基于MATLAB的电力系统潮流计算毕业论文.doc

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1、1 引言1.1 本课题的目的和意义电力系统潮流计算是对复杂电力系统正常和故障条件下稳态运行状态的计算。其目的是求取电力系统在给定运行方式下的节点电压和功率分布，用以检查系统各元件是否过负荷、各点电压是否满足要求、功率分布和分配是否合理以及功率损耗等，是电力系统计算分析中的一种最基本的计算1。潮流计算是电力系统的各种计算的基础，同时它又是研究电力系统的一项重要分析功能，是进行故障计算，继电保护鉴定，安全分析的工具。电力系统潮流计算是计算系统动态稳定和静态稳定的基础。在电力系统规划设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用电力系统潮流计算来定量的比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性1

2、。对于正在规划的电力系统，通过潮流计算，可以为选择电网供电方案和电气设备提供依据。潮流计算还可以为继电保护和自动装置整定计算、电力系统故障计算和稳定计算等提供原始数据。潮流计算的目的在于:确定是电力系统的运行方式；检查系统中的各元件是否过压或过载；为电力系统继电保护的整定提供依据；为电力系统的稳定计算提供初值，为电力系统规划和经济运行提供分析的基础。因此，电力系统潮流计算是电力系统中一项最基本的计算，既具有一定的独立性，又是研究其他问题的基础1。1.2 国内外发展现状利用电子计算机进行潮流计算从20世纪50年代中期就已经开始。此后，潮流计算曾采用了各种不同的方法，这些方法的发展主要是围绕着对潮

3、流计算的一些基本要求进行的。对潮流计算的要求可以归纳为下面几点： （1）算法的可靠性或收敛性 （2）计算速度和内存占用量 （3）计算的方便性和灵活性 电力系统潮流计算属于稳态分析范畴，不涉及系统元件的动态特性和过渡过程。因此其数学模型不包含微分方程，是一组高阶非线性方程。非线性代数方程组的解法离不开迭代，因此，潮流计算方法首先要求它是能可靠的收敛，并给出正确答案。随着电力系统规模的不断扩大，潮流问题的方程式阶数越来越高，目前已达到几千阶甚至上万阶，对这样规模的方程式并不是采用任何数学方法都能保证给出正确答案的。这种情况促使电力系统的研究人员不断寻求新的更可靠的计算方法2。 1.2.1 高斯-赛

4、德尔迭代法在用数字计算机求解电力系统潮流问题的开始阶段，人们普遍采用以节点导纳矩阵为基础的高斯-赛德尔迭代法（一下简称导纳法）。这个方法的原理比较简单，要求的数字计算机的内存量也比较小，适应当时的电子数字计算机制作水平和电力系统理论水平，于是电力系统计算人员转向以阻抗矩阵为主的逐次代入法（以下简称阻抗法）。 20世纪60年代初，数字计算机已经发展到第二代，计算机的内存和计算速度发生了很大的飞跃，从而为阻抗法的采用创造了条件。阻抗矩阵是满矩阵，阻抗法要求计算机储存表征系统接线和参数的阻抗矩阵。这就需要较大的内存量。而且阻抗法每迭代一次都要求顺次取阻抗矩阵中的每一个元素进行计算，因此，每次迭代的计

5、算量很大3。 阻抗法改善了电力系统潮流计算问题的收敛性，解决了导纳法无法解决的一些系统的潮流计算，在当时获得了广泛的应用，曾为我国电力系统设计、运行和研究作出了很大的贡献。但是，阻抗法的主要缺点就是占用计算机的内存很大，每次迭代的计算量很大。当系统不断扩大时，这些缺点就更加突出。为了克服阻抗法在内存和速度方面的缺点，后来发展了以阻抗矩阵为基础的分块阻抗法。这个方法把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内只需存储各个地区系统的阻抗矩阵及它们之间的联络线的阻抗，这样不仅大幅度的节省了内存容量，同时也提高了计算速度4。1.2.2 牛顿-拉夫逊法和P-Q分解法克服阻抗法缺点的另一途径是采用牛顿-

