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1、多寡头竞争的Stackelberg博弈模型研究A RESEARCH ABOUT STACKELBERG GAME MODEL OF THE MULTIPLE OLIGOPOLISTIC COMPETITION专业：2010信息与计算科学姓名：王伟指导教师姓名：申请学位级别：学士论文提交日期：2014年6月12日学位授予单位：天津大学摘 要 寡头竞争问题是经济学市场理论的一个非常重要的课题，比较经典的寡头模型就是传统的双寡头的古诺模型和斯坦克伯格模型，也是博弈论中最早的研究对象。但在现实生活中，寡头竞争问题就不再是简单的双寡头模型，更多的是多个寡头同时存在。这就有必要建立多寡头模型，分析寡头之间
2、的博弈情况以及利润情况，找出寡头数目对寡头行为的影响，并得出其各自的纳什均衡解。 本文就古诺模型和斯坦克伯格模型两个模型在多寡头竞争的情况下，分别从一个领导者多个追随者和多个领导者、多个追随者的角度来研究，建立模型。与古诺模型作比较，指出寡头数目变化下的寡头的利润决策。除此之外，并对不完全信息下的双寡头斯坦克伯格博弈模型进行分析和研究，得出斯坦克伯格模型中的领导者为了拥有先动优势，需要付出一定的代价。并加入案例分析，来验证结论。关键词：古诺模型； 斯坦克伯格模型； 纳什均衡； 先动优势ABSTRACTThe problem of oligopolistic competition is a v
3、ery important topic in the market theory of economic, the classic oligopoly model include the traditional model of Cournot duopoly model and Stackelberg duopoly model, it is also the earliest research object in the theory of game. But in real life, the problem of oligopolistic competition is no long
4、er a simple duopoly model, there are the most oligarchs which join a game. It is necessary to establish a model of the oligarchs, analyzing the profits of the oligarchs, and finding out the influence of the number of oligarch to the behavior of oligarch, then their respective Nash equilibrium are ob
5、tained.In this paper, the Cournot model and Stackelberg model are the model of more oligarchs, respectively from a model about a leader and multiple followers and another model about multiple leaders and multiple followers to establish model. Comparing to Cournot model, pointing out the profits of o
6、ligarch on the change of the number of oligarch. Beyond that, analyzing and studying the model of duopoly Stackelberg under the incomplete information, it is concluded that the leader of model of Stackelberg have the first-mover advantages and need to pay a price. And join a case to verify the concl
