几类生物数学模型的复杂性行为研究毕业论文.doc

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1、 毕 业 论 文论文题目 几类生物数学模型的复杂性行为研究系 别 专 业 数学与应用数学 班 级 学 号 学生姓名 指导教师 完成时间 年 月摘要本文考虑了生态学中几个经典数学模型的改进和推广,利用微分方程稳定性理论和数值分析, 研究其动力学行为, 并探讨了系统中参数对其动力学行为的影响, 为解释、预测和控制生态学中的一些现象提供相应的理论依据。具体地，本文做了以下工作:第一章，简介微分方程稳定性理论的基本知识。第二章，借助特征值判别法、 Lyapunov函数和微分不等式，细致地分析和讨论单种群生物模型的优缺点及平衡点的稳定性，获得了单种群生物模型稳定性的充要条件。第三章，运用特征值判别法、

2、Lyapunov函数、微分不等式及计算机数值模拟，精细地分析和讨论两种群竞争模型的优缺点，并对模型进行改进，使得模型与实际更加贴近，最后得出了两种群相互竞争模型稳定性的相关条件。同时在改进过程中，得出了一元四次方程实根个数的判别方法。此外，理论研究结果与两个种群相互竞争模型的SIMLINK仿真数值结果十分吻合。关键词： 生态学； 微分方程； 稳定性； SIMLINK仿真Complex Dynamics in Several Mathematical Models AbstractThis thesis is focus on the improvement and popularization

3、 of several classical mathematic model in the ecology. Researching on its dynamic behaviors by using numerical analysis and theory of differential equation stability. As well as discussing the influence of parameters in system on the dynamic behaviors. All these have provide corresponding theoretica

4、l basis when we interpret ,predict, and control some phenomena in the ecology. Below are what this thesis has done in details：Chapter one , Stability theory for differential equation of the paper are presented.Chapter two, using Eigenvalue method, Lyapunov function and Differential Inequality. We an

5、alyze and discuss the advantages and disadvantages of single population biology model and stability of the equilibrium point, obtaining the sufficient condition of the stability of single population biology model .Chapter three, using Eigenvalue method, Lyapunov function, Differential Inequality and

6、 Computer numerical simulation. We analyze and discuss the advantages and disadvantages of the two population competition model .At the same time improving the model and make it more consistent with the actual, obtaining the related conditions of two populations competition model.In the improvement

7、process, obtaining the number of roots for quartic equation. In addition, our theoretical results are fit to the results of SIMLINK simulation .Key word: Ecology；differential equation；stability；SIMLINK simulation 目录前言1一、 微分方程的稳定性理论简介2（一） 稳定性概念2（二） 特征值判别法2（三） V(x)函数判别法3二、 单种群生物数学模型的稳定性分析4（一） Malthus

8、人口模型4（二） 阻滞 logistic 增长模型6三、 两个种群生物数学模型的改进和稳定性分析10（一） 两种群竞争模型10（二） 改进的两种群竞争模型13参考文献24致谢25前言生物数学是生物学在不同领域中应用数学工具对生命现象进行研究的学科。其一般方法是建立被研究对象的数学模型并对其进行定性和定量研究，主要应用的数学方法有：微分方程、概率论和数理统计、抽象代数、拓扑学、突变理论等，电子计算机的发展使生物数学的研究又有了新的突破。生物数学的内容是多方面的：生物统计、数量遗传、数学生态和数学生物分类学可做为四大分支。生物统计学用统计方法研究生物界的客观现象；数量遗传学用数学方法研究在各种不同

9、情况下全体基因型的变化，研究数量性遗传规律；数学生态学用数学理论和和方法描述生态系统的的行为动态定量关系，建立各种生态模型，模拟动物行为；数学生物分类学使用现代数学方法和工具（特别是电子计算机）对古老的生物分类学进行研究。目前，数学方法几乎渗透到生物学的每个角落，有人预言：生物学将会取代物理学成为使用数学工具最多的部门，21世纪可能是生物数学的黄金时代。而生物数学中很重要的一个分支是种群生态学，种群生态学的研究起源于人口统计学、渔业资源学、和应用动物学，它是以人类、昆虫、动物为主要研究对象，其理论和方法来源于M.Odum,M.Begon和Mortimer（1981），Prece（1981），并

