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1、摘要本文所研究的是广义似然比检验法的理论基础、基本原理和应用，这是一个很具有一般性的检验法，由之可以派生出很多的具体的检验法作为预备知识先研究了引理及似然比检验法，似然比检验法所求出的否定域具有很好的性质，但却有它的局限性，因此我们有必要去寻找更好的方法，广义似然比检验法的适用范围很广，本文主要是介绍了广义似然比检验法的具体方法并利用广义似然比检验法推导出单个正态总体和两个正态总体的各种情况下的否定域，我详细推导了单个正态总体下对均值和方差的单边和双边检验，而对两个正态总体的情况只给出了结论关键词：引理；似然比检验法；广义似然比检验法；正态分布AbstractThis article stud
2、ies is the generalized likelihood ratio inspection method rationale, the basic principle and the application, this is one has the general inspection method very much, might derive very many concrete inspection methods by it. To study the lemma and the likelihood ratio inspection method first as the
3、preparation knowledge, otherwise the localization which the likelihood ratio inspection method extracted has the very good nature, but had its limitation actually, therefore we had the necessity to seek a better method, the generalized likelihood ratio inspection method applicable scope was very bro
4、ad, this article mainly introduced the generalized likelihood ratio inspection method concrete method and used the generalized likelihood ratio inspection method to infer the single normal population and in two normal population each kind of situation. Otherwise the localization, I have inferred und
5、er in detail the single normal population to the average value and the variance unilateral and the bilateral examination, but has only given the conclusion. Key words: Lemma；Likelihood ratio inspection method；Generalized likelihood ratio inspection method；Normal distribution前言广义似然比检验是数理统计的重要内容之一，也是一
6、大难点，它在假设检验中的地位类似于最大似然估计在参数估计中的地位，本科数学类专业数理统计教学大纲对该内容的要求比较低，相应的教材只介绍广义似然比检验的基本概念和基本方法，其他内容甚少本文就是在原有大纲和教材要求的基础上展开研究，总结搜集探讨了以下内容：第一章引理及似然比检验法，似然比检验法的最优性，似然比检验法的无偏性，第二章广义似然比检验法的前提和方法，第三章用广义似然比检验法重点解决了单个正态总体下的方差已知的情况下对均值的双边检验和单边检验，方差未知的情况下对均值的双边检验和单边检验，均值已知的情况下对方差的双边检验和单边检验，均值未知的情况下对方差的双边检验和单边检验，简单介绍了两个正
7、态总体下的各种情况的检验，最后我用两个表格总结了上述讨论中得出的结果目录第1章 引理及似然比检验法11.1 引理11.2 似然比检验法2第2章 广义似然比检验法6第3章 广义似然比检验法的应用73.1 单个正态总体的假设检验73.2 两个正态总体的假设检验173.3表格19结论21致谢23第1章 引理及似然比检验法1.1 引理设是连续型随机变量，密度函数是.检验问题： 设是的样本，记，定理1.1 给定设 (这里)适合，则对任何否定域只要就一定有 即是所有检验水平不超过的否定域中犯第二类错误的概率最小的一个.证明 设是任何满足的否定域，则= = 1.2 似然比检验法1.2.1 似然比检验法根据引
8、理，否定域具有最优性,其中叫做似然比这个否定域确定的检验法叫做似然比检验法当似然比的分布函数连续时，是存在的.例1 设检验问题：设是来自总体的样本,求该检验问题的否定域.解 的密度函数是，根据似然比检验法只须寻找型的否定域，其中，为了必须且只须，记，而当正确时,则故应选满足查表知，故该检验问题的否定域为1.2.2 似然比检验法的最优性定理1.2 设的分布密度是的可能值集合与无关设是的样本，若在下的分布函数是连续的，则对任何，存在使得是水平为的唯一最大功效的否定域这里“唯一”的含义是：若也是水平为的最大功效的否定域，则(是Lebesgue 测度，) 证明 由于的分布函数连续，故有，使得于是的水平
9、是设是的任一子集，检验水平不超过，即，我们来证明：若则必有 （1.1）实际上 这里及下面我们恒用代替.分两种情况讨论（一）此时在集合上则 但在上故 =故(1.1)式成立.（二）令 因为的分布函数连续，故即 但 故.从而故(1.1)仍然成立.证明完毕1.2.3 似然比检验法的无偏性定理 在引理的假定下证明 记，则= =第2章 广义似然比检验法上面我们研究的是似然比检验法，我们可以发现利用似然比检验法求出的否定域既是一致最大功效的又是无偏的，但却有它的局限性，即未知参数的取值范围必须是的形式，这是很少见的，那么对于一般的我们经常采用似然比检验法的推广广义似然比检验法，这是一个很具有一般性的检验法，