7、usion.Key words: Cournot model; Stackelberg model; Nash equilibrium; pioneer advantage目 录1绪论11.1 相关文献对斯坦克伯格博弈模型的研究11.2 本论文的研究内容11.3 本论文的研究目的12博弈论的相关知识32.1 博弈论的基本概念32.2 博弈论的成长历程32.3 博弈的类型、要素和概念53纳什均衡理论63.1 纳什均衡的概念和分类63.2 纳什均衡在经济学中的应用63.3 纳什均衡理论的扩展74完全信息博弈84.1 完全信息静态博弈的相关概念84.2 完全信息动态博弈的相关概念85 一个领导者和多
8、个追随者的斯坦克伯格模型与古诺模型的分析95.1 斯坦克伯格博弈模型的基本概念95.2 建立数学模型95.3 得出结论135.4 加入案例分析146 多个领导者和多个追随者的斯坦克伯格模型与古诺模型的分析176.1 建立相关数学模型176.2 推导相关定理186.3 得出结论206.4 加入案例分析207 不完全信息博弈257.1 不完全信息静态博弈的概念及案例257.2 不完全信息动态博弈的概念及案例258 不完全信息下的双寡头斯坦克伯格模型278.1 模型的假设条件278.2 建立模型278.3 得出结论329 家电市场的例证分析339.1 家电市场的简单阐述339.2 几家龙头家电企业的
9、收入和利润情况339.3 分析数据389.4 结合上述所得的理论进行例证分析39全文总结40参考文献41致谢42 1 绪论1.1 相关文献对斯坦克伯格博弈模型的研究在寡头市场中，古诺模型和斯坦克伯格模型是分析这一市场的两个重要模型。也是博弈论最早的研究对象，许多学者和经济学家都有过研究。Matsumura通过对有限阶段的古诺模型分析，研究存量的作用1。Rasserti等人对古诺均衡的均衡解的收敛性进行了研究2。Huck等人则研究了学习效应3以及外生条件对博弈结果的影响4。好比Sherali创建了个先动厂商，个后动厂商的多厂商斯坦克伯格竞争博弈模型，得出先动厂商利润高于后动厂商5，而且当为1时，
10、即上边1对N的情况，此时先动厂商的利润到达最大，当为0时，即多寡头古诺模型，后动厂商的利润到达最大。Daughety剖析了个先动厂商，个后动厂商的斯坦克伯格博弈模型的均衡解，在此基础上，讨论了利润、集中、煎并和社会福利之间的关系，得出集中或兼并并不一定会使社会福利降低6。Simon研究了多寡头古诺和斯坦克伯格博弈，指出多寡头斯坦克伯格博弈中先动寡头利润大于后动寡头利润，且寡头数目大于2时，先动寡头利润不一定大于古诺竞争博弈寡头的利润7。1.2 本论文的研究内容当然，大多数研究成果都是在双寡头的基础上得出来的。本文的侧重点在于多寡头的博弈分析，建立模型。探讨多寡头下的古诺模型的各寡头行为及利润情
11、况及利润收益情况，当然，本文着重研究多寡头下的斯坦克伯格博弈模型，即一个领导者和N个追随者、N个领导者和N个追随者之间的博弈行为。寻找其纳什均衡（所谓的纳什均衡，指的是博弈的参与人的一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人独立改变策略都不会获得益处。也就是说，如果在一个策略组合上，当其余的所有人都不改动策略时，没有人会改动自己的策略，我们就称该策略组合就是一个纳什均衡，是一种非合作博弈均衡，是以经济学家纳什来命名的。）解。并与多寡头下的古诺博弈模型比较，得出各个寡头得到均衡时的利润情况。1.3 本论文的研究目的古诺模型和斯坦克伯格模型是分析寡头市场的重要模型，在寡头的市场决策博弈行为有着广泛的
