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1、奇偶相干态下介观无损耗传输线中的量子涨落 摘 要:在将介观无损耗传输线量子化的基础上，计算出奇偶相干态下传输线中电流、电流梯度和单位长度传输线电感上电压的量子涨落，并对传输线量子涨落的特点进行了分析。结果表明，在奇偶相干态下，传输线中的电流、电流梯度和单位长度传输线电感上的电压均存在量子涨落。关 键 词:传输线 ，量子化 ，奇偶相干态 ， 量子涨落Quantum fluctuations of a mesoscopic losslesstransmission line in the Even and Odd Coherent statesAbstract: Based upon the qu
2、antization of a mesoscopic lossless transmission line, computation is made for the quantum fluctuations of the current ,current gradient and voltage of the line in the Even and Odd Coherent states, and the special feature of the quantum fluctuations is analyzed. The results indicate that, the curren
3、t ,current gradient and voltage of the transmission line all exist the quantum fluctuationsKeywords: mesoscopic lossless transmission line , quantization, even and odd coherent states , quantum fluctuation1 引言随着微电子技术的发展，电子计算机运行速度愈来愈快，而其CPU等集成电路日趋微型化，线路宽度正由亚微米向纳米量级方向发展。当电路及器件介观化时，必须考虑量子效应。近年来人们对集中性元件
4、LC电路和RLC电路进行了广泛的研究1-6，得出许多有用的结论，对于具有分布电感和分布电容的传输线电路近年来也有人开始研究7,8，文献7、8分别对介观无损耗传输线和介观耗散传输线进行了量子化，并研究了特定的量子态下电路的量子涨落。本文利用 Louisell提出的无损耗传输线的量子化方案9，先介绍单模信号在介观无损耗传输线中的量子化过程7，然后计算并分析奇偶相干态下传输线中电流、电流梯度和单位长度传输线电感上电压的量子涨落。在真空态时，奇偶两个相干态下电流的量子涨落均取得最小值；当相干态强度以及电路参数一定时，奇相干态下的电流量子涨落比偶相干态下的电流量子涨落要小。2 无损耗传输线的量子化2.1
5、电报方程对于直流电路和低频交流电路，线与线之间的电容与电感可以忽略不计，电路的基尔霍夫定律指出，同一支路中的电流相等，但对于较高频率的交变电流（这里不考虑频率很高以致显著地向外发射电磁波的情况），电路中导线的自感和电容效应不能忽略。因而同一支路中的电流未必相等。考虑双线或同轴传输线（图1），电容和电感是沿着传输线连续分布的。把传输线划分许多线元，取z与z+dz之间的一段作为代表加以研究。单位长度的传输线所具有的导电阻，线间电漏，电容和电感分别记作R、G、C和L我们所研究的线元可以看作是立的电阻Rdz和电感Ldz串接在线路中，分立的电容Cdz和漏电电阻（1/G）dz跨接在两线之间，画出等效电路如
6、图（2）。这个线元两端的电流并不相等，这是由于两线之间的漏电流（Gdz）v,还有两线之间的电容Cdz上的充放电。这个线元两端的电压也不相等，这是由于导线电阻Rdz上的电压降(Rdz)j和两线之间的电感Ldz上的感生电动势(Ldz)j/t,有 zz+dzzvjj+djv+dvjj+dj图1 传输线中的电流和电压 zz+dzjj+djRdz/2Rdz/2Ldz/2Ldz/2jj+djCdz图2 传输线模型 即 以作用于式，得 (3)以作用于式，得 (4)式，消去，得的方程 (5)以作用于式，得 (6)以作用于式，得 (7)式，消去，得的方程 (8)(5)和(8)式为传输线的电报方程。导线电阻和线间
7、电漏很小的传输线叫做理想传输线，对于理想传输线电报方程(5)、(8)可以简化，于是我们得到传输线中的电流和电压满足波动方程10 其中为波的传播速度2.2理想传输线波动方程的解按照分离变数法的步骤，先以分离变数形式的试探解 (11)代入泛定方程(9)，得用同除各项，即得两边分别是时间和坐标的函数，不可能相等，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作为这可分离为关于的常微分方程和关于的常微分方程 求解(12)式，得求解(13)式，得所以可得方程(9)的平面前进波解为 (14)式中、为任意常数，波数。可求出电压与电流的关系为 (15)沿传输线方向单位长度电感上的电压为 (16)2.3理想传输线的量
