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1、摘 要视觉是人们感知外部世界的主要途径。随着计算机技术的不断发展，计算机视觉和立体视觉得到了极大的发展。摄像机标定是机器视觉的基础，因此研究摄像机标定方法具有重要的意义和实际应用价值。本文主要研究摄像机标定理论和方法，获取摄像机的有关参数，建立起三维空间物体与二维图像间的对应关系，为计算机视觉和立体视觉的下一步研究提供可靠的数据并打下良好的基础。文中首先对摄像机标定的基础知识进行了详细的讲解，然后介绍了几种经典标定方法。在第四章提出了本文所用的一种较为灵活的方法基于共面点的标定方法。当精度要求低时，忽略镜头畸变，采用线性方法标定出所有参数。当精度要求高时，可引入Zhang畸变模型，利用非线性方
2、法求解畸变系数。在文章的最后，本文利用畸变系数对图像进行了畸变恢复。首先，分析了图像畸变的原理；其次，通过畸变模型得到一个二元高阶非线性方程组；最后，利用牛顿迭代法求解方程组，计算得到对应的无畸变图像上的点，从实现了畸变图像的校正。 在本文中，提出了一种利用Hough算法及最小二乘法提取标定点的方法。该算法比较简单，精度较高。关键词：计算机视觉 摄像机标定 畸变系数 Hough算法AbstractHuman understands the outer world mainly by vision. Now with the development of the computer technol
3、ogy,both computer vision and stereo vision have been developing greatly.Camera calibration is the foundation of the computer vision. Therefore,researh on the camera calibration methods has great important significance of theoretical study and practical value.In this thesis,we research the theory and
4、 methods on the camera calibration,and gain the parameters about the camera .With the help of these parameters,we can construct the relationship between the 3D object and the 2D images .Whatsmore,we can provide the reliable data and lay a good foundation for the next research on computer vision and
5、stereo vision.In this thesis,we first introduce the foundational knowledge of camera calibration in detail,and then introduce some classical calibration algorithms.In the four chapter,we have introduced a algorithm which is used in this paper.This is a flexible algorithm using a coplanar target.When
6、 we require low accuracy ,we can neglect the lens distortion and linearly solve all the parameters.When high accuracy is required ,we can include Zhangs lens distortion model and solve the distortion coefficient by nonlinear algorithm.In the last of the paper,the deformation of the image have been r