6、拉夫逊法（以下简称牛拉法）。牛拉法是数学中求解非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。解决电力系统潮流计算问题是以导纳矩阵为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿潮流程序的计算效率。自从20世纪60年代中期采用了最佳顺序消去法以后，牛拉法在收敛性、内存要求、计算速度方面都超过了阻抗法，成为直到目前仍被广泛采用的方法。 在牛拉法的基础上，根据电力系统的特点，抓住主要矛盾，对纯数学的牛拉法进行了改造，得到了P-Q分解法。P-Q分解法在计算速度方面有显著的提高，迅速得到了推广5。 牛拉法的特点是将非线性方程线性化。20世纪70年代后期，有人提出采用更精确的

7、模型，即将泰勒级数的高阶项也包括进来，希望以此提高算法的性能，这便产生了保留非线性的潮流算法。另外，为了解决病态潮流计算，出现了将潮流计算表示为一个无约束非线性规划问题的模型，即非线性规划潮流算法6。 近20多年来，潮流算法的研究仍然非常活跃，但是大多数研究都是围绕改进牛拉法和P-Q分解法进行的。此外，随着人工智能理论的发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法也逐渐被引入潮流计算。但是，到目前为止这些新的模型和算法还不能取代牛拉法和P-Q分解法的地位。由于电力系统规模的不断扩大，对计算速度的要求不断提高，计算机的并行计算技术也将在潮流计算中得到广泛的应用，成为重要的研究领域7。通过几十年的发展，

8、潮流算法日趋成熟。近几年，对潮流算法的研究仍然是如何改善传统的潮流算法，即高斯-塞德尔法、牛拉法和快速解耦法。牛拉法，由于其在求解非线性潮流方程时采用的是逐次线性化的方法，为了进一步提高算法的收敛性和计算速度，人们考虑采用将泰勒级数的高阶项或非线性项也考虑进来，于是产生了二阶潮流算法。后来又提出了根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程的特点，提出了采用直角坐标的保留非线性快速潮流算法8。1.2.3 基于MATLAB 的电力系统潮流计算发展前景MATLAB 自1980 年问世以来，以其学习简单、使用方便以及其它高级语言所无可比拟的强大的矩阵处理功能越来越受到世人的关注。目前，它已成为国际控

9、制界最流行、使用最广泛的语言了。它的强大的矩阵处理功能给电力系统的分析、计算带来许多方便。在处理潮流计算时，其计算机软件的速度已无法满足大电网模拟和实时控制的仿真要求，而高效的潮流问题相关软件的研究已成为大规模电力系统仿真计算的关键。随着计算机技术的不断发展和成熟,对MATLAB 潮流计算的研究为快速、详细地解决大电网的计算问题开辟了新思路。MATLAB 语言允许用户以数学形式的语言编写程序, 其比BASIC 语言和FORTRAN 等更为接近书写的数学表达格式, 且程序易于调试。在计算要求相同的情况下, 使用MATLAB 编程, 工作量将会大为减少9。基于MATLAB 的电力系统潮流计算使计算

10、机在计算、分析、研究复杂的电力系统潮流分布问题上又前进了一步。矩阵输入、输出格式简单, 与数学书写格式相似; 以双精度类型进行数据的存储和运算, 数据精确度高，能进行潮流计算中的各种矩阵运算, 包括求逆、求积和矩阵L R 分解等, 其程序的编写也因MATLAB 提供了许多功能函数而变得简单易行。另外, MATLAB稀疏矩阵技术的引入, 使电力系统潮流计算由传统方法转变为优化算法成为可能10。2 简单电力系统潮流计算的手工方法2.1 简单辐射网络的潮流计算大约半个多世纪以前，数字计算机还没有出现的时候，潮流计算都是采用手工的计算方法。虽然潮流计算的本质是解电力系统的节点功率方程，然而手工的计算方

11、法是不可能用解上述节点功率方程的方法来进行潮流计算的。手工潮流计算是根据一个简单支路的电压和功率传输关系，将较为复杂的电力系统分解为若干个简单支路来进行潮流计算的。因此任何复杂的潮流计算都是从一个简单支路的潮流分布和电压降落的计算开始的。2.1.1 简单支路的潮流分布和电压降落如图1所示的简单支路，节点1和2之间的阻抗为已知；两端的电压分别为和，从节点1注入该支路的复功率为，从节点2流出的功率为，阻抗消耗的功率为。根据电路理论，、和、这四个变量，任何两个变量已知都可以求出另外两个变量。图2.1简单支路示意图（1）已知一侧的电压和功率求另一侧的电压和功率假设已知节点2的电压和流出的功率，可知道流

