两侧,曲线改变了凹凸的方向.3) 在点处.分析

17、:定义1和定义2对拐点处切线存在未作要求,故由定义1和定义2知,例2中点为拐点;而定义3认为拐点处切线必须存在,故例2中点是拐点;而定义4知,拐点处必须,故例2中点不是拐点.通过上述两例分析在点处是否为拐点有不同的结果.拐点是研究函数性质的重点,应类似于最值点,起码要求拐点应在所属曲线上.因而拐点处连续性是毋庸置疑的,而它作为函数曲线上具有一定特性的点,这个点所起的作用是,函数曲线在这点处改变凸凹性,它是函数的凹区间和凸区间的分界点,其特性是一个几何特性,在拐点的左右近旁必须存在切线,即函数曲线在拐点的近旁必须是凹的或是凸的.而定义3它判断拐点领域函数曲线凹凸性的标准是以拐点领域曲线上点在拐点

18、处切线的位置来决定的,而我们还可以用拐点领域内曲线的二阶导数的符号来判断.由此可见在拐点处是否存在切线并不是该点成为拐点的必要条件,也就不必要求在拐点处有这一条件,由此定义拐点时需考虑以下条件:1) 要求函数在点连续,但切线可以不存在,不要求二价导数在点连续.2) 在点左右两侧,曲线有不同的凹凸性.因此确定曲线上一个点是否是拐点分歧所在,即是否要求拐点处切线存在以及拐点处二价导数是否等于零.通过以上分析,定义1和定义2符合这两条,为了使定义1和定义2更加简洁易懂,拐点的恰当确切定义应如下表示:确切定义 连续函数上凹弧与凸弧的分界点称为此曲线上的拐点.曲线的凹凸反映了曲线弧的弯曲方向,而拐点就是

19、曲线弯曲方向改变的转折点.拐点处切线的特征:设曲线是光滑的,如果将曲线看作质点的运动轨迹,则质点的运动方向就是曲线的切线方向.如图1所示,质点在凸弧上运行时,切线始终位于曲线弧的上侧;质点在凹弧上运行时,切线始终位于曲线弧的下侧.但是在经过拐点的时候,切线则从曲线的一侧穿越点到了另一侧.注:在拐点处不一定有切线,但是有切线的话必有该特征. 图1 拐点处切线的特征根据拐点处切线的特征,如果曲线弧上任一点处的切线都不穿越曲线,即切线始终在曲线弧的同一侧,则此曲线上没有拐点,例如圆周上没有拐点.第2章 应用拐点的定义求函数的拐点一般的判别拐点的方法:第一步,求函数的二阶导数.第二步,令的解和二阶导数

20、不存在的点,其解和二阶导数不存在的点将函数 的定义域分成若干开区间.第三步,考察上述点的两侧二阶导数的符号情况,异号则是拐点,同号则不是拐点.2.1 应用拐点的定义求分段函数的拐点 例1 讨论分段函数的拐点. 解 1) 该函数的定义域为. 2) 由导数的定义可知 , . 则在点处不可导.故由上述可知: 显然,在点处不存在;令时,不存在,则点可能为的拐点. 3) 在小于;在大于.故点为函数的拐点.2.2 应用拐点的定义求初等函数的拐点 例2 讨论函数的拐点. 解 1) 该函数的定义域为. 2) , . 令,则无解且在处不存在,则点可能为的拐点. 3) 在上大于;在上小于. 故点为函数的拐点.注:

21、此两例说明一阶导数和二阶导数都不存在之点为函数的拐点,而且是唯一的一个点. 例3 求函数的拐点. 解 1) 该函数的定义域为. 2) , .令解得且在处不存在,则和为可能的点.(的定义域为而的定义域为且有解) 3) 在上大于;在上小于;在上大于.故点和为函数的拐点.注:此例说明一阶导数和二阶导数都不存在之点为函数的拐点,而且二阶导数为的点存在且也为函数的拐点. 例4 求函数的拐点. 解 1) 该函数的定义域为和. 2) , .令解得(在点处不存在,在点处也无定义,则在定义域上无不存在之点,故点不为函数的拐点). 3) 在上大于;在上小于;在上大于.故为函数的拐点.注:点如果是函数定义域中的点,