7、ecovered by putting in distortion coefficient.First of all,the principle of distortion is analysised.Then a dual high-end nonlinear equation is get by the distortion model.At last,the equation is solved by Newtion iterative,it can calculate the corresponding images without distortion on the point ,a
8、nd the images are corrected.In this paper,we have introduced a method which can extract the calibration point easily.This method is Hough algorithm and Least square method.Key words：Computer vision；Camera calibration；distortion coefficient；Hough algorithm目 录摘 要I1绪论11.1 引言11.2课题研究背景及意义11.3 国内外研究现状及发展
9、动态22 摄像机标定基础理论及所需用到的技术52.1 引言52.2 透镜成像原理52.3 常用坐标系52.3.1 图像坐标系52.3.2 摄像机坐标系62.3.3 世界坐标系72.4 基本模型72.4.1 针孔成像模型72.4.2 非线性模型92.5 特征点的提取方法102.6 迭代运算法122.7 需要标定的参数132.8 本章小结143 摄像机标定方法153.1 引言153.2 标定方法153.2.1 直接线性变换法(DLT)153.2.2 Tsai的两部标定法163.2.3 Zhang 的平面标定法183.3 摄像机自标定方法203.4 本章小结204 一种基于共面点的标定方法214.1
10、 引言214.2 涉及的模型及参数214.2.1 摄像机模型214.3 具体步骤234.3.1 标定点的提取234.3.2 尺度因子，旋转矩阵和平移向量的标定234.3.3 畸变系数的确定254.3.4 畸变图像的恢复264.4 本章小结275 误差分析方法及结果285.1 引言285.2 结果评定方法285.3 实验结果295.3.1 所用设备295.3.2 实验结果数据295.3.3 实验结果分析306 总结与展望31参考文献32致 谢33第1章 绪论1.1 引言视觉是人类认识外部世界，感知外部环境的主要途径。据统计，人类认知80%的信息是依赖视觉系统获取的。随着人类在不断征服自然、改造自
11、然和推动社会进步的过程中，开始面临自身能力、能量的局限性，从而发明和创造了许多机器来辅助或代替人类完成一些任务，如智能机器，包括智能机器人等，是这类机器最理想的形式。而要发展智能机器，使其能模拟人类的功能，感知外部环境世界，一个非常重要的技术就是要赋予机器以人类的视觉功能，因而也由此产生了一门新的学科一计算机视觉(也称机器视觉或图像分析与理解)。计算机视觉系统的首要目的是用图像创建或恢复现实世界模型，然后认知现实世界。即从摄像机获取的图像或序列图像信息出发，对环境世界中的物体对象及场景进行形态分析和运动识别，最终达到对自然景物的自动分析和理解。而在计算机视觉中，首先需要解决的问题是空间三维物点
12、与其二维像点间的对应关系，该对应关系取决于摄像机的成像几何模型，成像模型的参数就称为摄像机参数，确定这些参数的过程称为摄像机标定或定标 (camera calibration)。摄像机标定的目的就是要确定二维图像坐标系与三维世界坐标系间的对应关系。因此，摄像机标定是计算机视觉及其应用能否实现的前提和基础，只有对摄像机进行恰当的标定后，才能根据摄像机采集的图像或图像序列中物体的二维坐标推断出相应物体在三维世界中的实际位置。1.2课题研究背景及意义随着跨学科性研究的不断深入和计算机技术的飞速发展，计算机视觉越来越受到人们的重视，并己应用于视觉监控、汽车牌照识别、交通事故现场重现、三维测量、机械零件