12、过该支路的电流为： 式（2.1）如果以作为参考相量，阻抗Z引起的电压降落和功率损耗分别为： 式（2.2） 式（2.3）因此另一端节点1的电压为： 式（2.4）流过节点1的复功率为： 式（2.5）两端电压的关系还可以从如图2所示的相量图中得到（以为参考相量），为末端电压和电流的夹角，称为功率因数角。从相量图中，不难得到阻抗Z引起的电压降落的横分量和纵分量分别为： 式（2.6）可得到首端的电压幅值和相角分别为： 式（2.7） 式（2.8）jdjjj如果已知首端（节点1）的电压和功率，求末端的电压和功率，其基本原理同上，读者可以自行推导分析。图 2.2 两端电压相量示意图（2）已知一端的电压和流过另

13、一端的复功率假如已知首端电压和末端的功率，要求首端的功率和末端的电压，我们可以利用两端电压的关系以及两端功率的关系列出如下方程组（以为参考相量）： 式（2.9） 式（2.10）直接求解上面这个相量方程组是很麻烦的，可以通过迭代法来求解：先给定一个末端电压的初值，这个初值可以设定为该节点的平均额定电压，然后将之代入2.9，得到，然后再利用根据2.10得到，重复上面的过程，直到误差满足要求为止。由于潮流计算通常是在电力系统的稳态运行条件下，此时节点电压与平均额定电压差别不大，因此，在手工近似计算中，将上述的迭代过程只进行一次。即先设定未知的电压为平均额定电压，利用2.3式，根据末端的功率计算支路的

14、功率损耗，然后利用2.5式计算出首端的功率，再利用首端的功率和首端的电压计算系统的电压损耗，最后计算出末端的电压。2.1.2 辐射型网络的手工潮流计算方法所谓辐射型网络就是单电源供电的非环形网络，系统中所有的负荷都由一个电源供电，辐射型网络是由若干个简单支路树枝状串级联接而成的。对于辐射型网络中的接地支路可以做如下处理：（1）将对电力系统中的接地支路等效为该支路消耗的功率，对地支路的电压用额定电压来替代，例如，对地支路的导纳为，那么这个对地支路的消耗的功率；（2）将同一节点消耗的功率进行合并。通过这样处理，辐射型网络就化减为若干简单支路的级联，可以利用简单支路的潮流和电压计算方法逐级进行潮流计

15、算。辐射型网络的手工潮流计算一般从系统末端开始，因为通常辐射型网络的末端的负荷为已知，首先计算潮流的近似分布，然后再从电源端开始根据潮流分布计算出各个节点的电压。因此，辐射型网络的手动潮流估算仅包含三步：第一步，根据电力系统各个元件的电机参数，建立电力系统的等值计算电路；然后将对地支路等效为支路消耗的功率，并将各个节点消耗的功率进行合并。第二步，首先将系统中各个节点的未知电压设为系统平均额定电压，然后从辐射型网络的末端开始，依次计算各个支路的功率损耗，最后得到潮流在辐射型网络中的近似分布。第三步，根据估算出的潮流分布，从电源端开始，根据前面简单支路的电压计算公式依次计算各个节点的电压。通过一个

16、实例来说明潮流计算的过程，如图3所示的辐射型单电源的简单电力系统，已知节点1（发电机节点）的电压和各个节点的负荷、，求该系统的功率和电压的分布。图 2.3 单电源辐射型电力系统已知电力系统的各个元件的参数如下所示：变压器T1：额定容量，额定变比，空载损耗，空载电流百分数，短路损耗，短路电压百分数；输电线路L：每公里长的正序阻抗，每公里长的对地电纳，线路长度；变压器T2：额定容量，额定变比，空载损耗，空载电流百分数，短路损耗，短路电压百分数。第一步作出等效电路及其参数：首先做电力系统的等值电路，根据上述各个元件的参数，我们可以得到各个元件的等效电路及其电路参数，等效电路如图2.4所示。在计算等值