12、应用。两个模型的决策变量均为产量，都是符合经济学中的利润最大化原则，在古诺模型中的基本假定为，各寡头的地位是平等的，相互没有勾结的行为，有相同的需求函数，而且是线性的，各寡头对市场的需求状况洞若观火，每一个寡头都是依据其余的寡头的产量决策来决定自身的最优决策，从而达成最大利润。与古诺模型相比，斯坦克伯格模型各寡头之间的地位是不平等的，即在这些寡头中，存在着领导者，即属于较强者的一方，剩下的寡头为追随者，属于较弱者的一方。这些追随者只可依据领导者的决策产量来确定自己的最优产量。与古诺模型不同的是，斯坦克伯格模型各寡头之间的决策行为是相互影响的，即在斯坦克伯格模型中，各寡头之间的决策有了先后顺序，
13、即为顺序博弈，也叫序贯博弈。而古诺模型所代表的博弈即为同时博弈。我们把古诺模型下的博弈称为静态博弈，把斯坦克伯格模型下的博弈称为动态博弈。在现实生活中，我们所看到的寡头市场大多数为斯坦克伯格模型下的市场，例如通信市场，中国移动占据着主动地位，而中国联通和中国电信则是作为追随者出现的8。再如手机市场，苹果公司是当之无愧的巨无霸，而其他手机公司只能看其脸色，只能做低端手机品牌。我们不难看出，占据着主动地位的公司在市场中占据着较大的份额。那么其中的原因何在？在下面的研究中，我们将对比古诺模型和斯坦克伯格模型均衡时的纳什均衡解，来得出结论。2 博弈论的相关知识2.1 博弈论的基本概念其中，分析这两种博
14、弈的工具都是博弈论。博弈论研究的是参与博弈的各个理性决策个体在其行为发生相互作用的决策及决策问题。博弈论也被称为对策论，首先对策思想，我国古代就有了。就比如说两千多年前的春秋时代，孙武的孙子兵法所阐述的军事思想和治国策略，就有着丰富和深入的对策论的思想。比如说咱们常说的“知己知彼，百战不殆”就有着博弈的哲理。还有孙膑的“田忌赛马”就是对对策思想的成功运用。这样的例子还有很多，典型的就是三国时期魏、蜀和吴三国的策略博弈，所谓的谋士也可以叫做博弈家。当然，对策思想明确地应用到经济领域，还得从古诺，伯特兰等人关于寡头市场的研究开始算起。然而，博弈这种思想发展成为学科，即博弈论，是以美国数学卷冯诺依曼
15、和经济学家摩根斯坦一块儿著作的博弈论与经济行为一书的出版为标志的。2.2 博弈论的成长历程博弈论上世纪二十年代早期方才开始研究的，为萌芽阶段，其钻研对象主要是从比赛与游戏中引申出来两个人的博弈，即二人零和博弈。在这类博弈中，这种合作或结合行为是不存在的，当然博弈两方的利益是严格对立而确实存在的的，一方所得也就意味着存在着博弈中另一方的等量亏损。虽然上述的二人零和博弈其实不适应用于在经济分析研究的大多数情况。但是对于二人零和博弈理论的研究，尤其是在此基础上提出的博易扩展型策略、混合策略等重要概念9，为今后研究目标的范围的扩展与研究的进一步深化奠定了基础。在这一阶段，一系列重要的成果，具有代表意义
16、的是泽梅罗定理与冯诺依曼的最小最大定理，后者不但为二人零和博弈问题提供了解法，并且也对博弈论的发展产生了重要的影响，就如本文用到的非合作多人博弈中的基本概念纳什均衡，就是最小最大定理的延伸和推广。二十世纪三十年代到1944年是博弈论学科的创建时期。冯诺依曼与摩根斯坦恩协作出版的书博弈论与经济行为一书第一次完整的地将博弈论应用到经济学中。该书不但将当时博弈论的研究成果的大体框架第一次完整而且清晰地表述出来，使其作为一门学科且得到了了应有的地位。同时身为经济学家的摩根斯坦恩首先提出经济行为者在决策时要考虑到经济学上的利益冲突的性质。该书也详细地讨论了二人零和博弈，并对合作博弈作了深入分析，开辟了一
17、些新的研究领域。更重要的是推广了博弈论，使其得到了前所未有的应用，尤其实在经济学上。与此同时，基于合作博弈理论的研究也取得了了长足的进展。依据海萨尼的意见，如果在博弈中的愿望表示具有完全的约束力并且能够强制执行，则说明该博弈是合作的。假如博弈方的愿望表示不可以强制执行，则为非合作博弈。随之何来的是非合作博弈发展了起来，事实上，合作博弈可以作为非合作博弈的进一步延伸，为了解决在合作博弈中所遇到的问题，在这一期间。相继有联盟博弈、稳定集、解概念、可转移效用、核心等重要观念与思想。二十世纪五十年代是博弈论的成长期。在这一时期，合作博弈发展到了鼎盛时期，同时呢，非合作博弈也随之开始产生。在合作博弈领域