10、成为生态学中最活跃的一个领域。著名的英国社会学家神父Malthus在1998年出版的，人口论中第一次提出人口等比级数增长模型，即著名的Malthus模型。这个模型在短时期内与人口的很吻合，但是随着时间的推移，误差就越大，因为它有一个重要的缺陷：没有考虑环境资源、生活场所、食物等对自然增长率的影响。因为Malthus模型对于预测种群长时间发展的状况不适用，1938年比利时学者P.F.Verhulst首先提出了阻滞logistic增长模型，是用于描述生物种群在有限的空间和资源稀缺的条件下成长的经典模型。克服了Malthus模型的缺点，使模型预测的结果更加接近实际。随着人类对生态学的研究，出现了经典

11、的种群相互竞争模型、种群相互依存模型等等，种群生态学得到迅速的发展，使得人类更加合理的对种群进行保护、开发和利用。一、 微分方程的稳定性理论简介 （一）稳定性概念 考虑微分方程 （1.1） 其中函数对和连续，对满足局部李普希兹条件，设方程（1.1）对初值存在唯一解，而其他解记为。如果对于任意给定的和都存在，使得满足就有对一切成立，则称（1.1）的解是稳定的，否则是不稳定的。(二) 特征值判别法定理1. 对于非线性系统 其中，为常数矩阵，若特征方程没有零根或零实部的根，则非线性系统与线性近似系统的平衡点的稳定性是一致的。对于线性近似系统平衡点稳定性的讨论，其特征方程的根来判定是相当简便的，下面对

12、二维的情景讨论，有如下定理：定理2. 若的两个特征值为实根，且，则0时平衡点不稳定；若有重根，则0时平衡点不稳定；若有共轭复根，则0平衡点不稳定，=0时，平衡点稳定，但不是渐近稳定。（三）函数判别法定义1. 设为定义在闭区域上的连续实函数，满足，其中.若恒有，则称函数V为常正的，若对一切，都有，则称函数V为定正的，若为常正（或定正）的，则称函数V为常负（或定负）。定理3. 对于自治系统 （1.2）其中且在区域内连续可微。（a）若存在定正函数，其通过方程组（1.1）的导数为常负函数，则方程组（1.1）的零解是稳定的。（b）若存在定正函数，其通过方程组（1.1）的导数为定负函数，则方程组（1.1）

13、的零解是渐近稳定的。（c）若存在定正函数，其通过方程组（1.1）的导数为定正函数，则方程组（1.1）的零解是不稳定的。二、单种群生物数学模型的稳定性分析（一）Malthus人口模型1.背景长期以来，人类的繁殖一直是自发的进行着，然而随着科学技术和生产力的飞速发展，人口数量迅速膨胀，环境质量也急剧恶化，人类才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。这时候，著名的英国社会学家神父Malthus根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口增长模型，使种群增长模型得了到社会的普遍关注。 2.模型的建立记t的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口

14、时，是一个很大的整数。为了利用微积分这个数学工具，将视为连续，可微函数，记初始时刻（t=0）的人口为。假设人口增长率为常数,考察时段人口总量的变化，有令得到的微分方程 （2.1）3.模型的求解对方程 分离变量得 （2.2）对方程（2.2）两边积分，得 （2.3）对方程（2.3）两边取指数函数，并带入初始条件，方程（2.1）的解为由方程的解可知人口按指数规律增长。当时有 （2.4）由(2.4）可以看出，无论r多小，只要人口的增长率大于零，其数量最终都将会趋于正无穷。然而任何地区的人口都不是无限增长的，对于种群来说也是如此，由于环境是有限的，大多数种群的指数增长都是短时间的，一般都是发生在早期阶段