13、自动识别、医学图像分析等诸多领域，同时在航空航天、军事等重要部门也发挥着越来越重要的作用。其不但可以替代许多人工操作，提高生产自动化水平和精度，更是许多常规方法无法实现时的有效解决途径。 摄像机作为计算机视觉获取图像的主要工具，对摄像机进行准确标定是计算机视觉应用必不可少的步骤，也是顺利开展其它研究工作的前提和基础，具有重要的理论意义和实用价值。迄今为止，针对摄像机标定问题已提出了很多方法，摄像机标定的理论问题也己经得到较好的解决，但随着应用的发展，对摄像机的测量精度有了更高的要求，而要提高摄像机的测量精度，对摄像机进行高精度标定是其中一项重要的工作。当前研究工作的重点是如何针对具体的实际应用
14、，采用特定实用、简便、快速、准确的标定方法。1.3 国内外研究现状及发展动态摄像机标定作为计算机视觉的第一个环节，目前已得到广泛研究。虽然一些与测量有关的信息可以用未标定的摄像机得到，但当需要获取空间物体的尺度、度量信息时，对摄像机进行有效标定就显得非常重要。只有使用精确标定过的摄像机，才能从图像投影坐标中获取真实世界物体的距离测量信息。早期的摄像机标定技术起源于十九世纪摄影测量学 (Photogrammetry)中的镜头校正，主要用来解决视点 3D坐标与其对应的2D像点坐标间的精准匹配问题。摄像机模型就是由定义这个匹配关系的参数组成，通常将这些参数分为外部参数和内部参数。外部参数将摄像机看作
15、一个整体，用来表征摄像机的位姿，如其在3D空间所处的位置和方向;内部参数主要描述镜头和传感器的固有属性。但在摄影测量学中，通常将前者称为外方位(exterior orientation)。后者称为标定(calibration)。而在计算机视觉中，标定(calibration)这一术语则包含了二者，本文中提到的摄像机标定均采用计算机视觉中的说法。随着二战中飞机的大量使用和航空摄影与军用地图测绘的兴起及立体测绘仪器的出现，镜头校正成为研究的热点问题，以满足日益出现的三维测量需求和对更高测量精度结果的要求。此时，涌现了大量与镜头校正技术相关的文献，R.Roelofs在其文献中对这些技术进行了总结。这
16、些早期的摄像机模型均没有考虑镜头的畸变，使用的都是透视投影模型和图像平面仿射变换。1950-1970，是镜头校正技术发展的黄金时期，开始建立起一些镜头像差模型，尤其是D.C.Brown等人对此做出了很大贡献，推导出了在近焦距情况下给定位置处的径向畸变的表达式，并证明了只要测得镜头两个位置处的径向畸变，就可求得该镜头任意位置的径向畸变。这些畸变像差表达式为后来的各种摄像机非线性模型的发展奠定了基础。1966年，B.Hallert首次将最小二乘法用于镜头标定数据处理，并得到了精度较高的测量结果。1975年，w.Faig针对摄像机成像过程中的各种因素，建立了较为复杂的非线性摄像机模型，并利用非线性优
17、化方法来求解。但由于非线性优化方法本身需要线性模型提供解析解，使得该方法的运算速度较慢。1986年， R.YTsai综合了上述方法，提出了著名的两步标定法思想:首先利用直接线性变换方法求解出大部分参数，再对少数参数采用非线性优化方法进行迭代求精，因而运算速度较快。但由于该方法仅考虑了镜头的一阶径向畸变，与实际摄像机畸变还有一定差距。J.Weng在Tsai畸变模型基础上进行了改进，使之能适应较大视场和畸变较严重的场合。这一时期，摄像机标定工作变得异常频繁，有力地促进了标定技术的研究和发展。随着摄像机的广泛应用，在有些工作场合，需要经常性调整摄像机，且设置已知的标定参照物也不太现实，此时需要一种不
18、依赖于标定参照物，能直接面对场景环境做出标定的标定方法。20世纪90年代初，FaugeraS等人首先提出了“自标定(Self-Calibration)”的概念，使在摄像机运动任意、场景未知的一般情况下也能对摄像机做出标定。他们从射影几何的角度出发，证明了每两幅图像间存在两个形如Kruppa方程的二次非线性约束，通过直接求解Kruppa方程组，就可以解出摄像机的内参数，但直接求解Kruppa方程非常困难，特别是当图像数量增加时，解的个数可能会呈指数增长，使得求解失去意义。鉴于此，人们又提出分层逐步标定的思想，即先对图像序列做射影重建，然后再进行仿射标定和欧氏标定。分层逐步标定方法主要有Hartl
19、ey的QR分解法、Pollefeys的模约束法、Triggs的绝对二次曲面法等。针对实际应用中可能会出现摄像机内部参数实时改变的情形，如缩放焦距等，此时不能再使用上述自标定方法，因此，研究者们又进一步提出可变内参数摄像机自标定的策略。1996年，Heyden，Pollefeys等从理论上证明了在内参数满足一定条件的情况下，完全可以实现可变内参数的自标定。随后，Pollefeys和sturm分别提出了针对可变焦距情况下的摄像机自标定方法，Pollefeys采用类似Moons等人的方法，即先让摄像机在保持焦距不变的情况下做一次纯平移运动，获取摄像机的仿射标定，计算出摄像机的初始焦距值，再改变焦距，
