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1、矩阵分解方法的探讨The discussion about decomposition of Matrix 专 业: 数学与应用数学作者: 指导老师: 学校二一摘 要矩阵是数学研究中一类重要的工具之一, 有着非常广泛的应用, 矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用. 本文从矩阵的分解、 矩阵的分解、 矩阵的满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行了论述: 给出了矩阵分解的几种方法. 关键词: 矩阵, 对称正定矩阵,矩阵的三角分解；矩阵的满秩分解；矩阵的分解. AbstractThe matrix is a important tool in class of mathematical
2、research, and it has a very wide range of applications, matrix decomposition plays a key role in matrix theory and development of modern computational mathematics. This article begin at the discuss from the matrix of LU decomposition、Matrix of the QR Decomposition、Matrix decomposition of full rank a
3、nd so on. given a matrix factorization method.Keywords: Matrix; Symmetric positive definite matrix, Triangular decomposition of matrix; matrix full rank decomposition; decomposition of matrix. 目 录摘 要IAbstractII0 引言11 矩阵的三角()分解11.1 矩阵的三角分解基本概念与定理11.2 常用的三角分解公式71.2.1 杜利特分解71.2.2 克劳特分解71.2.3 乔累斯基分解82 矩
4、阵的满秩分解152.1 矩阵的满秩分解基本概念与定理153 矩阵的QR分解18 3.1 矩阵的QR分解基本概念与定理183.2 矩阵QR分解的常用方法203.2.1利用Householder矩阵变换203.2.2利用QR分解公式203.2.3利用列初等变换法21参考文献240 引言矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等. 另一方面, 构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供了理论依据. 本文从矩阵的分解； 矩阵的分解； 矩阵的满秩分解等几个
5、方面对矩阵分解方法进行论述: 探讨矩阵分解的方法. 1 矩阵的三角分解1.1 矩阵的三角分解基本概念与定理定义1.1 设,如果存在下三角矩阵和上三角矩阵, 使得, 则称可作三角分解或分解. 定义1.2 设为对称正定矩阵, 为行列式不为零的任意对角矩阵,则, 为一个单位上三角矩阵, 且有成立：1) 如果是单位下三角矩阵, 是对角矩阵, 是单位上三角矩阵, 则称分解为分解.2) 如果是下三角矩阵, 而是单位上三角矩阵, 则称三角分解为克劳特分解;3) 如果是单位下三角矩阵, 为上三角矩阵, 则称三角分解为杜利特分解;4) 如果, 称为不带平方根的乔累斯基分解;5) 如果, , 则, 由于, 则,
6、称为带平方根的乔累斯基分解. 定理1.1 阶非奇异矩阵可作三角分解的充要条件是,这里为的阶顺序主子阵, 以下同. 证明 必要性. 设非奇异矩阵有三角分解, 将其写成分块形式 这里, 和分别为, 和的阶顺序主子阵. 首先由知, , 从而,; 因此. 充分性. 对阶数作数学归纳法. 当n=1时, =（）=（1）（）,结论成立. 设对结论成立, 即, 其中和分别是下三角矩阵和上三角矩阵. 若,则由=易知和可逆. 现证当时结论也成立, 事实上. 由归纳法原理知A可作三角分解. 定理 1.1 给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件, 由于不满足定理1.1的条件, 所以它不能作三角分解. 但. 上例表明对
7、于奇异矩阵,它还能作三角分解未必要满足定理1.1的条件. 首先指出,一个方阵的三角分解不是唯一的, 从上面定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三角分解,其实,方阵的三角分解有无穷多, 这是因为如果是行列式不为零的任意对角矩阵, 有,其中也分别是下、上三角矩阵, 从而也使A的一个三角分解. 因的任意性, 所以三角分解不唯一. 这就是的分解式不唯一性问题, 需规范化三角分解. 定理 1.2 （基本定理）设为阶方阵,则可以唯一地分解为 (1.1)的充分必要条件是的前个顺序主子式. 其中,分别是单位下、上三角矩阵, 是对角矩阵, .证明 充分性. 若, 则由定理1.1, 即实现一个杜利特分解