17、电路中各个元件参数之前，先选择功率和电压的基准值，。变压器T1（根据等值电路，变压器参数都归算到高压侧）：； ； 式（2.11）输电线路：； 式（2.12）变压器T2（根据等值电路，变压器参数都归算到高压侧）：； 式（2.13）图 2.4 等值电路I第二步，将对地支路简化为对地功率损耗：如果电压基准值的选取与变压器的实际变比相匹配，那么，如果不匹配，则需要将变压器的变比的标么值等效到电路中，把变压器的阻抗支路，变为PI型等效电路。为了说明问题，我们假设电压基准值选取与变压器实际变比匹配，或者忽略非标准变比的影响。对地支路假设为对地损耗功率，其对地支路的损耗用该点的额定电压来计算，等效电路变为如

18、图2.5所示。图 2.5 等值电路II其中：；第三步，节点功率合并：然后，将1、2、3、4各个节点上的所有功率合并，如图2.6所示：图 2.6 等值电路III其中：； ； 。第四步，从末端开始，根据末端功率计算功率分布：先用各个节点的额定电压以及流出支路的功率来计算各个支路损耗以及功率分布：；这样，就求得了功率的分布和节点1的注入功率。第五步，从首端开始，根据首端电压计算电压损耗和各个节点的电压：；2.2 简单环形网络的潮流计算环形网可以等效成两端供电网，两端供电网也可以等效成环形网。2.2.1两端电压相等如图下图所示、可将（a）图等效成（b）图。S2Z12Z13Z13S3SaSb(a)SaS

19、2S3SbZ12Z23Z31123 （b）1U1U1= U1图2.7简单环形网等效两端供电网（a）环形网（b）两端供电网12 3 式(2.14) 2.2.2两端电压不相等两端电压不相等的网络，可以等效成回路电压不为零的单一环网。Z34S2S3Z12SaUduZ23ScU1U4(b)SaS2S3Z12Z23Z311234U1U4U1 (a)图2.8两端电压不等的网与环网等值(a)两端供电网(b)环形网 式(2.15)其中 式（2.16）称为循环功率。对环形网的潮流分布，首先求出、，然后求各支路上的流动功率，即初步的潮流分布，没有计及网络各段的电压降落、功率损耗。初步潮流分布的目的，在于找出功率分

20、点，以便在功率分点把闭环网打开成两个辐射网。然后，以功率分点为末端，对这两个辐射网分别用逐段推算法进行潮流分布计算。从中要计及各段的电压降落和功率损耗，所运用的公式与计算辐射网时完全相同。在两端供电网中，当两端电压相量不等，不论是模值还是相位不等都将产生循环功率。在环网中，循环功率是由于环网中有多台变压器，而变压器的变比不匹配引起的。所谓变比不匹配则是指环网中有两台及以上变压器时，由于变压器变比的不同使得网络空载且开环时开口两侧有电压差，即开口两侧感应电势不同，因而闭环后，即使空载也有环路电流，产生循环功率。应该特别注意正确地确定环网中循环功率的方向。循环功率的正方向取决于电压降落的正方向。环

21、网和两端供电网中的循环功率可改变网络中功率的分布。2.3 手工计算算例2.3.1 网络结构图10kV配电网络的电网结构如图所示。已知各节点的负荷功率及线路参数如下：Z12=1.2+j2.4，Z23 =1.0+j2.0，Z24=1.5+j3.0。S2=0.3+j0.2MVA， S3=0.5+j0.3MVA，S4=0.2+j0.15MVA。设母线1的电压为10.5kV，线路始端功率容许误差为0.3%。图2.9 10kv配电网络2.3.2计算各支路的功率损耗和功率分布。假设各节点电压均为额定电压，功率损耗计算的支路顺序为3-2、4-2、2-1，第一轮计算依上列支路顺序计算各支路的功率损耗和功率分布。

22、则 MVAMVAMVA又 MVA2.2.3求出线路各点电压，计算中忽略电压降落横分量。第二步用已知的线路始端电压U1=10.5kV及上述求得的线路始端功率S12，按上列相反的顺序求出线路各点电压，计算中忽略电压降落横分量。 2.2.4根据上述求得的线路各点电压，重新计算各线路的功率损耗和线路始端功率 故 MVA 则 MVA又 从而可得线路始端功率 经过两轮迭代计算，结果与第一步所得的计算结果比较相差小于0.3%，计算到此结束。最后一次迭代结果可作为最终计算结果。3 复杂电力系统潮流计算的计算机方法3.1 潮流计算的计算机算法简介潮流计算的计算机算法是以电网络理论为基础的，应用数值计算方法求解一

