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1、结构力学第4章 实体三铰拱,主要内容,1 拱结构基本概念2 三铰拱的解析法3 三铰拱的合理拱轴线4 三铰刚架的计算,4.1 基本概念,拱结构,指杆的轴线为曲线，且在竖向荷载的作用下能产生水平推力的结构。,拱与梁的区别,(1)拱的轴线为曲线，而梁一般为直线（有时也有曲线的）；,(2)拱在竖向荷载的作用下能产生水平推力，而梁不能。例如：,水平推力的存在，是拱结构区别于梁的一个重要标志。因此，通常又把拱结构称为推力结构。,工程中常见的拱结构形式有,在带拉杆的三铰拱中，拉杆的内力代替了支座的水平推力，因此，在竖向荷载的作用下支座只产生竖向反力，结构内部的受力与拱完全一样。,拱的专业术语,拱趾 拱两端支
2、座称为拱趾；拱顶 拱中间的最高点称为拱顶；,矢高 拱顶到两支座连线的竖向距离 f 称为矢高；矢跨比 矢高 f 与跨度 l 之比 f/l，称为矢跨比。矢跨比是拱的基本参数，工程中大多数为 f/l=（10.1）。,拱结构的优缺点:,优点,缺点,需比梁更坚固基础或支承结构，外形比梁复杂，施工难度较大。,(1)较为省材料，自重减轻，能跨越较大的空间；(2)由于有水平推力的存在，其各个截面上的弯矩比相应的曲梁或梁要小，因此可利用抗压性能好、抗拉性能差的材料（如砖、石、混凝土等）来建造。,4.2 三铰拱的解析法,曲梁部分在材料力学中已讲过，主要应注意截面选取应与曲梁的轴向相垂直。这里主要介绍三铰拱的有关计
3、算。三铰拱为静定拱，下面以两拱趾在同一水平线上的平拱（两拱趾不在同一水平线上方法一样）为例介绍三铰拱的反力及内力计算。,(1)支座反力的计算,如图所示三铰拱,由X=0 得,由补充方程MC=0得(考虑左半部分拱),我们来分析与之相对应的简支梁,对于简支梁易得,比较可知,由上式可知，推力等于相应简支梁截面C的弯矩 MC0 除以矢高f，在一定荷载作用下，推力只与三个铰的位置有关，而与各铰间的拱轴曲线形式无关。,由于推力与矢高 f 成反比关系，因此，拱愈低推力愈大，当 f0时，推力H。此时A、B、C三铰在同一直线上，成为瞬变体系。,(2)任一K的内力的计算,用截面法可求出拱任一截面的内力。对于任一截面
4、K取研究对象如图(b)所示。,拱的任一截面内力符号规定为：弯矩M，使拱内纤维受拉的为正；剪力FQ，对隔离体产生顺时针矩的为正（与梁相同），轴力FN，受压为正。,(3)三铰拱的内力图,有了上述任意截面的内力方程，不难画出其内力图。与梁刚架类似，在集中力作用处，FNK和FQK图将突变，在集中力偶作用处，M图将突变。由于拱轴为曲线，可采用描点法来作内力图。下面举例说明。,所有的力向FNK方向投影得,所有的力向FQK方向投影得,例1 三铰拱及受载如图示，求支反力并作内力图。,解(1)求支座反力,(2)求内力方程,AC段：,CD段：,DB段：,上述各式中,利用上述方程可以求出任一截面的内力，为了方便绘图
5、，通常列表求出有限个截面的内力数值，然后根据表中数据，采用描点法即可得到内力图（有限个截面选取时要注意，有些关键截面内力突变截面不要漏掉）。若八等分，则计算结果如下表所示。,注意：在FQ=0处，M图有极值;,在集中力作用处，FQ图和FN图均发生突变。,4.3 三铰拱的合理拱轴线,合理拱轴线,在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态时的拱轴线，称为合理拱轴线。,因此，若拱轴为合理拱轴线，根据定义，则任一截面有,这就是合理拱轴线应满足的方程。,下面举例说明如何确定合理拱轴线。,例2 对称三铰拱受载如图示，求其合理拱轴线。,解 建立如图所示坐标系,相应简支梁任一截面的弯矩方程为,代入（4-4）式即得合理
6、拱轴线为,例3 求图示对称三铰拱的合理拱轴线。其上所受的分布荷载为q=qd+.y（为填料的容重）。,解,由于荷载 q 也与拱轴的形状有关，故此时无法直接应用（4-4）式。,注意：也与拱轴形状有关，即也是x的函数，这里仅是近似处理，形状的微小改变，对水平推力的影响较小，忽略不计。,整理可得,(b)式的解可由双曲函数表示为,(b),边界条件为：,由边界条件得：,代回(d)式得,上式表明，三铰拱在填土重量的作用下，合理拱轴线为一悬链线。,例4 图示三铰拱沿拱轴的法向受均布压力，试证明合理拱轴线为圆弧线。,证明,因为q不是竖向荷载，不能直接应用（4-4）式。设拱轴的曲率半径为，取出为段ds为研究对象。
7、如图示,由X=0 得,d很小,(a),因此(a)式整理可得,(b),由Y=0得,(c),上式整理可得,由 得,(e),上式整理可得,当拱轴为合理轴线时，有M=0,由(f)式知,FQ=0；将其代回(d)式知，FN=常数；由(b)式知，=FN/q=常数。故当拱轴为合理轴线时，其曲率半径为常数。,证毕,分析：,4.4 三铰刚架的计算,三铰刚架是杆轴线为折线形式的推力结构。它的支座反力计算与三铰拱一样，而内力的计算与刚架相同。下面举例说明。,例5 如图示对称刚架，作M图。,解法一：可把此结构视为由虚铰A和B实铰C相连的三铰刚架。,利用所求虚铰的约束反力，可求出虚铰中各链杆的内力。,由图(c)得,由图(
8、d)得,这样可求得刚架的受力如图(e)所示。,杆端弯矩：,作弯矩图：如图(f)所示。,解法二：求约束反力时，也可取AC、BC两刚片分别作为研究对象如图(g)所示。,考虑图(g)左半部分,由MA=0得,考虑图(g)右半部分,由MB=0得,(a),(b),联立(a)和(b)解得,杆端弯矩：,作弯矩图：如图(f)所示。,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,