20、用模约束法对变化了的焦距情况进行标定。摄像机自标定研究方面，国际上有代表性的研究组有:美国ILLinois大学的Mayi，Microsoft研究院的张正友，英国牛津大学的Zisserman组，澳大利亚的Hartley，法国的Faugeras组和Triggs及sturm组，瑞典的Heyden组，以色列的Shashua，比利时的 VanGool组等。最完善的参考书有Hartley和Zisserman合著的MultipleViewGeometryineomputervision一书。从本质上来说，所有的自标定方法都只是利用摄像机内部参数本身存在的约束，与摄像机的运动和场景无关，这是这类方法相对比较灵
21、活的原因，潜在的应用范围非常广泛，因此成为近几年的热点研究问题。但其最大的缺点是鲁棒性差，需要求解多元非线性方程，比较适合于标定精度要求不高(如虚拟现实、通讯等)的场合。鉴于传统标定方法和上述自标定方法的不足，马颂德等人提出一种基于主动视觉的标定方法，即在已知摄像机的某些运动信息的情况下进行摄像机标定的方法。这些信息包括定量信息和定性信息，如摄像机按某一给定量朝某一方向平移或在某一位置作纯旋转或纯平移运动等。与自标定一样，它也无需标定物，只是增加了一些摄像机的运动信息。这类方法的优点是可以线性求解出内外参数，因而算法简单，并能提高算法的鲁棒性。目前研究的焦点是如何减少对摄像机运动的限制。近几年
22、，国内中科院自动化研究所模式识别重点实验室及其他学者对基于主动视觉的摄像机自标定方法做了大量研究，发表了许多有关此类方法研究成果的文献。这类方法的缺点是实验条件要求高，实验设备昂贵，因此系统的成本非常高，不是一般个人和单位所能承受的。微软研究院的张正友在经过大量研究后提出了一种介于传统标定和自标定之间的妥协的方法基于移动平面模板的标定方法。该方法也分为两步:首先通过线性模型分析，计算得到摄像机内外参数的优化解，再用基于最大似然准则方法进行非线性优化求精。该方法既具有较好的鲁棒性又不需昂贵的精制标定块，实用性强，但在进行线性估计时，由于假定模板图像上的直线经透视投影变换后仍为直线，进而提取角点坐
23、标，实际上引入了误差，特别是在广角畸变较大的情况下，校正结果偏差较大。随着摄像机成像分辨率、图像采样速率等方面的提高，摄像机被越来越广泛地应用于视觉测量、三维立体测量、运动测量及航空航天、军事等领域，对摄像机标定的精度要求也越来越高。尽管目前有很多的标定方法，但都还不太成熟，存在一定的缺陷和局限性，因此，我们对摄像机标定方法的研究没有尽头，在特征点提取、成像模型建立和表达、参数冗余、方程求解等方面还需更好的解决，这也是今后摄像机标定技术研究亟待解决和研究的重点内容。第2章 摄像机标定基础理论及所需用到的技术2.1 引言要进行摄像机标定技术的的研究，必须对摄像机标定基础理论知识有较好的掌握。本章
24、将从凸透镜成像模型开始介绍，并介绍了摄像机标定中常用的坐标系，以及常用的摄像机标定模型。其次，将介绍本文所用的提取标定点的方法基于Hough变换以及最小二乘法的圆心提取。目前，大多数现有论文都采用的是棋盘标定靶，然后通过Harris角点检测等算法检测角点。这些算法虽然具有较高的精度，但是较为复杂。而通过Hough变换，再加以最小二乘法拟合来得到标定点，算法不但简单，且精度较高。在本章还介绍了一个重要的数学运算方法牛顿迭代法，这个方法可以使得我们快速的求解一个二元高阶方程组。本章的最后列出了需要标定的参数。2.2 透镜成像原理O BCAB根据物理学中的透镜成像原理： 其中，为透镜焦距；，为像距；
25、,为物距。 大多数情况下 。则有，这时可以将透镜成像模型近似的用小孔成像模型代替，如图2.2。2.3 常用坐标系2.3.1 图像坐标系数字图像为一个MxN的数组，M行N列的图像的每一个元素(称为像素)的数值即是图像点的亮度(或称灰度)。在图像上定义直角坐标系u，v，每一个像素的坐标(u，v)表示该像素在数组中的列数与行数。所以，(u，v)是以像素为单位的图像坐标系的坐标。由于(u，v)只表示像素位于的列数与行数，并没有用物理量纲表示出该像素的位置，需要再建立以物理单位表示的图像坐标系。该坐标系以图像内的某一点O1为原点，X轴与Y轴分别与u,v轴平行，如图2.1所示。UV O0O0VUO1图2.