23、组描述电力系统稳态特性的方程。从数学上讲是一组多元的非线性方程式的求解问题，这类方程的求解过程都离不开迭代。由于电力系统结构及参数的一些特点，同时随着电力系统不断扩大，潮流问题的方程式的阶数也越来越高，这样的非线性方程式并不是任何数学方法都能保证给出正确答案的。这种情况就成为促使电力系统计算人员不断寻求新的且更可靠方法的一个重要因素。电网潮流计算的性能优劣一般依据的是能否可靠收敛，计算速度的快慢，内存占有多少，使用是否方便灵活，调整和修改是否容易，是否满足工程需要等来判别，其中以是否可靠收敛作为评价的主要标准。常用的分析法包括高斯-塞德尔法、牛顿-拉夫逊潮流算法、快速解耦算法（PQ 分解法）等

24、。3.2 潮流计算的约束条件电力系统运行必须满足一定技术和经济上的要求。这些要求够成了潮流问题中某些变量的约束条件，常用的约束条件如下：3.2.1节点电压应满足: 式（3.1）从保证电能质量和供电安全的要求来看，电力系统的所有电气设备都必须运行在额定电压附近。PU节点电压幅值必须按上述条件给定。因此，这一约束条件对PQ节点而言。3.2.2节点的有功功率和无功功率应满足： 式（3.2）PQ节点的有功功率和无功功率，以及PU节点的有功功率，在给定是就必须满足上述条件，因此，对平衡节点的P和Q以及PU节点的Q应按上述条件进行检验。3.2.3节点之间电压的相位差应满足： 式（3.3）为了保证系统运行的

25、稳定性，要求某些输电线路两端的电压相位不超过一定的数值。这一约束的主要意义就在于此。 因此，潮流计算可以归结为求解一组非线性方程组，并使其解答满足一定的约束条件。在计算过程中，或得出结果之后用约束条件进行检验。如果不能满足要求，则应修改某些变量的给定值，甚至修改系统的运行方式，重新进行计算。3.3 节点导纳矩阵的形成与修改3.3.1 节点电压方程 （1）自、互导纳的物理意义自导纳在数值上等于与该节点I直接连接的所有支路导纳的总和。如。互导纳在数值上等于连接节点、支路导纳的负值，即。如。（2）节点导纳矩阵YB为对称方阵。（3）节点导纳矩阵YB为稀疏矩阵。（4）节点导纳矩阵具有对角优势。3.3.2

26、 节点导纳矩阵的形成 用直接形成法形成节点导纳矩阵YB。节点导纳矩阵即可根据自导纳和互导纳的定义直接形成，也可用支路节点关联矩阵计算。 3.3.3 节点导纳矩阵的修改（1）从原有网络引出一支路，同时增加一节点，节点导纳矩阵将增加一阶。新增的对角元，；新增的非对角元，；原有矩阵中的对角元将增加 ，。（2）在原有网络的节点、之间增加一支路。 ，（3）在原有网络的节点，之间切除一支路，（4）原有网络的节点、之间的导纳由改变为：，（5）原有网络节点i、j之间变压器的变比由改变为 ；3.4 高斯-赛德尔法3.4.1 高斯-赛德尔迭代法的基本原理为了方便理解这个n维方程组的叠代求解方法，先从一元非线性方程

27、的求解开始。假设有一维方程，高斯法的基本原理是，先将方程转化为： 那么给定一个初值，代入就可以得到一个新值，第k次叠代的值为： 一直叠代到误差满足要求为止，即 其中为事先设定的允许误差。其计算流程如图3.1所示。图3.1 高斯迭代法的计算流程这个解方程的方法称为高斯叠代法。这个叠代求解的过程可以这样来理解：的解可以认为是两个曲线和的交点的横坐标，首先给定一个初值，与斜线的交点的横坐标即为叠代后的新解，与斜线的交点的横坐标即为叠代后的新解，如此围绕交点往复循环，不断地逼近方程的解，如图所示。图3.2 高斯迭代法的几何解释高斯迭代法可以推广到n维非线性代数方程组，假设n为方程组为： 首先将方程组转