10、由之可以派生出很多的具体的检验法设样本分布具有密度函数(或概率函数)为.检验问题: 称为样本值()的广义似然比由定义知，.设分别表示在及上的最大似然估计，则原假设成立，即的真值确定在内，则也在内或离很近，使得从而.当显著地大于1时，有即离很远；因与的真值很接近,因而的真值在内的可能性极小,即极不可能成立.故应该取否定域，其中满足 第3章 广义似然比检验法的应用3.1 单个正态总体的假设检验1、 设，已知，求检验问题；的广义似然比检验否定域 解 正态分布的最大似然估计，似然函数为 故 广义似然比下面我们来求：否定域其中满足即 从而 （3.1）故否定域为 （3.2）2、设 ,未知，求检验问题: 的
11、广义似然比检验否定域解 似然函数为正态分布的最大似然估计为 ，故 其中 ，由于是关于的严格增函数，故广义似然比检验的否定域为，其中满足当成立时，故 （3.3）即 . （3.4）例2 某批矿砂的个样本中的镍含量，经测定为(%) 设测定值总体服从正态分布，问在=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量的均值为解 按题意需检验设测定值总体服从正态分布，此处未知，此检验问题的否定域为，此处,查表得，又算得，, 不落在否定域内，故接受，即认为这批矿砂的镍含量的均值为3、设，已知，求检验问题：的广义似然比检验否定域解 似然函数为=时，正态分布的最大似然估计因时，我们只需考虑的情况：否定域其中满足即 则 （3.5）
12、故 （3.6）同理我们可求得，已知，检验问题：的广义似然比检验否定域为例3 要求一种元件平均使用寿命不得低于小时，生产者从一批这种元件中随机抽取件，测得其寿命的平均值为小时.已知该种元件寿命服从标准差为小时的正态分布.试在显著性水平=下判定这批元件是否合格？设总体均值为，未知.即需检验假设 .解 在这里，=为已知，因此检验问题的否定域为=，得， 落在否定域内，故应拒绝，即认为这批元件是不合格的4、设，未知，求检验问题：的广义似然比检验否定域解：似然函数为时，正态分布的最大似然估计为，故 因时， 我们只需考虑的情况其中 且故其中满足当成立时，故 （3.7）从而得到广义似然比检验否定域为 （3.8
13、）同理我们可求得：设，未知，求检验问题：的广义似然比检验否定域为例4 下面列出的是某工厂随机选取的支部件的装配时间（分）：9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.2 10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7.设装配时间的总体服从正态分布，均未知.是否可以认为装配时间的均值显著地大于（取=）？解 假设检验问题为（未知），故否定域为=，=，=，=，而=，=，因此不落在否定域内，接受，即认为装配时间得均值显著地大于5、设，已知，求检验问题：的广义似然比检验否定域解 似然函数为时，的最大似然估计时，=故 设
14、则当时，递增，而当时，递减而当为真时故 （3.9）故由 知 （3.10）其中是个自由度的分布的密度函数6、设，未知.求检验问题：的广义似然比检验否定域解 似然函数为时，时， 故 设，则，当时递增，而当时，递减而当为真时，故 （3.11）其中，满足故 . （3.12）其中是个自由度的分布的密度函数.7、设,=已知，求检验问题:的广义似然比检验否定域解 似然函数为时,的最大似然估计为时当时,当时,因,是关于=的增函数,故且 而当为真时，故 （3.13） 从而 （3.14）8、设,未知求检验问题的广义似然比检验否定域解 似然函数为当时,的最大似然估计为当时当时, 当时, 因,是关于=的增函数,故且
15、故 . （3.15）从而 （3.16）例5 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过（欧姆）.今在生产的一批导线中取样品根，测得=（欧姆），设总体为正态分布，参数均未知.问在水平=下能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解 由题意，需要检验的假设为，该检验问题的否定域为=，=，=，=而=，落在否定域内，故应拒绝，即认为这批导线的标准显著偏大以上我们讨论的只是单个总体的情况,对于两个总体的情况方法完全一样，我们只给出结论，不去详细求解3.2 两个正态总体的假设检验1、设 检验问题：此时取检验统计量 （3.17）则该检验问题的否定域为其中， 满足 （3.18）2、设 检验问题：此时取检验统计量则该检验问
16、题的否定域为其中满足 （3.19）3、设 检验问题： 此时取检验统计量 （3.20）则该检验问题的否定域为其中 满足 （3.21）4、设 检验问题： 此时取检验统计量该检验问题的否定域为 满足 （3.22）3.3表格表3-1 单个正态总体的假设检验零假设备择假设检验统计量分布否定域的决定已知已知（3.6）（3.5）已知已知（3.2）（3.1）已知已知（3.14）（3.13）已知已知（3.10）（3.9）未知未知（3.8）（3.7）未知未知（3.4）（3.3）未知未知（3.16）（3.15）未知未知（3.11）（3.12） 表3-2 两个正态总体的假设检验零假设备择假设检验统计量分布否定域的决定
17、（3.17）（3.18）（3.19）（3.20）（3.21）（3.22）结论 本文主要是研究了广义似然比检验法的具体方法并利用广义似然比检验法推导出单个正态总体和两个正态总体的各种情况下的否定域，详细推导了单个正态总体下对均值和方差的单边和双边检验，得到了各检验问题否定域见表3-1，对于两个正态总体的情形，也给出了结论见表3-2参考文献1 陈家鼎数理统计学讲义M北京：高等教育出版社，19932 范金城，吴可法统计推断引导M北京：科学出版社，20013 陈希孺数理统计引论M北京：科学出版社，19814 陈希孺高等数理统计学M合肥：中国科学技术大学出版社，19995 陈家鼎，刘婉如，汪仁官概率统计
18、讲义（第二版）M北京：人民教育出版社，19826 陈希孺等，数理统计教程M上海：上海科学技术出版社，19887 中山大学数学力学系概率论与数理统计（第二版）M北京：高等教育出版社，1980 8 中国科学院数学研究所概率统计室常用数理统计表M北京：科学出版社，19749 V.K.Rohatgi，An Introduction to Probability theory and Mathematical StatisticsMWiley，197610 R.J.Larsen and M.L.Marx，An Introduction to Mathematical Statistics (2nd edition) MPrentice-Hall，198611 Charles JStone概率统计（英文版）M北京:机械工业出版社，2003