8、, 其中为单位下三角矩阵, 为上三角矩阵,记=,因为. 下面分两种情况讨论：1) 若非奇异,由式(1)有=, 所以, 这时令, 则. 于是有 (1.2)是的一个分解. 2)若奇异,则,此时令, , =,则=,因此不论哪种情况, 只要, 总存在一个分解式(1.1), ,. 再证这个分解是唯一的, 仍分两种情况讨论：1) 当非奇异时,有, , , , 所以、均非奇异. 若还存在另一个分解, 这里, , 也非奇异, 于是有 (1.3)上式两端左乘以以及右乘以和, 得 , (1.4)但式(1.4)左端是单位下三角矩阵, 右端是单位上三角矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此, ,即,. 由后一个等式类似地
9、可得, ,即有, . 2) 若奇异, 则式(1.3)可写成分块形式,其中, 是阶单位下三角阵; , 是阶上三角阵; , 是阶对角阵; , , , 是维列向量. 由此得出,其中, , 和, , 均非奇异, 类似于前面的推理, 可得, , , , .必要性. 假定有一个唯一的分解, 写成分块的形式便是 , (1.5)其中, , , 分别是, , , 的阶顺序主子矩阵; , , , 为维列向量. 由式(1.5)有下面的矩阵方程: , (1.6), (1.7) , (1.8). (1.9)否则, 若, 则由式(1.6)有. 于是有, 即奇异. 那么对于非其次线性方程组(1.8)有无穷多非零解, 不妨设
10、有, 使, 而=. 同理, 因奇异, 也奇异, 故有, 使, 或. 取, 则有,这与的分解的唯一性矛盾, 因此. 考察阶顺序主子矩阵由式(1.6)写成分块形式, 同样有. 由于, 所以, 可得,从而. 依此类推可得. 综上所述, 定理证明完毕. 推论 1 设是阶方阵, 则可惟一进行杜利特分解的充分必要条件是的前个顺序主子式,其中为单位上三角矩阵, 即有并且若为非奇异矩阵, 则充要条件可换为: 的各阶顺序主子式全不为零, 即:,. 推论 2 阶方阵可惟一地进行克劳特分解的充要条件为, . 若为奇异矩阵, 则, 若为非奇异矩阵, 则充要条件也可换为, .定理 1.3 设为对称正定矩阵, 则可惟一地
11、分解为,其中为下三角矩阵, 为对角矩阵, 且对角元素是对角线元素的倒数. 即, . 其中, , .1.2 常用的三角分解公式1.2.1 杜利特分解设为阶方阵, 如何确定和这两个三角矩阵呢, 设, 其中, 按矩阵的乘法, 有,由于, 所以有, . 故得,. 同理, 即得到三角矩阵和. 1.2.2 克劳特分解设为阶方阵（不一定对称）, 有分解式,即当时（下三角位置）, 有, 得, , ;当时（上三角位置）, 有, , ;得, , . 这样即可得到三角矩阵和. 1.2.3 乔累斯基分解设为对称正定矩阵, 存在一个实的非奇异下三角矩阵, 且的对角元素为正时, 有惟一的分解式. 即,当时, 有, 也即,
12、 . 特别地, 当时, 有,=1,2,.例 1.1 求矩阵的分解和分解. 解 对作矩阵, 所以计算对作矩阵=, 计算 对作矩阵, ,计算令可得的分解为, 的分解为.例 1.2 求三阶方阵的分解与分解. 解 因为, , 所以有唯一的分解和分解. 且, 由可计算及如下:, 于是因此的分解为且的分解为例 1.3 已知范德蒙矩阵, 求的三角分解. 解 由于范德蒙矩阵满足定理1.2的条件, 于是有唯一的三角分解: , 结合范德蒙矩阵的特点, 先对范德蒙矩阵进行一系列初等行变换. 用阶矩阵左乘范德蒙矩阵得,记则一般地,记,. 左上角是阶单位矩阵. 依次相乘有从而,其中 , . (1.10)在对进行一系列初
13、等列变换. 记有一般地,记所以, . (1.11)于是其中由式(1.10)给出, 为下三角矩阵. 而由式(1.11)给出, 为稀疏上三角矩阵. 2 矩阵的满秩分解2.1 矩阵的满秩分解基本概念与定理定义2.1 若矩阵的行(列)向量线性无关, 则称为行(列)满秩矩阵. 定义2.2 设是秩为r（r0）的矩阵, 若存在列满秩矩阵和行满秩矩阵, 使得 （2.1）则称（2.1）式为矩阵的满秩分解. 定义2.3 设是的矩阵, , 满足1)的前行中每一行至少含有一个非零元素, 且每行第一个非零元素是1, 而后行元素均为0;2)设中的第行的第一个非零元素1位于第列, 有3)的第, , , 列构成阶单位矩阵的前