26、1 图像坐标系在X、Y坐标系中，原点01定义在摄像机光轴与图像平面的交点，该点一般位于图像中心处，但由于摄像机制作的原因，也会有些偏差。若O1在u,v坐标系中的坐标为(u0,v0),X轴与Y轴方向上的像素间距分别为dx,dy,则图像中任一个像素在两个坐标系下的坐标有如下关系: (2.1)(2.1)式可用矩阵表示为：（2.2） = 2.3.2 摄像机坐标系摄像机成像几何关系如图2.2所示，其中点Oc称为摄像机的光心，Xc轴和Yc轴分别与图像的X轴与Y轴平行，Zc轴为摄像机的光轴，与图像平面垂直。光轴与图像平面的交点，即为图像坐标系的原点O1，由点Oc与Xc，Yc和Zc轴组成的直角坐标系称为摄像机
27、坐标系，OcO1为摄像机焦距。YcXcOcXYO1pPOwXwYwZw图2.2 摄像机坐标系和世界坐标系2.3.3 世界坐标系由于摄像机可以安放在环境中的任意位置，因此我们选择一个基准坐标系来描述摄像机安放在现实世界的位置，并用它描述世界环境中任何物体的位置，该坐标系就称为世界坐标系。它由基准观测原点Ow和Xw和Yw，Zw轴组成，如图2.2所示。摄像机坐标系与世界坐标系之间的关系可用旋转矩阵R与平移向量t来描述。因此，如果空间中某一点P在世界坐标系与摄像机坐标系下的齐次坐标分别是(Xw，Yw，Zw，l)T与(Xc，Yc，Zc，1)T，则有如下关系:= (2.3)其中，R为3*3正交单位矩阵，,
28、为三维平移向量，。2.4 基本模型2.4.1 针孔成像模型针孔成像模型又称线性摄像机模型。空间任意一点P在图像中的成像位置可用针孔模型 (pinhole camera)近似表示，即任何点P在图像上的投影位置p为光心Oc与P点的连线OcP与图像平面的交点，这种关系也称为中心投影或透视投影(perspective projection)，如图2.2所示。比例关系有如下关系式： (2.4)其中,为P点的图像理想坐标点，为空间点P在摄像机坐标系下的坐标。我们用齐次坐标与矩阵表示上述透视投影关系：= (2.5)将式(2.2)与式(2.3)带入上式，我们就得到由世界坐标系表示的P点坐标与投影点p点坐标(u
29、，v)的关系：= (2.6)=D=KD =P其中 称为比例因子，K称为摄像机的内部参数矩阵，D称为摄像机的外部参数矩阵，P称为投影矩阵。=f/dx称为u轴上的尺度因子，或称为u轴上的归一化焦距；=f/dy为v轴上的尺度因子，或称为v轴上的归一化焦距；称为主点坐标。由于、和只与摄像机内部结构有关，称为摄像机内部参数；R和t由摄像机相对于世界坐标系的方位决定，称为摄像机外部参数。上述的摄像机模型中K有四个参数。为了增加一般性，我们可以考虑含有五个参数，即： K = (2.7)增加的参数s称为扭曲参数。s不等于零，可以解释为CCD阵列的像素元素产生扭曲使得X轴和y轴不垂直。对大多数摄像机而言，其扭曲
30、参数为零，但在某些特殊情形下，它可能取非零值。2.4.2 非线性模型由于摄像机光学系统并不是精确地按理想化的针孔成像原理工作，存在有透镜畸变，物体点在摄像机成像平面上实际所成的像与理想成像之间存在有光学畸变误差，因此，在某些实际应用中线性模型并不能准确地描述成像几何关系，尤其在使用广角镜头时，在远离图像中心处会有较大的畸变。下面先介绍一下摄像机镜头的畸变，在此基础上，介绍摄像机成像的非线性模型。在这里，我们主要考虑三种类型的摄像机畸变。首先是由于组成摄像机光学系统的透镜组不完善，造成的径向畸变，其次是由于不正确的镜头组合引起的离心畸变与摄像机装配不完善造成的薄透镜畸变，后两种畸变都包含径向畸变
