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1、目 录摘 要1Abstract11.引言22.高等教育收费的模型33.高校学费基本模型的定性分析5 定性分析模型7 高校招收人数改变下的模型94.学生的高校学费的满意度分析11 学生满意度模型11 满意度模型检验学费的实例135.高校学费模型的评价13参考文献15成 果 声 明16致 谢17基于高校教育收费问题的数学模型与定性分析杨先成(数学与计算机科学学院 数学与应用数学2005级)摘 要 首先，依据“教育成本分担”的收费理论，对高校收费问题的微分模型参数作进一步讨论，在适当假设下，得到了3个新的高校收费的数学模型；其次，通过对所建模型的定性分析，得出高校保持其教育收费的几个条件；最后，从学
2、生角度应用卡尔逊学费计算公式分析学生对高校学费的满意情况。 关键词 高校教育收费 数学模型 定性分析 满意度Mathematical Model based on the Problem of University Education Fees and its Qualitative Analysis Xiancheng Yang(Grade 2005, Applied Mathematics, School of Mathematics and Computer Science) Abstract: Firstly, differential model about university f
3、ees problem is discussed again by increasing parameters, based on present situation in China. And three new mathematical models about university fees are obtained under appropriate assumptions. Then, several conditions of maintaining university education fees are presented through qualitative analys
4、is of the model. Finally, satisfaction model has been established and the satisfaction situation of university fees are analysed from the perspective of students.Keywords: University education fees; Mathematical model; Qualitative analysis; Satisfaction1. 引言高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，倍受到党和政府及社
5、会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，一定的培养质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，受教育者必须支付一定的费用才能入学，至1999年我国的高等教育收费政策开始全面实施以来，如何解决高等教育收费受到政府和社会各界的关注。学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，他是一个敏感而又复杂的问题，过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证教学质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论，我国在经济快速增长的今天，高等教育越来越受社会各界的关注，如何建立能使大家信服的数学模型便是当今的热点。 如何合理地解决高等教育收费问题,解决贫困生的学费支付
6、问题,并且协调高等教育发展、人才培养和教育公平之间的关系,避免突出社会矛盾问题的出现是当今中国面临的社会难题之一。 多年来,已有相当多的教育理论界学者从教育经济学,社会学和法学等角度出发对此进行了有益的探讨,并提出了一些相应的对策。对于高等教育收费及其相关问题,近年来有学者通过数学模型进行了分析, 如文献1就从人均分担的教育成本、贫困生的人均未支付的费用与高校的教育收费关系的讨论，建立微分方程模型来分析高校收费情况。近年来，我国对贫困生的资助体制越来越完善，贫困学生的教育费用问题也越来越得到改善，贫困生的收费问题还直接体现了高等教育的公平性原则，处理不好会造成人才的流失，关系国家的和谐发展。对