18、，相继出现了如夏普值概念、核概念等。因为这个时期正是处于二战刚刚结束时期以及后来出现的美苏争霸时期，博弈论的重要应用是军事方面的。此后，经济学才成为博弈论最重要的应用领域。在非合作博弈的领域，著名学者纳什在N人博弈的均衡点和非合作博弈明确提出了纳什均衡，图克则定义了囚徒困境，两人的著作奠定了现代非合作博弈论的基石。当然，到了六十年代，博弈论发展到了成熟期。经济学家泽尔腾首次将动态分析引入了博弈论，此时纳什均衡就有了局限性，第一个重要改进概念也就应用而生，即子博弈精炼纳什均衡，以及相应的求解方法“逆向归纳法”10（这里的逆向归纳法是求解动态博弈均衡的方法，他在逻辑上是严密的，但他存在着“困境”。
19、即从动态博弈的最后一步往前推，从而求解动态博弈的均衡结果。也叫逆推法，也就是完全归纳推理，也就是说其推理是演绎的，结论是必然的。他的逻辑基础就是：动态博弈中先行动的参与人，在前面阶段选择行为时必然会考虑后行动的参与人在后面阶段中的行为选择，只有在最终一阶段的参与人才能不受其余的参与人的限制而直接作出选择。当然，当后面阶段的参与人的选择确定无误后，前一阶段的参与人的行动也就容易确定了，如此，就排除了那些不可信的威胁或承诺，获得的的均衡是子博弈精炼纳什均衡。）。海萨尼初次将信息的不完全引入了博弈分析，定义了不完全信息静态博弈的基本均衡概念，即贝叶斯纳什均衡。在此基础上创建了不完全信息博弈的基本理论
20、。在这之后，不完全信息动态博弈得到了快速的发展，弗德伯格和泰勒尔定义了其均衡的基本概念精炼贝叶斯纳什均衡。动态与不完全信息的扩充使博弈理论得到了更广泛的应用。从而，博弈论形成了完整而系统地体系。在这之后，博弈论形成了一个完整的体系，并且在经济学得到了广泛的应用，并且成为微观经济学的基础，比如几个寡头市场的博弈。从分析方法来看，博弈论转变了传统意义的那种以个人孤立决策为基础的分析方法，偏向于经济活动中的多个利益主体的行为所产生的相互作用和影响的分析，从而使得经济分析更能反映经济现象的本质。在微观经济学中，首要的假设就是“理性人”11，从而也是微观经济学的一切理论的基础，当然，以纳什均衡为基础的博
21、弈分析，也是建立在个人理性的基础的。当然这种假设是理想状态下才可以存在的，在现实中，个人的非理性行为也是客观存在的。在博弈论中，也认可理性的人也偶尔会犯错误。因此，考虑到个人的理性倾向和非理性倾向，才能完善这一假设。正是博弈论的发展，本论文才会应运而生，利用博弈论的理论分析寡头垄断，极大地拓展了市场结构分析的范围。本文用到的博弈类型分别是静态博弈，即古诺博弈模型；以及动态博弈，即斯坦克伯格博弈模型。当然，我们根据信息的透明度，从而分为完全信息博弈和不完全信息博弈。按照这个划分，我们就有完全信息静态博弈，完全信息动态博弈，不完信息静态博弈和不完全信息动态博弈。与此相对应均衡分别是纳什均衡，子博弈
22、精炼纳什均衡，贝叶斯纳什均衡和精炼贝叶斯纳什均衡。2.3 博弈的类型、要素和概念在博弈中，首先要有人参与，即局中人，也就是博弈的决策主体行为，依据自己的利益要求来决定自身的决策。而这种决策就是策略，也就是一局博弈的得失。或者说是局中人从种种策略组合中获得的效用，并且是策略组合的函数。也能够是说在一局博弈，每一个局中人都有选择实际可行的完整的行动计划，同时，这个方案并不是某一阶段的行动方案，而是指导整个行动的一个方案，而且，该方案自始至终都不会改变，这种方案就是这个局中人的策略。如果在博弈中的局中人共有有限个策略，就叫做“有限博弈”，相反就被称为“无线博弈”。博弈论的另外一个要素叫得失，即每一个
23、局中人在一局博弈结束时的得失，他不仅与该剧中人自身所选的策略有关，而且也与其他的局中人所选的策略有关。所以说，一局博弈停止时每一个局中人的得失是所有局中人所选取的一组策略的函数，我们通常把这个函数叫做支付函数。同时呢，对于博弈参与者来说，最后必然有一个博弈结果，不管是得与失，这个结果都是客观存在的。还有就是本文用到的，也是博弈论中最重要的博弈均衡，均衡也就是平衡，然而在经济学中，均衡意味着相关量处于一个稳定的值。在供求关系中，某一商品市场如果在某一价格下，消费者以此价格都能买到该商品，同时呢，卖的人都能以此价格售卖该商品，这时候，对我们来说，该商品在这一价格下的供求达到了均衡，这种均衡是一种稳