8、子化以下简要介绍Louis ell将传输线量子化的方案9。对于一个确定的模，一定，则和一定，若取传输线长度为波长的固定整数倍，即，其中的为一个固定的整数，则此传输线中的能量为 (17)以上利用了（15）式，将（14）式代入（17）式可积得 (18) 若以为能量单位，即取 (19)则 (20)由(9)式得传输线中电流的一个前进模为 (21)确定了和，则电流和电压也就确定了。由于(20)式与用升降算符表示的谐振子的Hamilton算符相似（只是少了零点能）11，可以令 (22) (23)将(22)式代入(19)式，得 (24) 所以，有 (25) (26)其中、均为实变量，则，这正是坐标和动量分别
9、为、的单位质量谐振子的Hamilton量。、为正则变量，令 (27)则 (28)将、换成升降算符、，则 (29)这就实现了传输线的量子化。传输线中的电流算符为 (30)Heisenberg绘景中的升降算符与Schrdinger绘景中的升降算符关系为 (31) (32)则得H绘景中的电流算符 (33)单位长度传输线电感上的电压算符为 (34)H绘景与S绘景中的Hamilton算符形式相同 (35) 传输线中电流梯度为 (36)与的对易关系为 (37)可见与不对易，所以传输线中的电流与电流梯度不能同时确定。与的对易关系为 (38)得与也不对易，传输线中电流与单位长度传输线电感上的电压也不能同时确定
10、。3 奇偶相干态下电流与电流梯度，单位长度传输线电感上电压的量子涨落奇相干态定义为 （39）奇相干态下电流的平均值 （40）其中 （41） （42） （43） （44） 其中利用了 （45） （46）电流的平均值为0，电流平方的平均值为 （47）令 （48） （49） （50） （51） （52） （53）由得 （54） （55） （56） 所以 （57）电流梯度的平均值为 （58） 即 （59） 所以 （60） 电流梯度的平均值为0，电流梯度平方的平均值 （61）即 （62）所以 （63）电压的平均值为 （64）即 （65）所以 （66）电压的平均值为0，电压平方的平均值为 （67）即 （6
11、8）所以 （69）奇相干态下电流的量子涨落为 （70） 奇相干态下电流梯度的量子涨落为 （71） 奇相干态下电压的量子涨落为 待添加的隐藏文字内容3 （72）当时，奇相干态变为真空态下，其量子涨落为 （73） （74） （75） （76）（73）,（74）式与文献7中的结论一致，而（76）式与对易式（38）式直接得出的结果相一致，这也是预期的结果。偶相干态可定义为 （77）与奇相干态对应，可计算得偶相干态下电流的量子涨落为 （78）偶相干态下电流梯度的量子涨落为 （79）偶相干态下电压的量子涨落为 （80）4 奇偶相干态下的量子涨落的分析在奇偶相干态下传输线中电流，电流梯度以及单位长度传感线电
12、感上电压的量子涨落均与传输线上观察点的位置有关。且量子涨落与电感、传输线长度、频率、以及与等有关. 越大, 量子涨落越明显, 电流与电流梯度的量子涨落正比与的一次方, 单位长度传感线电感上电压的量子涨落正比与的三次方。令则, 从图（3）和图（4）看出，给出了电流量子涨落与传输线位置的关系，（以为单位）。可看出电流量子涨落随位置呈现周期性的变化。此外我们还看到电流量子涨落还与幅角有关。当时，量子涨落取得最小值。从图（3）和图（4）对比分析可知，奇相干态下的电流量子涨落比偶相干态下的电流量子涨落要小。图（3） 奇相干态下电流量子涨落与位置的关系（）图（4）偶相干态下电流量子涨落与位置的关系（）图（
13、5）给出了时奇相干态下电流量子涨落与的关系，由图中可见，电流量子涨落与成单调增长关系。当，即真空态下有最小的量子涨落，同理可分析得，偶相干态下电流量子涨落规律与奇相干态相似。电压的量子涨落的分析与电流相似，这里不再赘述。图（5）奇相干态下电流量子涨落与的关系（）5 结论本文研究了体系处于奇偶相干态时，电流、电流梯度和单位长度传输线电感上电压的量子涨落。计算结果表明，在奇偶相干态下，传输线中的电流、电流梯度和单位长度电感上的电压均存在量子涨落，电流、电流梯度以及单位长度传感线电感上电压的量子涨落不仅与电路参数以及传输线上观察点的位置有关，而且与相干态强度以及辐角有关。在相干态强度以及电路参数一定
14、时，奇相干态下的电流量子涨落比偶相干态下的电流量子涨落要小，真空态下电流的量子涨落最小。本文结论对于进一步设计微型电路，降低电路量子噪声有一定的指导意义。参考文献1 王继锁，冯健，孙长勇. 介观电路量子力学效应的研究进展. 聊城大学学报, 2003，16（2）：14162 顾永建. 压缩真空态下介观RLC电路中电荷和电流的量子涨落. 物理学报, 2000 ，49（5）：9659683 汪仲清. 介观RLC电路在热真空态下的量子涨落. 物理学报, 2002，51（8）：180818104 崔元顺. 激发相干态下介观耗散双回路的量子涨落. 量子电子学报，1999，16（4）：3103145 嵇英华
15、，雷敏生. 三网孔介观电容耦合电路的量子效应. 量子电子学报,2002，19(4)：4852 6 梁先庭，范宏义. 介观Schrdinger猫态的Wigner函数.怀化师专学报,2001，20（2）：29327 王忠纯. 介观无损耗传输线中电流的量子涨落. 物理学报, 2003，52（5）：123012338 王忠纯. 介观无损耗传输线的量子涨落与温度的关系. 量子电子学报, 2003，20（6）：7207249 W H Louis ell. Quantum Statistical Properties of Radiation. New York: Jhon Wiley, 1973.10 梁昆淼. 数学物理方法. 北京: 高等教育出版社, 1978， 15411 郭光灿. 量子光学. 北京: 高等教育出版社, 1990，130