7、适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金，所以，在建立模型时还应该考虑到国家和社会对贫困生的资助这一因素，这是本文所建模型中与文献的不同之处。而高校学费不仅关系到高等院校的经费问题，而且关系到学生的切身利益，学生也有权选择是否接受高等教育，乔治萨卡罗斯（Georgepsacharopoulos）通过计算私人收益率和社会收益率，认为高等教育的个人收益高于社会收益。高等教育需求对学费及资助具有灵敏反应，由于目前资助体系的有限性的限制，收入水平较低的家庭可能会较难维持子女的高等教育。如何收费才能既不影响高校的教育
8、质量，且也能使学生达到最大的满意，这也是本文要分析的问题之一，应用卡尔逊学费计算公式，建立学生的满意度函数，对高校学费情况进行分析，最后以上海财经大学为例，说明高校学费的学生满意度情况。本文主要目的是通过建立高校微分方程模型和学生满意度模型，应用数学关系式讨论、分析高等学校收费情况。2. 高等教育收费的模型高校的教育成本要由政府、社会和受教育者个人分担，然而，高校的教育收费只与受教育者个人分担的教育成本有关。根据文献1，认为高校教育收费的主要影响因素是收费标准(它通过受教育者个人分担的教育成本体现)和贫困生的无支付能力(会拖欠学费)，以收费年为单位,设高校的招生人数N 为连续变量,高校的教育收
9、费为,人均分担的教育成本为，贫困生的人均未支付的费用为,它们都是招生人数的函数.因为 和满足下列条件:当增大时,有增加;当增大时,有减少,由此可假设的变化率与成正线性相关,而与成负线性相关,于是,就得到了如下描述高校教育收费问题的微分方程模型 其中, 是比例系数.近年来，国家对贫困生的资助体制越来越完善，在建立学费模型时，还需要考虑国家、社会对贫困生的资助这一因素，鉴于此可对程模型进行改进。设国家、社会对未能支付学费学生的人均补贴为.于是，将模型改写成如下模型： 现在分析与的关系：在贫困生的人均未支付的费用增加时，国家、社会对未能支付学费学生的人均补贴也要增加，于是有其中为参数变量，也可以理解
10、成国家、社会对未能支付学费贫困学生的人均补贴的强度。于是可将上述模型改写成 这也就是改进后的学费微分模型，如果令，国家、社会对贫困学生的人均学费补贴的强度，则有也即是模型.下面进一步分析高校学费，由于高校贫困生的人均未支付费用会随受教育者个人分担的人均教育成本的增加而增加，则有，其中是单调增加的函数，表示增长率。因此可将模型写成 现从人均分担的教育成本的角度考虑国家、社会对未能支付学费贫困学生的人均补贴，由于，可以把国家、社会对未能支付学费贫困学生的人均补贴为看成一个关于招生人数的函数.与的关系如下：人均分担的教育成本增加时，国家、社会对未能支付学费贫困学生的人均补贴也会随着增加，于是有，其中
11、为一单调递增函数。现从高校的教育收费的角度，分析人均分担的教育成本、贫困生的人均未支付的费用，国家、社会对未能支付学费贫困学生的人均补贴与高校的教育收费的关系：当增加时，都会增加，于是有，,.其中,都是关于的单调递增函数，也即，此时可将模型改写成 令，为国家、社会为贫困生的人均分担费用占高校教育收费的比例，.于是如果将模型的分别视为时间，一座城市的人口数，出生率，死亡率，迁移率，那么模型还用来可以描述一座城市的人口自由发展的微分方程模型。3. 高校教育收费基本模型的定性分析 定性分析模型在本节中，主要通过定性分析和，讨论在一些因素改变时，解决高校教育收费问题的方案，然后应用模型结合一些具体函数
12、表达式分析学费的收取方面存在的问题。联系模型可知：高等教育收费为常数的充分必要条件是 结合实际，一定时期内，高等教育收费不变（即是常数）时，国家、社会对未能支付学费贫困学生的人均补贴也将不变（即是常数）。而个人分担的教育的人均教育成本和贫困生的人均未支付费用的关系为描述。于是，高校保持收费不变的条件是要在个人分担的教育的人均教育成本和贫困生的人均未支付费用之间进行均衡。为了实现这种均衡，则需存在正根，由此可知：当高校教育收费和国家、社会对未能支付学费贫困学生的人均补贴不变时，高校招生人数为一定值，个人分担的人均教育成本也是确定的。现阶段，我国的高等教育收费体制已有较好的改善，但还存在着很多的不
13、协调，如我国将个人分担的教育成本比例的上限定为，而实际上高校中贫困生的比例已超过，出现这种失衡现象的原因高校成本难于核算，容易使收费标准超过个人分担的教育成本上限。造成我国高校一方面教育经费严重不足，而另一方面又存在教育资源的严重浪费。为了出现最大程度的均衡，我国采取了很多相应的措施，从模型可知：在个人分担的人均教育成本不变时，增加国家、社会对未能支付学费贫困学生的人均补贴，能减少贫困生的人均未支付的费用，保持高校收费的平衡。在高校在扩大招生规模条件下，从政策措施上增加政府的教育经费投入，尤其是增加对未能支付学费贫困学生的人均补贴，优惠鼓励和吸引社会捐资办学，以助学贷款、奖学金、勤工助学等形式