28、化为： 给定一组初始值，带入上式，得到一组新值，不断叠代，循环往复，第k次叠代为： 其中第j个方程为 直到叠代前后的解的最大误差不超过允许的误差为止，即 为了提高高斯叠代法的收敛速度，赛德尔提出将已经叠代出的新值代替旧值参与叠代计算，如在第k次叠代中，第j个方程为 第1至j-1个元素已经叠代出k+1次的值，因此代替第k次的值参与第j个元素的叠代，就可以提高收敛速度。3.4.2 高斯-赛德尔迭代法的计算步骤电力系统潮流计算需要求解节点功率方程，其中第m(m=1,2,n)个节点功率方程为 如上式变换为的形式，可以得到如下的方程： 根据高斯赛德尔迭代法，首先给定电压相量的初值，对于PQ节点，不仅需要

29、给定电压幅值的初值，还要给出相角的初值（设为零）。假如第m号节点为PQ节点，第k次叠代公式为（第m个节点以前的节点第k次叠代已经完毕，因此用k+1次的值取代k次的值，而在第m个节点以后的节点尚未进行第k次叠代）： 对于PV节点，给定的初值的电压幅值为给定的电压，相角初值设为零。可是对于PV节点来说，注入该节点的无功功率未知，因此第k次叠代时，首先按照下式计算注入PV节点（假设第m个节点是PV节点）的无功功率： 如果在叠代计算过程中，任意节点的电压和无功功率必须满足不等约束条件：如果在叠代过程中，PQ节点的电压幅值超出允许的范围，则该节点的电压幅值就固定为允许电压的上限（如果超出上限）或下限（如

30、果越过下限），PQ节点就变为PV节点继续进行叠代。同样，对于PV节点来说，如果在叠代过程中，无功功率Q超出了允许的范围，则PV节点就变为PQ节点继续参与叠代。高斯赛德尔叠代法的计算过程如下：（1）第一步：设置初始值，对于PQ节点，由于其电压相量的幅值和相角都未知，因此初始的电压相量的幅值可以设定为各个点的额定电压，相角选择为零；对于PV节点，由于其电压相量的幅值已知，因此幅值用已知的设定电压，初始相角设定为零。（2）第二步：对于PQ节点，直接将设定的初始值代入，求得下一次迭代的电压值，然后判断是否电压越限，如果越限，则用其限值（越过上限用上限值，越过下限则用下限值），该节点在下一次迭代过程中转

31、化为PV节点；对于PV节点，则首先求出注入的无功功率，然后校验无功功率是否越限，如果越限则采用上限值或者下限值，下一次迭代时该节点转化为PQ节点，将求得的注入无功功率和已知的有功功率代入求解下一次迭代的电压相量值。（3）第三步：判断误差是否满足要求，用第k次迭代的结果和k-1次迭代的结果进行比较，如果其最大的误差满足事先设定的误差要求，则输出计算结果，如果不满足要求，则返回第二步继续迭代。其计算流程图如图所示。图3.3 高斯赛德尔迭代法计算流程图3.5 牛顿-拉夫逊法（直角坐标）3.5.1概述1. 牛顿-拉夫逊法的意义和推导过程把按泰勒级数在点展开 式（3.4）修正方程 2牛顿拉夫逊法的特点(

32、1)牛顿-拉夫逊法是迭代法，逐渐逼近的方法；(2)修正方程是线性化方程，它的线性化过程体现在把非线性方程在按泰勒级数展开，并略去高阶小量；(3)用牛顿拉夫逊法解题时，其初始值要求严格(较接近真解)，否则迭代不收敛。3多变量非线性方程的解牛顿-拉夫逊法的修正方程 缩写为 式（3.5）3.5.2潮流计算时的修正方程（直角坐标）PQ节点 式（3.6）PV节点 式（3.7）平衡节点平衡节点只设一个,电压为已知,不参见迭代,其电压为 式（3.8）修正方程 式（3.9） 式（3.10） 式（3.11）3.5.3雅可比矩阵各元素当时, 雅可比矩阵中非对角元素为 式（3.12）当时,雅可比矩阵中对角元素为 式