15、，密度较低，资源丰富的情况下，而随着密度的增大，资源的缺乏，代谢产物积累等势必会影响到种群的增长率，使其降低。这些都说明了模型是有缺陷的，不能很好的刻画种群长时间增长规律，因此有必要对模型进行改进。为了形象说明这种情况，在这里取=100（万），利用matlab进行编程画图得图一由图一可知一百年后总人口高达（万），这是不符合实际的，因此，有必要对模型进行改进。4.模型的稳定性分析由方程（2.4）以及图一都可以知道，当时，系统（2.1）的零解是不稳定的。（二）阻滞logistic增长模型1.背景Malthus人口模型在种群短时间内能有效的反映群体的增长规律，但随着时间的推移就不符合实际了。它有一个

16、明显的缺陷就是不能反映环境条件、自然资源等因素对种群自然增长率的影响，以及各生物成员之间为了争夺有限的生活空间和食物所进行的竞争，这些影响随着种群总数的增长更加明显，并对种群的增长起到阻滞的作用。考虑这些因素，1938年比利时学者P.F.Verhulst首先提出了阻滞logistic增长模型，成为描述生物种群在有限的空间和资源稀缺的条件下成长的经典模型。 2.模型的建立设在考察的自然条件下，种群可能达到最大总数（环境容纳量），当时，种群是零增长；设开始时种群的自然增长率为，增长率随密度上升而降低的变化是按比例的。最简单的是每增长一个个体，就产生的抑制影响，每个个体利用了的“空间”，而种群继续增

17、长的“剩余空间”只有（）。于是模型改进为 （2.5）3.模型的求解对方程（2.5）分离变量，得 （2.6）对（2.6）两边积分，得 （2.7）对方程（2.7）两边取指数函数，并带入初始条件，方程（2.5）的解为 （2.8） 由（2.8）式知 （）为了研究的图形，对（2.5）进行求导，得由0,即随时间的增加而增加。当时，0, 单调增加，知增加的速率越来越大。即曲线是凹的。当时，0, 单调减少，知增加的速率越来越慢。即曲线是凸的。由以上分析知的图像是S型，且是一个拐点，由拐点的数学意义，可知此时种群的增长达到最佳状态。为了刻画这种情况，取，用matlab编程画图如下：图二由图二知，图形是S型，且是

18、拐点，时间的增长，种群的总数不断的接近环境容纳量100，可知我们数值模拟的结果与结论十分吻合。阻滞增长模型与Malthus人口模型相比有了很大的改进，它是许多两种相互作用增长模型的基础，也是农业、林业、渔业等实践领域中，研究最大的持续产量的主要模型。但是该模型还是有缺陷的，因为模型中每个个体的生育率都是一样的，没有考虑生育率的时滞性和不同年龄段的生育率的变化。自然增长率和环境容纳量等很多有关因素的难以确定，也给这个模型的应用带来了困难。4.模型的稳定性分析令(2.5)式右端等于零，得系统(2.5)两个平衡点 和 对于，取正定的Lyapunov函数其沿着模型（2.5）的解有所以是不稳定的。对于，

19、也取正定的Lyapunov函数其沿着模型（2.5）的解有故是全局稳定的。综上所述平衡点是不稳定的，是稳定的。由图二同样可以知道平衡点是不稳定的，平衡点是稳定的。三、两个种群生物数学模型的改进和稳定性分析 （一）两种群竞争模型1.背景在生态环境中有许多的物种，每一个物种的生物数量的变化不仅受到本物种自限规律的制约，也受到其他物种的影响，很多物种为了争夺赖以生存的同一资源和生存空间而相互竞争，从而出现了竞争能力较弱的物种灭绝，竞争力较强的物种的数量不断增长，甚至可以达到环境容纳量，优胜劣汰已经成为自然界一个很普遍的规律。所以研究两个种群之间在竞争的情况下种群的变化情况是很有实际意义的。2.模型的建