31、与切向畸变。非线性畸变如图2.3所示：理想点畸变点Oyx图2.3 非线性畸变(1)径向畸变：径向畸变主要是由于组成摄像机光学系统的透镜组不完善造成的。由于透镜系统的远光轴区域的放大率与光轴附近的放大率不同，使得图像中的点向内(远光轴区域的放大率比光轴附近的大)或向外(远光轴区域的放大率比光轴附近的小)偏离光轴中心。这种偏离是关于圆对称的。其数学模型如下： (2.8) 其中，称为径向畸变系数,为P点的图像畸变坐标。(2)离心畸变：实际的摄像机光学系统中各镜头的光轴中心并不严格共面，这种缺陷造成了图像的离心畸变。离心畸变包括径向畸变和切向畸变，数学模型如 (2.9) (3)薄棱镜畸变：薄透镜畸变是
32、由透镜设计、生产的不完善和摄像机装备的不完善(如一些透镜或者图像传感矩阵发生轻微的倾斜)所引起的。这种畸变可以在光学系统中添加一薄三棱镜的方式来加以完全修正，但这又引起了额外的径向和切向畸变,数学模型如下： (2.10)综合考虑上面三种畸变，则摄像机的非线性模型可以用下列公式来表示： (2.11)其中，(Xu,Yu)为由针孔线性模型计算出来的图像点的理想坐标。(Xd,Yd)是实际的图像点坐标。2.5 特征点的提取方法在本次设计中，将一个印制有个圆，间距为40mm的图纸作为标定靶，将这些圆的圆心作为特征点。通过Hough算法，再经最小二乘法拟合来得到这些圆心坐标，现将该方法详细叙述如下：已知一黑
33、白图像上的一条直线，要求出这条直线所在的位置。我们知道，直线的方程可以用来表示，其中k和k是参数，分别是斜率和截距。过某一点的所有直线的参数都会满足方程。即点确定了一族直线。方程在参数k-b平面上是一条直线。这样，图像x-y平面上的一个前景像素点就对应到参数平面上的一条直线。例如，设图像上的直线是y=x, 我们先取上面的三个点：A(0,0),B(1,1),C(2,2)。可以求出，过A点的直线的参数要满足方程b=0,过B点的直线的参数要满足方程1=k+b,过C点的直线的参数要满足方程2=2k+b, 这三个方程就对应着参数平面上的三条直线，而这三条直线会相交于一点(k=1,b=0)。同理，原图像上
34、直线y=x上的其它点(如(3,3),(4,4)等)对应参数平面上的直线也会通过点(k=1,b=0)。这个性质就为我们解决问题提供了方法：首先，我们初始化一块缓冲区，对应于参数平面，将其所有数据置为0。对于图像上每一前景点，求出参数平面对应的直线，把这直线上的所有点的值都加。最后，找到参数平面上最大点的位置，这个位置就是原图像上直线的参数。以上就是霍夫变换的基本思想。就是把图像平面上的点对应到参数平面上的线，最后通过统计特性来解决问题。假如图像平面上有两条直线，那么最终在参数平面上就会看到两个峰值点，依此类推。在实际应用中，形式的直线方程没有办法表示x=c形式的直线(这时候，直线的斜率为无穷大)
35、。所以实际应用中，是采用参数方程这样，图像平面上的一个点就对应到参数平面上的一条曲线上。现在，我们要从一副图像中检测出半径以知的圆形来。这个问题比前一个还要直观。我们可以取和图像平面一样的参数平面，以图像上每一个前景点为圆心，以已知的半径在参数平面上画圆，并把结果进行累加。最后找出参数平面上的峰值点，这个位置就对应了图像上的圆心。在提取圆心的过程中，使用的是圆参数方程：利用Hough算法提取圆心的具体过程如下：1.首先定义一个二维数组aij,再进行全图扫描，利用圆的参数方程，对每一个边缘轮廓点(每一个点坐标即上述参数方程的x，y坐标)计算圆心坐标，其中从1度到360度扫描计算，半径r从90到1