24、定的博弈结果。3 纳什均衡理论3.1 纳什均衡的概念和分类上面介绍的是博弈论的发展，概念，要素和类型，这些概念在本文都会用到。本文用到的均衡有纳什均衡、子博弈精炼纳什均衡和贝叶斯均衡。后面的均衡都是以纳什均衡为主的。上面已经给出了纳什均衡的概念，其实，纳什均衡包括纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡。纯策略是给博弈中的局中人如何进行博弈的一个完整的定义，也就是在任何的一种情况下都能移动。他的策略集合是有所有局中人的纯策略组合而成的。而混合策略与纯策略的区别就是加入了一个概率，也就是局中人选择纯策略的概率，所以混合策略的均衡是用概率来计算的，在这里，每一种策略的选择都是随机的到达某一概率，可以达到最
25、优状态。同时，概率是连续的，即使策略是有限的，但是也会出现无限的混合策略。所以呢，纯策略的纳什均衡要求所有局中人的策略都是纯策略，而混合策略均衡要求至少有一位局中人的策略时混合策略。囚徒困境是一种纯策略纳什均衡12，而钱币问题就是一种混合策略均衡。当然，有的博弈会同时包含纯策略均衡和混合则略均衡。当然在纯策略纳什均衡中，纳什均衡有可能存在，也有可能不存在。同时在达到纳什均衡时，有可能是唯一的，也有可能有多个纳什均衡。当然，在达到纳什均衡时，有可能是最优的，也有可能不是。也可以这样说，最优均衡一定是纳什均衡，而纳什均衡却不一定是最优的。纳什均衡理论的诞生奠定了现代主流博弈理论和经济理论的基本基础
26、，尤其是微观经济学，纳什均衡是研究微观经济的重要分析工具，好多结论的证明过程都要用到纳什均衡。3.2 纳什均衡在经济学中的应用纳什均衡理论改变了经济学的体系和结构。这一分析工具现在已经在微观、宏观经济学以及劳动经济学等经济学科的绝大多数领域得到了应用。成为这些学科的重要分析工具。同时呢，纳什均衡理论的研究进一步拓展了经济学课题的研究范围。由于在原有基础上的问题在经济学充满着不确定的因素、环境的变动因素还有经济个体之间的相互作用，所以并不能从微观层面上对经济问题进行分析。当然纳什均衡的分析方法，除了本文中用到的逆推归纳法，还有扩展型博弈法以及子博弈完美纳什均衡等相关概念方法，这是研究经济学问题的
27、基本方法。纳什均衡理论的研究，加强了经济学研究问题的深度和复杂度。因为该理论并不回避经济个体之间的交互作用，同时也不是为了满足对经济个体复杂经济关系的简单化的处理，在分析问题时，不只停留在宏观层面，更多的是分析经济问题表现背后深层次的原因和规律，同时强调微观个体的行为规律的角度来分析问题的根源，所以可以更加深刻清晰地理解和解释经济问题。纳什均衡理论在经典博弈得到了广泛的应用，形成了经典的研究范式体系。也就是将经济学中的各种问题和经济关系，按照经典博弈的类型和特征进行系统地分类，这样就可以根据相应的经典博弈的分析方法和模式来进行研究，并将一个领域所取得的经验运用到另一个领域。就如本文中的古诺模型
28、和斯坦克伯格模型的研究方法是不同的，并且将双寡头的研究结论推广到多寡头的研究。 3.3 纳什均衡理论的扩展这样，纳什均衡理论就加强了经济学与其他社会科学和自然科学的联系。就如纳什均衡可以应用于数学，从而可以用数学的方法来研究经济学。纳什均衡理论之所以伟大，就是因为他简单易懂，而且几乎渗透到了所有学科和领域。所以说纳什均衡理论即使用于人类的行为发展规律，同时也适用于人类以外的其他生物的生存、运动和发展的规律。纳什均衡和博弈论的提出，使得经济学与其他社会科学和自然科学的联系更为紧密，从而使经济学得到了更加广泛的应用，从而与人类的生活息息相关。从而形成了经济学与其他学科的良性循环。当然，纳什均衡理论