20、立设时刻两物种群体的总数分别为和，种群1的自然增长率为，种群2的自然增长率为，和分别为种群1和种群2环境容纳量，因为两个种群是相互制约的关系，若每个种群2的生物个体消耗的资源相当于种群1每个生物个体消耗资源的陪，则种群1总体的增长率为；同理，若每个种群1的生物个体消耗的资源相当于种群2每个生物个体消耗资源的陪，则种群1总体的增长率为。综上所述，得出两种群的竞争数学模型 (3.1)设,方程（3.1）可化为 （3.2）其中，都是正常数，反映种群受食物、环境等因素影响的密度制约；和是两种群间有效的竞争系数。3.模型的仿真SIMULINK是MATLAB一起发行的用于对非线性系统进行仿真的交互软件系统。

21、它是实现动态系统建模与仿真的一个集成工作环境。作为MATLAB的重要组成部分，SIMULINK使MATLAB功能进一步扩展。SIMULINK具有相对独立的功能和使用方法简便，提供友好的图形界面，模型由模块组成的框图表示，实现了可视化建模，使系统化建模变得非常简单，仿真过程是交互的，参数可以随意的配置并迅速得到修正后的仿真结果，仿真结果能进行可视化。基于SIMKLINK仿真这些优点，所以运用SIMULINK对系统（3.2）进行仿真。令，此时系统（2.2）为 （3.3）利用SIMULINK建立以（3.3）微分方程为基础的仿真模型如图三，从模块scope得到仿真图如图四。图三图四从图四知道，随着时间

22、的增加，两个种群都会趋于灭绝，从方程（3.2）我们同样知道是方程组的解，这说明两种群最终都会灭绝。而自然界中两个相互竞争的种群一般不会都灭绝，自然界中常见的情况是，竞争力弱的种群趋于灭亡，而竞争能力强的种群，种群的生物量不断增加，最终会趋于该种群的环境容纳量。显然模型（3.2）也不太贴近实际，仍需要对其进行改进。（二）改进的两种群竞争模型1.模型的建立从模型（3.2）分析中，我们发现该模型是有缺陷的，需要对它进行改进。为了改进模型的这个缺点，使模型更贴近实际，分别对种群1和种群2的总体的增长率加上修正因子和 ，且和不全为零，以保证两个种群不会都灭绝，其模型如下： （3.4）2.模型的平衡点分析

23、微分方程组（3.4）难以求得解析解，但是我们主要关心的是经过较长时间后两个种群的发展的趋势，所以我们只对方程组（3.4）的平衡点的稳定性进行分析。模型（3.4）相对应的自治系统为 （3.5）方程组（3.5）是一个二元二次方程组，我们关心的是此方程组在什么条件下会有实数解，即系统（3.5）有平衡点对（3.5）第一个方程变形得 (3.6)将（3.6）带入（3.4）第二个方程，并化简得 （3.7）因为都是正常数，故，方程组（3.5）有解的问题就转化为一元四次方程（3.7）实数解存在的问题。2.1一元四次方程实根的判别方法此时一元四次方程（3.7）可一般化为 （3.8）为了消去，令，代入（3.8），化

24、简得 （3.9）其中。对（3.9）配方得 （3.10）设， , , ，则（3.10）可化为 （3.11）上式是以圆心为，半径为的圆的方程。由方程（3.10）可知A. 当即，则方程（3.8）必无实根。B. 当即，这时一元四次方程（3.8）解的个数就转化为圆（3.11）与抛物线交点的个数。下面分两种情况讨论交点的个数：当时，设抛物线上点到点的距离最短，根据直线与点切线相互垂直，有 （3.12）解方程（3.12）得 （复根舍去） 那么点到点的距离为由抛物线与圆的图像特点有以下结论：a. 当时，抛物线与圆在坐标平面的右半平面没有交点，方程（3.8）没有实数解。b. 当时，抛物线与圆在坐标平面的右半平面

25、有一个交点，方程（3.8）有一个实数解。c. 当时，抛物线与圆在坐标平面的右半平面有两个交点，方程（3.8）有两个实数解。当时，讨论的方法一样，在这里就不论述了。 3.一类改进的两个种群相互竞争的数学模型 3.1 模型的建立以及稳定性分析为了方便研究，我们考虑特殊情况下的平衡点的稳定性，即考虑种群1和种群2受食物、环境等因素影响的密度制约强度相同即，两个种群的增长率相同即，两个种群间有效的竞争系数是相同的即，并假定。系统（3.4）可变为 （3.13）模型（3.13）相对应的自治系统为 （3.14）解方程组（3.14）所得的平衡点为和而对于平衡点，显然，不符合实际，不考虑它的稳定性，只考虑平衡点