14、解决贫困生的支付能力,都是实现均衡的手段。根据模型这都是通过增加这一因素来调节学费的具体表现。而遗憾的是我国现阶段对贫困生的补贴仍然有限的，以我国西部地区某省为例，高等教育学费和生活费平均每年元，而对于人均年收入只有元的农民而言，学费对家庭的负担过重，勤工助学占，减免学费占，临时困难补助的占.相比之下，可以看出贫困生的补贴仍然有限的,如果某同学获得国家助学贷款的话，那么除了学费还需解决在校期间的生活问题。所以，要解决贫困因素带来的学费问题本质应该是提高国民收入，让每一个家庭有一定的经济基础,这样才能提高全民素质。下面用函数极值判别高校保持教育收费不变的几种情况分析(在分析以下情况时,都把国家、
15、社会对未能支付学费贫困学生的人均补贴看成常数)，由式知当招生人数为时，高等教育收费保持不变，即，下面分析：1) 当，时，有，高校的教育收费达到极小值。这说明:在个人分担的人均教育成本增加的条件下,只要把贫困生的人均未支付费用的增长率控制在一定的限度内,就可以保持高校的极小收费不变。2) 当时,有,高校教育收费达到极小值。这说明,如果贫困生的人均未支付费用的增长率超过了一个度,那么只有通过降低个人分担的人均教育成本,才能保持高校的极小收费不变。3) 当时,有,高校教育收费达到极大值。这说明,在个人分担的人均教育成本减少, 贫困生的人均未支付费用的增长率在一定限度内时,高校可以保持收费极大值不变。
16、 4) 在条件下,单调增加, 也较大,高校的教育收费达到极大值。这种情况相当于高收费,会出现部分贫困生因为无支付能力而拖欠较多的学费,或者失学的现象,因此,在解决现实问题时应当尽力避免。当把国家、社会对未能支付学费贫困学生的人均补贴，并且令，其中为一单调递增函数, 表示在人均分担的教育成本为为一定值时,国家对贫困生的补贴也是恒定的, 而且,则有要使学费保持不变,也可以用和函数进行协调, 越大，贫困生欠费情况越不明显；越大，国家的补贴随人均分担的教育成本增加幅度就越大，学费也就越低，贫困生欠费情况也将越不明显。以上两种方法都是通过增加国家、社会对未能支付学费贫困学生的人均补贴来解决贫困生欠费问题
17、的途径。当然这是一种理想情况,因为政府在教育方面的经费输出还要受国家经济情况的制约,我国高校学费占人均GDP的比例远远高于世界平均的水平,从1999年开始,甚至达到了的高比例,这充分说明了我国的经济总体是并不乐观,所以只靠政府的补贴来解决高校贫困生欠费问题,依照我国目前经济情况,这并不现实。从模型可知:高校的教育收费为常数的充分必要条件是 由于，则，与，二者的关系可以建立函数关系式： （其中为参数变量）则的关系可以用进行均衡，则存在正数使式成立。下面讨论的稳定性情况，由于是一有界递增函数，即，对它的最小和最大两极进行讨论：最小极，当时，国家对贫困生没有补贴或者补贴很少时：5) 当时，是模型的稳
18、定平衡点，这说明，在个人分担的人均教育成本增加的条件下，只有贫困增长率在一定的限度内，才会保持高校的教育收费稳定不变。6) 当时，是模型的稳定平衡点，这说明，在贫困生的人均未支付费用的增长率超过一个度，只有通过降低个人分担的人均教育成本，才会保持高校的教育收费稳定不变。最大极，当时，国家对贫困生的人均补贴达最大值，在这种情况下，需要分两种情况：7) max 时，国家对贫困生的补贴完全能解决贫困生的欠费情况，则一定是学费的稳定平衡点.8) max 时，国家对贫困生的补贴不能完全解决贫困生的欠费情况，则在讨论的稳定性时可以根据和的方法讨论，但这个度要比小。 高校招收人数改变下的模型以上对高校学费情
19、况根据模型进行了定性分析，得到了高校学费在其影响因素的变化的情况下，它的相关变化和稳定性，下面以一些具体的函数表达式，应用模型来说明高校学费问题。设在免费教育时，招收人数为；而在收费教育时，政府规定的个人分担的人均教育成本为，高校招生人数为.即有 下面分两种情况进行说明，也即当高校招生人数增加时：i) 个人分担的人均教育成本随之增加设和为线性函数。根据条件有，其中，代入模型（2）后，得高校教育收费模型 可见，当时，保持高校教育收费不变的充要条件为，也即；又由于，因此高校招生人数规模可以在政府规定的范围内扩大。 如果，当时，说明高校扩大招生规模时，只有贫困生未支付费用的增长率较小、国家对贫困生的