22、则就是函数的拐点,但是点不是函数定义域中的点,从此例可以看出拐点必须是函数定义域中的点.例5 求证三次曲线有且仅有一个拐点.证明 1) 该函数的定义域为. 2) 令解得且无不存在之点,则点就为可能的拐点. 3) 在与上异号故点就为函数的拐点. 又由于无不存在之点且的解是唯一的，故该三次曲线有且仅有一个拐点. 例6 求函数的拐点. 解 1) 该函数的定义域为. 2) ,(的定义域为).令解的,它们将定义域分为了无穷多个开区间,即, 3) 在,上小于;在,上大于,再结合函数的性质可知:则横坐标的点都为函数的拐点.故都为的拐点.注:该函数的拐点有无穷多个.2.3 应用拐点的定义求由参数方程确定的函数

23、的拐点 例7 求由参数方程确定的函数拐点. 解 1) 由参数方程可见,曲线位于轴的右侧,过原点且关于轴对称.故该函数的定义域为. 2) 求出参数方程所确定函数的导数,即: , .令解的,;不存在的点为. 3) 显然在,的左右不同领域内,二阶导数异号. 故该函数的拐点为,.这个结论是不对的,其中点并不是曲线的拐点.出错的原因在于曲线位于轴的右侧,当时,函数没有定义,拐点判别准则中的在的左右两侧邻近异号在此没有意义,因此,用在参数的左右两侧邻近异号来代替在的左右两侧邻近异号是错误的.一般地,设曲线由参数方程为: ,若为的零点或不存在的点,且在参数的左右两侧邻近异号,但不是曲线的拐点,称这样的点为曲

24、线的假拐点.需要注意的是:根据在参数的左右两侧邻近异号所得到的点可能是拐点,也可能是假拐点,只能认为它是可能的拐点.在解题过程中,由于疏忽了细节,容易将在参数的左右两侧邻近异号等同于在的左右两侧邻近异号,从而将假拐点误判为拐点.由此可见,如果曲线由参数方程给出,在求出的零点或不存在的点以后,不能直接用在参数左右两侧邻近异号简单地代替在的左右两侧邻近异号来判定就是曲线的拐点.针对这种情况,得出如下定理.定理1:设曲线由参数方程给出,其中:函数,二阶可导,为的零点或不存在的点,在参数的左右两侧邻近异号.则:1) 如果在的某邻域内,函数的值分布在点的一个双侧邻域内,则是曲线的拐点;2) 如果在的某邻

25、域内,函数在的某一侧邻近没有定义,则不是曲线的拐点.第3章 拐点的判定定理到目前为止,虽然有关判别拐点的方法已有很多结果,但是利用高阶导数判别拐点并无系统的判别法,故以下对其进行进一步的研究与讨论.通常拐点判别方法是先求出二阶导数为零和二阶导数不存在的点,然后考察上述点的两侧二阶导数的符号情况,异号为拐点,同号不是拐点.由拐点的定义,在一定的条件下,也可以通过考察所给点的两侧邻近的一、三阶导数符号来判定是否为拐点.3.1 拐点的必要条件 定理3.1.1:(拐点的必要条件)设函数在有定义,若为曲线的拐点,则或不存在.定理3.1.21:(拐点的必要条件)设函数在有定义,在处有二阶导数,则为曲线的拐

26、点的必要条件是.事实上,设内;内,则在内下降,在内上升,故在取极小值,因此.但是不存在的点也可能是存在的拐点,考察这些点两侧的二阶导数是否变号,如果变号则为拐点,如果不变号则不是拐点,因此连续函数出现拐点有以下情况:1) 若存在,且,在的两旁的符号相反,点为拐点,此时在处曲线有不垂直于轴的切线存在.如在点为拐点.2) 若不存在,存在(为有限数),即在处曲线有不垂直于轴的切线存在,如在的两旁的符号相反,则点为拐点.如:的拐点为.3) 若不存在,不存在,此时在处曲线无切线,在的两旁的符号相反,则点为拐点.如的拐点为(0,0).注:为的拐点而其逆命题(充分条件)不一定成立.例如:点满足显然由拐点的定

27、义可知:点不是函数的拐点. 定理一和定理二只是一个必要条件,只能是由拐点而推出其二阶导数为零,并不能判定是否为拐点.但是其逆否命题可以用来判定不是拐点,即:若二阶导数存在且不为零,则肯定不是拐点;若二阶导数等于零时,则可用定义和以下判别法判定.3.2 拐点的第一充分条件定理3.2.11:(拐点的第一充分条件)设函数在有二阶导数,如果经过时改变符号,那么点为函数的拐点.推论:设函数在有二阶导数,如果经过时单调性发生变化,那么点为函数的拐点.注:该判别法要求二阶导数为且经过该点时二阶导数变号.3.3 拐点的第二充分条件定理3.3.1:设函数在某内二阶可导且,三阶单侧导数,存在,则:1) 若,同号,