33、（3.13）3.5.4雅可比矩阵的特点:1.矩阵中各元素是节点电压的函数,在迭代过程中,这些元素随着节点电压的变化而变化。2.导纳矩阵中的某些非对角元素为零时,雅可比矩阵中对应的元素也是为零.若,则必有。3.雅可比矩阵不是对称矩阵;。3.5.5直角坐标形式的牛顿-拉夫逊法计算步骤图3.4 牛顿-拉夫逊法计算步骤3.6 P-Q分解法潮流计算通过上面的分析和论述，可以发现，牛顿拉夫逊法的收敛速度很快，但计算量很大，因为每一次迭代都必须重新计算雅克比矩阵，并求解修正方程。因此，为了减少计算量，根据基于极坐标的牛顿拉夫逊法的特点，建立了PQ分解法的潮流计算方法。首先，我们来观察一下基于极坐标下的牛顿拉

34、夫逊法潮流计算过程中的电压修正方程中的雅克比矩阵的情况。根据电力系统在稳态运行时的实际情况，可知，因此，我们可以近似的认为：；这就是说，各个节点电压相角的变化主要与注入净有功功率的变化有关，各个节点电压幅值的变化主要与注入的净无功功率的变化有关：；，将这两个修正方程可以表示为： 式（3.14）上面的方程可以进一步表示为： 式（3.15）可以简单的表示为： 其中，矩阵为全系统除了平衡节点以外的节点电纳矩阵。注：和表示不是很严谨，它们仅代表由和组成的列向量。同理可得： 其中，矩阵为所有PQ节点以外的节点电纳矩阵。注：仅代表由组成的列向量。这样，我们在求解修正方程的时候，只需要提前将节点电纳矩阵和利

35、用高斯消去法变换成上（或下）三角矩阵，并记录变换过程就可以了。与牛顿拉夫逊法相比，每一步的迭代过程都大大减少了工作量。PQ 分解法的潮流计算步骤如下：（1）准备工作，形成全系统（平衡节点除外）的节点电纳矩阵，以及其子矩阵全部PQ节点的节点电纳矩阵，然后利用高斯消去法形成上（或者下）三角矩阵并记录变换过程。（2）赋初值和；将全系统的PQ节点的电压V设置为额定电压，全系统的节点的相角（平衡节点除外）设置为0。令迭代次数k=0。（3）根据设置的电压和相角值计算以及，并根据节点导纳矩阵的上/下三角矩阵求解修正方程，得到和。并根据修正值修正设定的电压初始值。（4）判断误差是否满足要求，即、。如果满足要求

36、，则输出计算结果，否则就令，转入第二步继续迭代。PQ分解法简化了每一步的迭代的计算量，每一步的迭代出的修正值与牛顿拉夫逊法的修正值相比误差要大，因此，PQ分解法虽然每一步的迭代计算量减少了，但换来的代价是增加了迭代次数。但其最终的计算精确度是不受影响的，因为计算的精度取决于最终的误差要求和，如果误差要求和牛顿拉夫逊法是一样的，那么PQ分解法最终的计算结果和牛顿拉夫逊法的计算结果的精度就是一样的。4 用MATLAB进行编程 牛顿-拉夫逊法（直角坐标）4.1 MATLAB的基本功能MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，

37、用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Stimulink 两大部分。MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。 MATLAB和Mathematica、Map

38、le并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。 MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C+，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以

39、将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。4.2 MATLAB应用在潮流计算中的优势MATLAB由一系列工具组成。这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、路径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文件的浏览器。随着MATLAB的商业化以及软件本身的不断升级，MATLAB的用户界面也越来越精致，更加接近Windows的标准界面，人机交互性更强，操作更简单。而且新版本的MATLAB提供了完整的联机查询、帮助系统，极大的方便了用户的使用。简单的编程环境提供了比较完备的调试系统，程序不必经过编译就可以直接运行，而且能够及时地报告出现的错误及进行出错原因分析。MATLAB是一个高级的矩阵/阵列语言，它包含控制语句、函数、数据结构、输入和输出和面向对象编程特点。用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步，也可以先编写好一个较大的复杂的应用程序（M文件）后再一起运行。新版本的MATLAB语言是基于最为流行的C+语言基础上的，因此语法特征与C+语言极为相似，而且更加简单，更加符合科技人员对数学表达式的书写格式。使之更利于非计算机专业的科技人员使用。而且这种语言可移植性好、可拓展性极强