14、列. 则称为的标准型. 定理2.1 设为任一秩为的矩阵, 则必有满秩分解式, 其中为列满秩的, 为行满秩的. 证明 因为的秩为, 所以存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵, 使得若令,则为列满秩矩阵, 为行满秩矩阵, 且有结论成立. 若记, 则有 (2.2)这里(2.2)式也是的满秩分解的一种表示. 定理 2.2 任何非零矩阵都存在满秩分解. 证明 设. 则可通过初等变换将化为阶梯形矩阵, 即, 且秩=. 于是存在有限个阶初等矩阵的乘积, 使得 或者 . 于是将作相应的分块, , , . 则有. 其中为列满秩矩阵,为行满秩矩阵. 由于初等行变换有三种变换：1、调换两行;2、某一行乘以一个非零常数;3、某
15、一行乘以一个非零常数加到另一行. 实际上只用第三种初等变换方法就可以将其化为阶梯形. 值得指出的是, 的满秩分解式为(2.1)与(2.2)并不是惟一的. 现对任一阶可逆方阵, 总有 (2.3)成立, 且, 分别为列满秩矩阵与行满秩矩阵. 因而(2.3)式也是的一个满秩分解式. 定理2.3 设, 且均为的满秩分解, 则1) 存在矩阵, 使得, . 2) . 定理2.4 设是的矩阵, , 其标准型为, 则在的满秩分解中, 可取为由的, , , 列构成的的矩阵, 为的前行构成的的矩阵. 定理2.5 矩阵满秩分解的存在性定理1) 设, 则使用初等行变换可将化为标准型;2) 设, 则存在和, 使得. 例
16、 2.1 已知是一个矩阵, 则的秩为1, 且它的满秩分解为显然, 分块矩阵例 2.2 求矩阵的满秩分解. 解 由题可知, , 由定理2.4 可得，其中则对单位下三角矩阵求逆矩阵等于把严格下三角部分元素变号即可.取的前两列构成, 则. 例2.3 求矩阵的满秩分解. 解 , 且中的第1列和第2列为单位矩阵的前两列, 故3 矩阵的分解3.1矩阵的分解基本概念与定理定义3.1 设是单位列向量,即, 称矩阵为矩阵. 由矩阵确定的上的现线性变换称为变换. 若不是单位向量, 则定义为矩阵, 对应的变换成为变换. 矩阵具有如下性质:1)（对称矩阵）;2)（正交矩阵）;3)（对合矩阵）;4)（自逆矩阵）;5)是
17、阶矩阵;6). 定义3.2 如果实（复）非奇异矩阵能够转化成正交（酉）矩阵与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积, 即,则称上式为的分解. 定理 3.1 任何实的非奇异阶矩阵可分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积,且除去相差一个对角线元素之绝对值全等于一定对角矩阵因子外, 分解式是惟一的. 定理3.2 设为复矩阵, 且个列向量线性无关, 则有分解式,其中是复矩阵, 且满足, 是阶复非奇异上三角矩阵, 且除去相差一个对角线元素的矩阵行列式全为1的对角矩阵因子外, 分解式是惟一的. 推论 设为实（复）矩阵, 且其个列向量线性无关, 则存在阶正交（酉）矩阵和阶非奇异实（复）上三角矩阵, 使得定理 3.3 如
18、果在非奇异矩阵的分解中规定上三角阵的各个对角元素的符号, 则的分解式惟一的. 定理3.4 设为任意的矩阵, 且, 则存在阶正交矩阵与阶正交矩阵, 使得或， 这里为矩阵, 他可以表示为一个准对角矩阵形式:其中是阶的下三角非奇异方阵, 或又称为的正交三角分解. 定理3.5 设, 则存在酉矩阵, 使得, 其中是阶梯型矩阵. 3.2 矩阵QR分解的常用方法3.2.1 利用矩阵变换将矩阵的列向量一次实施矩阵变换, 简记, 使之化为以具有1个非零元, 2个非零元, 个非零元作为列向量的上三角矩阵, 即若有,则. 3.2.2 利用分解公式设, , 为（列）正交矩阵, 为上三角矩阵, 即,若有分解, 则由,
19、有, 即, ,得的分解公式:,=1, 2, , . 利用对矩阵的列向量进行标准正交化得到, 且3.2.3 利用列初等变换法步骤如下:1)构造矩阵;2)对作初等列变换将化为下三角矩阵, 同时化为列正交矩阵;3)对上述得到的矩阵, 再利用初等列变换化的各列向量为单位向量, 则化为列正交矩阵, 同时, 即. 例 3.1 已知, 求的分解. 解 由变换易得令又可使从而例 3.2 用正交化方法求矩阵的分解. 解 由已知, 把列向量, , 正交化可得构造矩阵, 则有. 例 3.2 将矩阵分解为形式. 解 取, 则, 用-1乘以第一列加到第二列, 则有,即, 致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对周
20、老师表示衷心的感谢!参考文献1 张贤达. 矩阵分析及应用M. 北京: 清华大学出版社, 2004. 2 刘慧, 袁文燕, 姜冬青. 矩阵论及应用M. 北京: 化学工业出版社, 2003. 3 方保镕, 周继东, 李医民. 矩阵论M. 北京: 清华大学出版社, 2004. 4 刘丁酋. 矩阵分析M. 武昌: 武汉大学出版社, 2003. 8. 5 廖安平, 刘建州. 矩阵论M. 长沙: 湖南大学出版社, 2005. 7. 6 张凯院, 徐仲矩阵论同步学习辅导M. 西安: 西北工业大学出版社, 2002. 107 关红钧, 苏艳华. 关于n 阶矩阵的三角分解J. 沈阳航空工业学院学报, 18:4(
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