28、则点是函数的拐点;2) 若,异号,则点不是函数的拐点.证明:1) 由题可知不妨设,.由导数的定义 , .可知(极限的保号性定理)存在,使得1) 当时,由上述知;2) 当时,由上述知.从而为函数的拐点. 类似可证，若,点为函数的拐点. 2) 由题可知不妨设,. 由导数的定义 , .可知(极限的保号性定理)存在,使得1) 当时,由上述知;2) 当时,由上述知.从而不是函数的拐点.注:该定理用于判别三阶导数不存在且三阶单侧导数存在的点是否为拐点.推论1:设函数在处可导,在内有直到三阶的连续导数,且,则: 1) 当在与内符号相同,则点是函数的拐点; 2) 当在与内符号相反,则点不是函数的拐点.证明:1

29、) 设,则,介于与之间.不妨设:若在与内符号都为正号,则总有.从而由上式得在与内符号相反.故点为函数的拐点;若在与内符号都为负号,则总有.从而由上式得在与内符号相反.故点为函数的拐点.2) 设,则,介于与之间.不妨设:若在内为正号与内为负号,则总有在内为正号与内为负号.从而由上式得在与内符号相同且都为正号.故点不为函数的拐点;若在在内为负号与内为正号,则总有在内为负号与内为正号.从而由上式得在与内符号相同且都为负号.故点不为函数的拐点.注:该推论用于判别三阶导数存在的点是否为拐点. 例1 判定是否为函数的拐点. 解 在处有,在两侧邻域内同号,由该推论知为函数的拐点. 推论2:(拐点的第二充分条

30、件)设函数在点有三阶导数,如果,那么为函数的拐点.注:该定理是根据极值的第二充分条件1:若函数存在二阶导数,并且为函数的稳定点,即而,则时,为函数的极小点;时,为函数的极大点而给出的.证明:(证法1)将函数在点展成泰勒公式(到三阶导数),即两边同时对求导,有:又因为,则有:上式等号右端第三项是的高阶无穷小,即它趋向于零的速度比等号右端第二项趋向于零的速度快的多.因此,当充分小时,差的符号与上式等号右端的第二项的符号相同.即:1)时,时,当时有;当时有即:在上单调减少,在上单调增加, 故在上小于零,在上大于零.故为函数的拐点.2)时,时,当时有;当时有即:在上单调增加,在上单调减少, 故在上大于

31、零,在上小于零.故为函数的拐点.所以该命题成立.(证法2)将函数在点展成泰勒公式(到三阶导数),即 已知,则有上式等号右端第四项是的高阶无穷小,即它趋向于零的速度比等号右端第三项趋向于零的速度快的多.因此,当充分小,几乎不影响上式的大小关系.1)当,时,有;时,有. 即:在上是凹函数,在上凸函数.故为函数的拐点.2)当,时,有;时,有. 即:在上是凸函数,在上凹函数.故为函数的拐点.故该命题成立.注:一般运用该定理的推论判别时要求二阶导数为零且经过该点时三阶导数不为零,与定理3.3.1相比较无需判别该点左右二阶导数的正负号,只需计算该点的三阶导数即可(前提是该点的三阶导数存在). 例2 求函数

32、的拐点.解 该函数的定义域为.由题可知, , .令. 而,显然,. 故为函数的拐点. 例3 求函数的拐点.解 该函数的定义域为.由题可知 , .令,又由函数的定义域为,则舍去.而,显然,. 故为函数的拐点.3.4 拐点的第三充分条件定理3.4.1:设函数在处可导,在内二阶可导,则1) 若在与内符号相同,则点是函数的拐点;2) 若在与内符号相反,则点不是函数的拐点.证明:1) (反证法)设点不是函数的一个拐点,则存在在的某去心领域使在与内符号相同.不妨设在与内.当时,对运用拉格朗日中值定理,知使得,因为,所以.当时,对运用拉格朗日中值定理,知使得,因为,所以.则与已知矛盾,所以假设不成立.故点为