26、的稳定性。对，做平移变换代入（3.13）得对上式取线性近似系统 （3.15）系统（3.15）的特征方程为显然特征方程的两个解分别为 所以当时，平衡点不稳定所以当时，平衡点稳定由以上分析可知，当时，种群1将最终稳定于其环境容纳量，种群2最终会灭绝。 3.2 模型的仿真令，此时系统（3.13）为代入数据，有平衡点， 那么有 ，故平衡点是稳定的。利用SIMULINK建立以上微分方程的仿真模型如图五，从模块scope得到仿真结果如图六。图五图六由图六知，随着时间的增加，种群1的数量无限的接近10，而种群2会趋于灭绝，从中也可以知道平衡点是稳定的，可知我们SIMULINK仿真的结果与结论是十分吻合的。4

27、.另一类改进的两个种群相互竞争的数学模型4.1 模型的建立以及稳定性分析系统（3.8）考虑的是特殊情况，而在自然界中两个种群相互竞争的关系是多种多样的，下面我们来讨论更一般的情况。常见的是种群1和种群2受食物、环境等因素影响的密度制约强度近似相同即，在竞争中占优势的种群增长率会偏大，并且有效的竞争系数也会偏大，设种群1的增长率为和有效竞争系数是，若种群1在竞争中占优势，那么种群2的增长率和有效竞争系数会比种群1的偏低，故设种群2的增长率为和有效竞争系数是，其中.种群1在竞争中占优势，在环境相对稳定的条件下，不会灭绝，所以在种群1总体增长率加上一个修正因子，系统（3.4）可变为 （3.16）模型

28、（3.16）相对应的自治系统为 （3.17）解方程组（3.16）所得的平衡点为和而对于平衡点，显然，不符合实际，不考虑它的稳定性，只考虑平衡点的稳定性，对，做平移变换 （3.18）代入（3.16）得 （3.19）对上式取线性近似系统 （3.20）系统（3.20）的特征方程为 （3.21）显然特征方程的两个解分别为 所以当时，平衡点不稳定；所以当时，平衡点稳定。由以上分析可知，当时，种群1将最终稳定于其环境容纳量，种群2最终会灭绝。 令，此时系统（3.16）为 代入数据有，平衡点， 那么，故平衡点是稳定的。 4.2 模型的仿真 利用SIMULINK建立以上微分方程的仿真模型如图七，从模块scop

29、e得到仿真结果如图八图七图八由图八知，随着时间的推移，种群1群体数无限的接近10，而种群2会趋于灭绝，从图中可以知道平衡点是稳定的。综上所述，可知我们SIMULINK仿真的结果与结论是十分吻合的，从仿真的结果可以看出改进的两种群竞争模型更加符合实际，更具有现实意义。参考文献1肖燕妮，唐三一.单种群生物动力系统M.北京：科学出版社的.2008，37-402姜启源等.数学模型.北京：高等教育出版社M.2003，12-153毛凯，李日华.种群竞争模型的稳定性分析J.生物数学报。1999，14（3）.288-2914孙多如.山东大学.生物种群的数学模型D.2007，2-5 5王高雄等.常微分方程M.北京：高等教育出版社.1978，256-2636张伟年等.常微分方程M. 北京：高等教育出版社.2004，165-1747马利兵，林都.基于MATLAB的常微分方程仿真探索J.机械管理开发期刊.2006，第1期.110-1128颜尔达.用图像法求一元三次、四次方程的实数根J.自然科学报.1996，第1期.56-579蒋长安，孙广才.生物种群增长模型的研究J.陕西工学院报.2003，19（4）.42-4310栋祚蕃.关于一元系数四次方程根的分布特征J. 自然科学报.1996，3（1）.11-13