29、改变了经济学的常用语言和表达方法，就像供给和需求一样。4 完全信息博弈4.1 完全信息静态博弈的相关概念本文首先用到的就是完全信息静态博弈和完全信息动态博弈。完全信息静态博弈是指参与博弈的每一个参与者都拥有所有其他参与者的特征、策略及收益函数等方面的准确信息的博弈。博弈方同时决策，并且所有博弈方都对博弈中的各种各样的策略情况以及收益都是完全了解的。典型的案例就是囚徒困境。所谓的囚徒困境，简单的说就是个体理性与集体理性的冲突，就是当个人的选择对自己来说是最优的，但是对集体来说是最差的。4.2 完全信息动态博弈的相关概念完全信息动态博弈就是指在博弈中，信息是完全的，博弈方都可以掌握其他博弈方的支付
30、函数和决策，但是行动是有先后的，后动者可以观察到先动者的行动，了解先动者的所有信息，这个时期一般比较长。包括3种博弈，即子博弈精炼纳什均衡、重复博弈和序列博弈。首先子博弈精炼纳什均衡是不允许不可置信的威胁存在的，同时，一个子博弈精炼纳什均衡必然是纳什均衡，当然，纳什均衡却比一定是子博弈精炼纳什均衡。而重复博弈就是一种结构的博弈反复进行的博弈过程，属于动态博弈。当然如果这种博弈的次数是无限的，那么寡头之间就可以相互合作来摆脱困境。相反，如果这种博弈的次数是有限的，那么这种合作就是不可能的。典型的案例就是以牙还牙策略博弈，即在定价博弈中，如果一家寡头定的是高价，只要另一个寡头保持合作的态度，即也定
31、高价，那么该寡头就会保持高价；典型的就是房地产市场，各企业都保持着高价，即房价居高不下。当然一旦对方寡头定的是低价，那么其结果也是定地价，当然如果对方寡头不合作的话，就会形成恶性循环。第三种的动态博弈就是序列博弈，序列博弈就是指参与人选择策略时的时间是有先后的博弈形式，前面的重复博弈就可以视为一种特殊的动态博弈形式。所谓的序列博弈就是一方在决策时，会考虑到另一方的决策行为，从而做出自己想对应的反应决策。当然，首先做出决策和参与行动的寡头就可以占据有利的地位，并且获得较多的利润。这种先动优势的形成原因就在于经济学的一个既定事实，那就是为了使得自己的利润最大化，另外的一方就必须根据项行动的一方的决
32、策作为参考，来选择自己的策略，同时也说明拥有信息较多的博弈方却不一定能够获得较多的利润。5 一个领导者和多个追随者的斯坦克伯格模型与古诺模型的分析5.1 斯坦克伯格博弈模型的基本概念斯坦克伯格博弈模型是经济学中经典双寡头博弈模型的其中一个。它是以德国经济学家斯坦克伯格来命名的，是在1934年正式提出来的。以博弈论的角度来叙述的话，就是在这个模型中，有两个博弈方，一个被叫做领导者，另一个被叫做追随者。这两者进行的是产量竞争，即领导者先选择产量，追随者在看到领导者的产量以后做出自己的反映，决策自己的产量。当然，这还没有万，在斯坦克伯格博弈模型中，还有一部就是领导者会知道追随者会观察他的选择，并且知
33、道追随者的决策不会改变。那么领导者就具有了先动优势，当然领导者的决策是必须做出承诺的，即不能更改自己的产量也不能随意撤回自己的决策，也就是说，只要领导者做出自己的决策，那么就会将自己的决策进行到底。那么此时先动优势才会存在。5.2 建立数学模型先给出古诺模型和斯坦克伯格模型的定义，然后在建立多寡头下的博弈模型。（1）：经典的双寡头古诺模型。这里有两个寡头参与博弈，即寡头1和寡头2。寡头1和寡头2同时行动，相互之间并不知道对方的决策行为。目的都是使利润最大化。（2）：经典的双寡头斯坦克伯格模型。这里有两个寡头参与博弈，即寡头1和寡头2。寡头1是领导者，先行动，寡头2是追随者，他在观察到寡头1的产
34、量决策后才行动，使自己的利润最大化。本文论述的是多寡头下的古诺模型（N-Cournot）和斯坦克伯格模型（N-stackelberg），其定义如下。（3）：N-Cournot博弈模型。博弈参与方有多个寡头，即为，寡头同时行动，和上面的双寡头古诺模型类似，各寡头之间并不知道其他寡头的决策行为。他们的目的都是利润最大化。（4）：N-stackelberg博弈模型。博弈参与方有多个寡头，即为，在这里有两种情况。一种是领导者只有一个寡头，其余为追随者，即1对N。另一种是领导者有多个寡头，其余为追随者，即N对N。在第一种情况下，假定为领导寡头，他先进行决策，进行生产，但是他并不知道的决策行为，后行动，他