33、函数的一个拐点.同理可证在与内时命题也成立.2) 不妨设在内;内,则类似于(1)的证明知及使的,说明点的两侧的符号不是相反的.故点不是函数的拐点.注:该定理要求必须在拐点处一阶导数为零而且二阶导数不存在,并且在拐点处的领域内函数曲线的切线斜率的正负号相同.例如:可以用该判别法来判定点为其拐点及其的拐点为. 推广:当时,同样可以得到判别曲线拐点的一个简便的充分条件.推论:设函数在的某领域内可导,在的某去心领域内二阶可导,若在与内的符号相同,则点为函数的拐点.证明:(反证法)假设点不是函数的拐点,则存在的某去心领域使得在内,或,但不在任一长度不为零的区域上等于零.不妨设,但不在任一长度不为零的区间

34、上等于零,对当时,有,对运用拉格朗日中值定理,则存在使得,由于,所以;当时,有,对运用拉格朗日中值定理,则存在使得,由于,所以.与已知的条件矛盾.故为函数的拐点.注:对于定理3.4.1来说, 条件很苛刻,一般的函数的拐点很难满足起条件的, 故一般不用它来判别一点是否为函数的拐点. 一般的话是用其推论来判别的,它与原始定理相比较的话其条件相对来说比较弱点.例:例1和例2都可以用该判别法来判别.3.5 拐点的第四充分条件定理3.5.1:设函数在有定义,在点阶可导,并且有,则1) 如果是奇数时,那么是函数的拐点;2) 如果是偶数时,那么不是函数的拐点.证明:将函数在点展开成泰勒公式(到阶导数),即

35、两边对求导有两边对再求导有又由于 则有由引理1知,对充分接近于的,与有相同的符号.1) 当是奇数时,也是奇数.当时,在的左领域内小于零,在的右领域内大于零;当时,在的左领域内大于零,在的右邻域内小于零, 因而为的拐点.故当时,为的拐点.2) 当是偶数时,也是偶数.则不管大于零还是小于零,在的左领域内与右领域内都有相同的符号,因而不是的拐点.注:该定理用于判别阶导数都存在的点是否为拐点.3.6 拐点的第五充分条件定理3.6.11:设函数在处可导,在内直到有阶的连续导数,且,在与内符号相同.1) 当为奇数时,那么点是函数的拐点;2) 当为偶数时,那么点不是函数的拐点.证明:将函数在点展开成泰勒公式

36、(到阶导数),即 两边对求导, 有 两边在对在求导有: 又因为 所以 1) 当是奇数时,也是奇数.由此可得在与内符号相反,故点是函数的拐点.2) 当是偶数时,也是偶数.由此可得在与内符号相同,故点不是函数的拐点.注:该定理用于判别阶导数存在且阶导数不存在，但是阶单侧导数存在的点是否为拐点.第4章 拐点与极点的一般判定定理4.1 拐点与极点的第一充分条件 定理4.1.14:设函数在的某领域内存在直到阶导数,在处阶可导,且,则:1) 当为奇数时,那么点是函数的拐点;不是极值点;2) 当为偶数时,那么点不是函数的拐点;是函数的极值点,且当时为函数的极小值点,当时为函数的极大值点.证明:将函数在点展开

37、成泰勒公式(到阶导数),即:两边对求导有即由于故有由引理1知,对充分接近于的,与有相同的符号. 1) 当为奇数时,由定理3.6.1可知,点是函数的拐点;当时,;当时,而在内取值时不改变正负号.于是当由小于变成大于时,改变了正负号.即在的任一邻域内有大于的值,也有小于的值.因此在处取不到极值. 2) 当为偶数时,由定理3.6.1可知,点不是函数的拐点;但是当为偶数时,恒有,故当,则对一切有,故在点取到极小值;当,则对一切有,故在点取到极大值.由此可见,若点是函数的拐点,那么往往在点取不到极值. 例1 设函数在的某邻域内具有三阶连续导数,如果有该式子成立即, 试问是否为极值点? 为什么? 点是否为

38、函数的拐点? 为什么? 解 由定理4.1.1易知,为奇数,而且满足定理4.1.1的条件,故点是函数的拐点,不是极值点.4.2 拐点与极点的第二充分条件定理4.2.1:设在点的某邻域内具有阶导数,如果, 且在与内的符号相同, 则1) 当为奇数时,点是拐点不是极值点;2) 当为偶数时,点是极值点不是拐点,且当在与内同为负时,点是极大值点,当在与同为正时,点是极小值点.证明:(第二数学归纳法)1) 当时,由拐点定义知函数在点两侧同为严凹或同为严凸,故此时点不是拐点.当在与内同为负时,由导数与单调性的关系及知:当时,当时.由极值点的定义知点是极大值点;当在与内同为正时,由极值点定义和知:当时,当时.由