20、资助力度较低时，可调高教育收费。当时，说明高校扩大招生规模时，只有贫困生未支付费用的增长率较大、国家对贫困生的资助力度较大时，可调低教育收费。积分式，则有高校的教育收费是招生人数的二次函数 如果按式调整教育收费时将会偏高。下面改设为二次函数，于是模型可写成 积分式得 结合条件，由式知，高校的教育收费为正的招生人数规模为 上式可知，在国家对贫困生资助一定时，当政府规定分担的人均教育成本较低时，有利于高校扩大自主招生规模。ii) 个人分担的人均教育成本随之减少 设和，由条件可知，带入模型得积分式得上式可知，教育收费与招生人数呈对数关系。因 ，因对数函数的增长率明显低于二次函数，按照式去调整高校学费
21、明显低于式。高校的教育收费可随招生规模的扩大而缓慢增长.当，可知，高校的招生规模可以超过政府的规模，并且收费增长得较慢，这是一种较好的高校学费模型。 从高校学费的现状分析模型以上通过函数关系式的定性分析了高校学费问题，讨论了相关因素变化下，稳定学费的一些方案，下面通过数据来分析我国高校学费的现状。表1 我国19952004年城乡居民收入与高校生均交纳学费情况（单位：元）年份1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004生均学费农村家庭纯收入城镇家庭可支配收入城乡居民收入差距学费占农村家庭纯收入比例学费占城镇家庭可支配收入比例1114 1319
22、 1620 1978 2769 3550 3895 4224 4419 47851578 1926 2090 2162 2210 2253 2366 2476 2622 293612849 14517 15481 16275 17562 18840 20579 23108 25417 282652075 2912 3070 3263 3643 4026 4493 5227 5850 6485 0.177 0.171 0.194 0.228 0.313 0.394 0.411 0.427 0.421 0.4070.087 0.091 0.105 0.121 0.158 0.188 0.189 0
23、.183 0.174 0.169表2 我国近年来高校招生人数（单位：万人）年份1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007高校招生人数96.6 100.0 108.4 159.7 220.6 268.3 320.5 382.2 447.3 504.5 546.1 565.9近年来，为了达到提高我国全民素质的要求，高校都在不断的扩大招生规模，这正合乎高校招生人数增加时，个人分担的人均教育成本随之增加的情况，在上世纪末，我国开始实施扩招，在当时国家对贫困生的资助很有限，故高校就通过提高学费的方法来解决扩招问题；但近年我国开始
24、加大对高校教育的关注，尤其是加大了对贫困生的资助，高校的学费增长幅度较小。上表也可看出，在城乡二元化严重的情况下，高校学费给农村家庭带来的压力也将越来越大。解决城乡二元化的问题关系重大，我国现正在大力解决这一问题，相信在我国的未来，在贫困问题逐渐得到解决的情况下，我国的高校收费问题与招生规模最终会沿式给出的对数模型增长。4. 学生的高校学费的满意度分析 学生满意度模型 高等教育非义务教育，学生有自主选择是否接受高等教育。高等教育收费可以开成是一种投资行为，接受高等教育后，能否为学生带来更好的经济收益是学生衡量高校教育收费的标准。高校社会的满意度就是人们对高校所提供的教育产品或服务满足其需求的程
25、度的认知并由此所产生的心理经验。学生是高校的主要产品，能否从事理想的工作，顺利就业便是学生满意度的主要体现。按照卡尔逊学费计算公式：高校学费=家庭年收入*10%+学生的未来年收入*10% 上式可知学费的交纳与学生家庭的经济情况有着密切联系，结合模型也可说明高校贫困生欠费问题的根本原因是家庭经济条件和学生的付费意愿所致。下面先看下我国近年来的一些数据，从中分析我国高校学生面临的问题。 表3 近年我国来高校的高校数和高校毕业生人数年份1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 高等学校数（所）毕业生人数（万人）1022 1071 1041 1
26、225 1396 1552 1731 1922 1867 190883.0 84.8 95.0 103.6 133.7 187.7 239.1 306.8 377.5 477.8 表4 我国2003年我国东、中、西就业率近似统计就业率(%)东部中部西部北京89.68安徽94贵州71.4上海86.9黑龙江70陕西84重庆85平均值87.198277.7如果把东、中、西就业率近似统计取平均值，由此可知我国的就业形势并不乐观，高校学生还需考虑就业问题。 从学生角度分析高校学费问题，由表1和卡尔逊学费计算公式式知，高校学费对农村家庭的影响明显高于城市家庭。贫困生欠费问题主要来自农村家庭，下面从农村家庭