35、们根据的产量进行决策，并使自己的利润最大化。对于N对N的情形，将领导者和追随者分为两个集团，领导者集团为,追随者集团为。在这里与第一种情况不同的是，集团先进行内部决策，进行生产。同样也不知道集团的决策行为，集团后行动，根据集团的决策产量进行决策生产，并使利润最大化。显然经典双寡头模型是多寡头模型下的特例，而这种多寡头模型才符合现实生活中的市场结构，才具有研究意义。在本论文中，共有个寡头参与博弈决策，记为，。在这里，假定各寡头生产的产品是同质的，无差别的。生产技术都是相同的且不变，其规模收益是相同的，寡头的战略决策是进入市场的时机和产量，战略博弈的支付是利润，是所有寡头产量的函数。我们用表示寡头
36、的产量，为寡头的成本函数，并且假定其需求函数为线性的，在这里，寡头的利润用表示。根据寡头进入市场的时机不同，其利润也是不同的。如上文提到的那样，这里有两种进入方式。（1）：所有寡头所开发的产品都是同类同质的，无差别的，来抢占市场。这是典型的多寡头下的古诺模型，即N-Cournot博弈模型。很容易得到寡头的利润。（2）：在这里先研究1对N的情形，即其中一个寡头先开发出新产品，其他寡头在无产权保护的情况下模仿生产同类同质的产品。这是典型的多寡头下的斯坦克伯格模型，即N-stackelberg博弈模型。在这种情况下，抢先进入市场的寡头的利润。后来模仿生产后来进入市场的寡头，其利润。，上文说过，N-C
37、ournot博弈模型代表的是所有寡头同时进入市场，即静态博弈，N-stackelberg博弈模型代表的是一些寡头先进入市场，其他寡头后进入市场，这种情况称为动态博弈。对于N-Cournot博弈模型，其利润。 （1-1）在这里为了降低分析的难度，我们假定单位产品成本为，即成本为，令为寡头博弈均衡时各自的产量，即纳什均衡，则：。根据已知条件，对利润函数求一阶导数，找出纳什均衡： （1-2）在前边我们已经假设需求函数为线性需求函数，将此式代入（1-2）中，省略计算过程，我们找到的纳什均衡解为： （1-3）即在N-Cournot博弈模型中，每个寡头同时进入市场并决策，即每个寡头的纳什均衡，其利润为：
38、（1-4）显然，由于在N-Cournot博弈模型中，各个寡头的地位是相同的，且决策行为相互都不了解。在这种情况下，达到纳什均衡时，各个寡头的均衡产量和利润都是相同的。在N-stackelberg博弈模型，为了简化其难度，我们研究1对N情形，寡头为领先寡头，他首先进行决策，其产量为，这里的下标是为了和N-Cournot博弈模型加以区别。其他的后动寡头根据领先寡头的产量进行决策，根据，决策自己的产量。也就是说，寡头就是简单的决策自己的产量，后动寡头所做的决策就是根据先动寡头的产量进行决策，得出自己的产量。其战略应该是从到的函数，即：，记为先动寡头的产量，为所有后动寡头的产量和。因为这是一个顺序博弈
39、，在这里我们用逆向求解法，求出其子博弈精炼纳什均衡（是指将纳什均衡中包含的不可置信的威胁策略剔除出去，同时要求博弈的参与者的决策在任何时候都是最优的决策策略，决策者要“随机应变”，而不是坚守旧的策略。这样就减少了纳什均衡的个数。）。同样，我们仍然假定需求函数为线性，且所有全部的寡头都有相同的不变的单位成本。先对第二阶段博弈进行研究，给定领头寡头的产量，后动寡头如何根据的产量进行决策自己的产量。根据利润最大化原则，得到： （1-5) 将上述的线性的逆需求函数和成本函数代入（1-5），并求解最优化一阶条件，省略掉矩阵计算过程，得到寡头在观察到领头寡头的产量所采取的最优决策产量为： （1-6）反过来
40、，我们在考虑第一阶段的博弈，由于寡头在预测到后动寡头将根据（1-6）选择最佳产量，因此领头寡头为了使得自己利润最大化，其问题就变为： （1-7）将上式的（1-6）代入（1-7）中，同时考虑线性的逆需求函数和成本函数，对（1-7）式求最优化一阶条件，省略计算过程。得到领头寡头的最优产量为： （1-8）将（1-8）式代入（1-6）中，得到后动寡头的最优产量为： （1-9）根据上述的分析我们就可以得出N-stackelberg博弈模型的子博弈纳什均衡，进而可以由某寡头作为先动者，即领头寡头 ，其他寡头作为后动者参与博弈决策，各个寡头获得的相应利润为： （1-10） （1-11）5.3 得出结论对上述