39、极值点的定义知点是极小值点. 当时,定理3.3.1的推论一知点是拐点.不妨设在与内的符号同为正,由拐点的定义与知当时,当时,故点是拐点.再导数与单调性的关系与知,当时,当时故点不是极值点.2) 假设时结论成立. 3) 当时,设在与内, , 由导数与单调性的关系与知:当时, ; 当时, ,再由导数与单调性的关系与知:当时,当时,由假设知当为奇数时,即为奇数时,点是拐点不是极值点;当为偶数时,即为偶数时,是极小值点不是拐点.同理可证在与内时, 当为奇数时,点是拐点不是极值点;当为偶数时,是极大值点不是拐点.故时结论仍然成立. 综上所述知, 该定理结论成立.4.3 拐点与极点的第三充分条件定理4.3

40、.1:设在点的某邻域内具有阶导数,如果且在与内的符号相异,则:1) 当为偶数时,点是拐点不是极值点;2) 当为奇数时,点是极值点不是拐点,且当在内与在内,点是极大值点,当在内与在内,点是极小值点.证明:(第二数学归纳法)1) 当时,由拐点定义知点是函数的拐点.不妨设在内,在内.由极值点定义和知:当时,当时,故函数在内严格单调增加,此时点不是极值点.同理可证在内与在内时点不是极值点. 当时,不妨设在内与在内,由导数与单调性的关系与知当时,当时,由拐点定义知点不是拐点.再由导数与单调性的关系与知当时,当时故点是极小值点.同理可证在内与在内时点不是拐点是极大值点.2) 假设时结论成立. 3) 当时,

41、设在内与在内,由导数与单调性的关系与知当时,当时,再由导数与单调性的关系与知当时,当时,由假设知当为奇数时,即为奇数时,点不是拐点是极小值点;当为偶数时,即为偶数时,不是极值点是拐点.同理可证在内与在内时,点不是拐点是极大值点.综上所述, 该定理结论成立. 例2 设函数,其中函数可导,且在区间内成立,在处二阶可导,则点是函数的拐点,但不是极值点. 证明 由题可知则有 法一:由于且,.则由定理4.2.1知:点是函数的拐点,但不是极值点.法二:由于且当时,当时.由定理4.3.1知:点是函数的拐点,但不是极值点. 第5章 拐点与极点的特殊判定定理及其联系5.1 极点的特殊判定定理5.2 拐点的特殊判

42、定定理第6章 拐点在情报学中的应用以上研究了数学中的拐点,但是拐点它不止出现在数学方面,在现实生活中拐点也随处可见.下面来着重研究拐点在情报学中应用,情报预测曲线的拐点具有显化事物发展加速度的正负转折和明确包络曲线切点的情报学意义,具有决策支持价值,情报预测及研究在从单纯定性到结合定量的过程中,引入了大量数学方法、系统方法等进行规范演算和模拟,数学曲线也作为一个工具被广泛运用,曲线的几何形状及几何点便具有了一定的情报学意义而拐点就是有较突出性质的几何点.6.1 拐点的情报学意义拐点的利用以其情报学价值为基础,它所具有的下列性质能为预测研究提供情报和证据,在此意义上,拐点是一种待开发的情报内容,

43、运用于情报研究.但是运用拐点来预测曲线需要满足一定的条件,研究拐点只对一定条件的预测方法及预测曲线有良好的帮助效果,根据情报研究的最一般法则适用性和可行性,这样的预测曲线或其拐点至少应首先满足下列个基本条件13: 1) 模型方程的曲线必须在理论上有拐点出现,也就是曲线起码应有凸凹趋势的变化,凡只单调上升或单调下降的曲线及直线都没有拐点. 2) 拐点应能补充说明曲线的一般性研究揭示不太直观不太充分的情报内容,如果某一趋势或性质通过对曲线的常规研究就能显明,则没有必要进一步去仔细研究其拐点. 3) 一条曲线上的拐点不能过多,过多通常就失去了值得研究的情报价值.短周期的三角函数曲线和振动曲线、波动曲线是这方面的例证.4) 拐点必须易求出,难度不应大于得出曲线及加工曲线所进行的工作,也就是指,模型方程过于复杂,曲线本身不规则、不光滑,无明显数学规律等情况下不宜去研究拐点. 拐点是事物发展加速度正负变化的转折点和分段点,拐点两边的曲线表示的速度变化方向正好相反.如果在拐点一边的前一段曲线表示事物速度增大,加速度为正,那么拐点另一边曲线则表示速度减小,加速