36、20进行扫描计算(90，120确定方法：可以将图片用画图板打开，查看半径的一个大概范围，这么做可以减小计算量，提高工作效率)。2.对扫描的结果进行投票。每算得一个圆心坐标，记为(i,j)，就在相应的aij处累加一。(如果边缘轮廓上的点全都在一个圆上，那么利用这些点计算得到的圆心坐标必然相同，即这个点投票次数最多)。这样，如果有三十个圆，那么，aij中应有三十个峰值。3.合理选取一个阈值，在这个阈值以下的所有aij赋值为零。4.对所有非零的aij进行扫描，当遇到非零值时，取一个范围(这个范围应能够把该点附近所有的非零点包括进来)，对这个范围内的所有i,j值进行最小二乘法拟合，列出以下方程： 其中
37、坐标数量由累加投票的次数决定。对上式进行最小二乘法拟合即可精确得到圆心坐标。2.6 迭代运算法在计算得到畸变系数后，我们需要反求出畸变前的坐标。这就要求我们会求解一个二元高阶方程组。二元高阶方程组形式如下：其中,为已知数。 有许多方法可以求解出这个方程组，这里选用牛顿迭代法求解。这里，需要说明其中的一些计算公式。1.计算偏导数：2.雅可比行列式： ， 3.具体算法流程图如下： 开始选初值，计算各自偏导数：及雅可比行列式：JJ=？0否计算两个方程在估计点处的值：否Step5)个特征点的坐标(Xw,Yw,Zw)及其对应的图像点坐标(u，v)，11个参数就可以通过线性最小二乘方法计算。当不考虑非线性
38、畸变时，直接线性变换方法和利用透视变换矩阵的摄像机标定方法是相同的。当考虑非线性畸变时，DLT方法中图像点与三维标定物上特征点的对应关系为： (3.2)其中，是标定参照物上的第i个特征点的坐标，是标定参照物上该特征点对应的实际图像坐标。图像点的坐标可以通过数字图像处理技术获得。是校正后的图像点坐标，和是在图像点处的镜头畸变校正。因此我们可以看出，在直接线性变换方法中加入非线性畸变因素是比较方便的。3.2.2 Tsai的两部标定法Tsai在1986年首次提出基于径向约束的两步法(Two-Stage)标定方法，该方法的第一步是利用最小二乘解超定线性方程，给出外部参数;第二步求解内部参数，如果摄像机
39、无镜头畸变，可由一个超定线性方程解出。如果存在径向畸变，则可结合非线性优化方法获得全部参数。该方法计算适中，精确度较高。YwXwZwPozZcL2PXcYcO1YXPuL1OcOwPd图3.1带有径向畸变的摄像机模型在图3.1中，设是世界坐标系中物体点P的三维世界坐标，是该点在摄像机坐标系中的坐标，是成像平面坐标系，是理想的图像点，是畸变后的实际图像点。假设只考虑摄像机镜头径向畸变，无论畸变如何变化，和三点始终在一条直线上，焦距f的变化只会影响L1的长度而不会影响它的方向，图像中心O1到的向量Ll始终与向量L2平行。这就是Tsai两步法中最重要的径向排列约束 RAC(radial alignm
40、ent constraint)。在Tsai的方法中，从世界坐标到像素坐标的变换过程可以分为如下几步：(1) 由式(2.3)可知，由世界坐标系到摄像机坐标系的关系为：= + (3.3)(2) 针孔成像模型下摄像机坐标系与成像平面坐标系的关系为:， (3.4)(3) 考虑镜头畸变的影响。因为径向畸变是影响工业机器视觉精度的主要因素,所以，我们只考虑径向畸变，用一个多项式近似表示: (3.5) Tsai两步法标定过程如下：第一步:求解旋转矩阵R，平移向量t的分量。(1) 采用n个非共面点进行标定，计算机图像坐标为，相应的三维世界坐标为，i=1，2n。为计算机屏幕的中心点坐标。(2) 由RAC约束条件可得： = (3.6)移项整理得到： (3.7) 其中，是已知的，b=。当n7时，可用最小二乘法求解这个超定方程组，得到b。(3) 利用R的正交性可以算出。第二步：求解有效焦距f，平移向量t的分量和透镜畸变系数看k1；(1) 对每个特征点，不考虑畸变有 (3.8)设k1=0，为计算机屏幕的中心点坐标，由式(3.3)和式(3.8)可得： = (3.9)其中，。求解由式