41、得到的结果分析：当时，这时市场只有一个寡头，显然这时不存在博弈，也就是经济学所说的完全垄断。这并没有研究的意义，因此我们要考虑的情形。显然会有： （1-12） （1-13）其中，。当然，换句话说就是参与市场竞争博弈的寡头，那么在N-stackelberg竞争博弈中作为领头寡头的利润要比在N-Cournot竞争博弈中的寡头的利润要多，同时也比在N-stackelberg竞争博弈中作为后动者的寡头利润多，我想这也就是先动优势。我们的重点在于比较N-stackelberg竞争博弈中后动寡头的利润与N-Cournot竞争博弈中的寡头的利润。根据上面的（1-4）和（1-11）式，我们可以有： （1-14
42、）容易得到：1） 当时，则；2） 当时，则。所以我们就可以得到下面的定理:当N-Cournot竞争博弈达到均衡时，各个寡头得到的利润为N-Cournot利润，当N-stackelberg竞争博弈达到均衡时的各个后动寡头利润为N-stackelberg后动利润，就有：当时，N-Cournot利润大于N-stackelberg后动利润；当，N-Cournot利润小于N-stackelberg后动利润。5.4 加入案例分析具体算例分析，在这里我们假设寡头数目由2逐渐增加到15，即从2逐渐增到15。，。领导寡头均衡产量为2.25，均衡利润为10.125。所列表格如下：表1-1： 多寡头下的古诺与斯坦克
43、伯格均衡产量及均衡利润古诺均衡产量斯坦克伯格后动寡头均衡产量古诺均衡利润斯坦克伯格后动寡头均衡利润21.51.1254.52.531331.1250.56252.53131.265640.90.3751.620.843850.750.28131.1250.632860.64290.2250.82650.506370.56250.18750.63280.421980.50.16070.50.361690.450.14060.4050.3164100.40910.1250.33470.2813110.3750.11250.28130.2531120.34620.10230.23960.230113
44、0.32140.09380.20660.2109140.30.08650.180.1947150.28130.08040.15820.1808 图1-1： 寡头数目变动下的古诺与斯坦克伯格后动寡头均衡产量图1-2： 寡头数目变动下的古诺与斯坦克伯格后动寡头均衡利润从上述列表和作图，可以得出我们所得到的理论是正确的，符合得出的理论结果。因此呢，我们可以将这一结论应用到现实生活中。6 多个领导者和多个追随者的斯坦克伯格模型与古诺模型的分析6.1 建立相关数学模型上面考虑的N-stackelberg竞争博弈为简单的1对N类型，即一个领导者，多个追随者的模型。我们接下来讨论多个领导者与多个追随者的模型
45、的情况。即个先动寡头，个后动后动寡头的多寡头斯坦克伯格博弈模型。建立模型：（1）首先我们仍然假定所有寡头生产同质同类产品，并且其需求函数和逆需求函数都是线性的。（2）为了不影响结论的前提下，我们不考虑各个寡头的生产成本，且每个寡头的边际成本都为常数。（3）在共有个寡头的多寡头的斯坦克伯格竞争博弈中，个寡头先行动，寡头后行动，并且后动寡头可以观察到先动寡头的产量决策。假设寡头的决策产量，并设其逆需求函数为：因此在多寡头斯坦克伯格博弈中，先动寡头的利润函数为：， （2-1）后动寡头的利润函数为：，（2-2）多寡头斯坦克伯格博弈均衡：在多个斯坦克伯格竞争博弈中，个寡头首先进行产量决策，个寡头再进行产量决策，当然，后动寡头可以观察到先动寡头的产量决策，在经济学，这被称为一种完全信息动态博弈，我们运用逆向归纳法进行求解。和上面分析1对N的情形类似，我们先分析第二阶段，首先给定先动寡头的产量决策，而后动寡头在看到先动寡头的产量决策后，我们对（2-2）式利用最优一阶条件来确定自己的的最优的产量反应函数： （2-3）再来看第一阶段，由于这种博弈属于完全信息动态博弈，即先动寡头可以知道后动寡头将根据（2-3）来选择自己的最优产量决策，因此此时先动寡头的利润