27、（也即我中等偏下家庭）入手，应用卡尔逊学费计算公式式计算高校学费，如果计算的结果与实际值的相对误差小于10%，就认为此收费能使学生满意。设高校学费为，家庭年收入为，学生的未来年收入为，高校的实际收费为.则卡尔逊学费计算公式式可表示成 高校学费与实际学费的误差 满意度模型检验学费的实例以上海财经大学为例，检验高校学生是否对学费的满意。上海财经大学公共研究中心2001年暑假对该校8000余名就业者的收入进行调查，调查结果表5所示： 表5 上海财经大学毕业生就业时间与平均年收入水平工作年限（年）平均年收入水平（元）1年5年6年10年11年15年282032980932560取该校11年的平均得，也即
28、可确定学生的未来年收入.通过查阅年鉴可知上海高校收取的学费为42005000元，以此确定上海财经大学的平均年学费为4600元，也即.在根据我国1997年的统计资料的数据，我国中等偏低的家庭的年收入定为1200元，下面根据和讨论上海财经大学学生对高校的满意情况。通过计算，结果显示上海财经大学的学费在4600左右基本能使学生满意。当然上海财经大学的就业率比一般其它不发达地区学校要高很多，所以毕业学生的未来年收入也比其它地区学校的学生高，由此可知:现阶段我国学费普遍偏高，尤其是西部地区的高等院校。也可以用这种方法验算其它学校，在此仅以上海财经大学为例，同样的方法可以对其他高校进行检验。 5.高校学费
29、模型的评价 高等教育收费关系着国家的可持续发展和国家的长治久安，受到政府的广泛关注，近年我国投入了大量的人力和物力，希望能得到一个合理的计算公式，让高校和社会都能接受，但无奈的是影响高等教育收费的因素较多，且相关数据较难统计，所以高校收费问题到目前仍是一个谜。 本文通过对影响高校学费的三个主要因素进行定性分析，即人均分担的教育成本，贫困生的人均未支付的费用和国家、社会对贫困生的人均资助与高校的教育收费关系分析,通过对影响因素的相关性分析，建立数学模型。应用所建微分模型说明其相关因素变化给学费带来的影响，对我国目前高校扩招的情况进行分类研究，并在相关因素变化时，稳定学费的一些方案。高校学费不仅与
30、高校有关，而且还与学生有关。从学生角度，应用卡尔逊学费计算公式和近年的一些统计数据，以上海财经大学为例，研究高校学生对所交纳学费的满意度情况。通过计算知道上海财经大学学生对学费在元左右是满意的。l 注：文中表格数据均来自中国统计年鉴。参考文献1 化存才.高校教育收费问题的微分方程模型与宏观调控J.云南大学学报（自然科学版），2008.30(1):162 纪秋颖，林健.基于Agent的高校学费定价模型及实现C.,20063 李慧勤.高校学生付费能力研究以云南省为例C. ,2004.2(2) 4 杨开明.高等教育的定位模型与实证分析J.财会通综合2005年第1期，20055 姜启源，谢金星，叶俊.
31、数学模型（第三版）M，北京：高等教育出版社，2003,86 邹婷婷，何军，赵艳.高校培养成本模型及其系统研究J.浙江理工大学学报，第25卷，第3期，2008,57 赵聚辉，宋述龙.我国高等学校学费标准与居民收入水平、GDP的增长分析J.辽宁师范大学学报（社会科学版），2008,58 赵静，但琦主编.数学建模与数学实验（第2版）M，第8章，北京：高等教育出版社，2003,6,1271569 李爱民，黄启见.社会满意度与高校完善学费定价机制的关系J.湖南科技学院学报第29卷,第5期，2008,5成 果 声 明本人郑重声明，所呈交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果.除文中已标明
32、注释以外，该成果属于作者独创；该成果属贵州民族学院所有。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 日 期： 致 谢本文是在指导老师吴兴玲的精心指导下完成的，从选题到论文的完成过程，吴老师至始至终都关心和鼓励本文的撰写工作，并给予了指导性的意见，她尽管很忙，但还是时时刻刻关心我的论文进展。她关心学生和敬岗敬业、认真负责的工作作风给我树立了学习的榜样。同时我也要感谢班主任杨晓茹老师和小组的各位同学，给我论文提出了很多宝贵意见。大学四年是我接受新知识和巩固旧知识的良好机会，并在我院全体老师的支持和帮助下 ，我对数学这个概念有了更深刻的认识和了解,这对我的论文撰写带来了很大的帮助。借此机会,向学院全体老师表示忠心的谢意！当然,我大学四年能顺利度过也离不开同学们的帮助和支持,在此我也向全体同学表示感谢！同时,在此我也要感谢一直支持、关心和爱护我的父母，是她们辛勤劳动给了读大学的机会，让我有所提高。最后,对即将参加本论文的评议,评审、答辩和本论文提出宝贵意见的所有专家师长表示由衷的感谢！ 杨先成 2009年5月
