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1、有限单元法FINITE ELEMENT METHOD 主讲：江巍2015年春季学期,参 考 书 目,1王勖成,邵敏.有限单元法基本原理和数值方法.清华大学出版社2周中坚,卢耀祖.机械与机械结构的有限元分析.同济大学出版社3朱伯芳.有限单元原理及其应用.中国水利水电出版社4蒋孝煜.有限元法基础.清华大学出版社5徐芝纶.弹性力学简明教程.高等教育出版社,主要有德国的ASKA；英国的PAFEC；法国的SYSTUS；美国的ALGOR、ABQUS、ADINA、ANSYS、SAP90、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。,商 业 软 件,第一章 有限
2、单元法发展历史和简要介绍,18世纪末，欧拉在创立变分法的同时就曾用与现代有限元相似的方法求解轴力杆的平衡问题 1943年Courant用最小势能原理和现代有限元法中的线性三角元求解st Venant弹性扭转问题 1952_1853期间，R.W.Clough和 M.J.Turner在分析三角翼振动问题时，提出了把平面平面应力三角形板组合起来表达机翼刚度方法，当时称为直接刚度法。1956年M.J.Turner，R.W.Martin,L.J.Toop在纽约举行的航空年会上发表论文复杂结构的刚度和变形分析1960年R.W.Clough在论文平面应力分析的有限单元法中,首次提出了有限单元,，他因此被称为
3、“有限单元之父”。Journal of Applied Mechanics许多年都拒绝刊登关于有限元方法的文章。,发 展 历 史 之 启 蒙,我国已故著名计算数学专家冯康教授也独立创立了有限元法，为什么这么说呢？这是由我国当时特定的历史环境所决定的。曾经有很长一段时间，我国的学术界处于与世隔决的状态。正因如此，他的工作才得到了全世界的承认。他最初提出这个方法时，并不知道“有限元”这个名词，因此他将自己的方法称之为“基于变分原理的差分格式”。,发 展 历 史 之 启 蒙,众多数学家的加盟使得有限元进入黄金发展阶段。有限元方法的理论和程序主要来自各个高校和实验室 Berkeley的Ed Wilso
4、n发布了第一个程序，第一代的程序没有名字，第二代线性程序就是著名的SAP(structural analysis program)，非线性程序就是NONSAP。位于洛杉矶的MSC公司自1963创立并开发了结构分析软件SADSAM，在NASA项目资助下MSC于1971年推出自己的专利版本MSC.Nastran。第一批非线性有限元方法的主要贡献者有Argyris(1965)，Marcal和King(1967)，其中Pedro Marcal毕业于Berkeley大学，任教于Brown大学，于1969年创建了第一家非线性有限元软件公司MARC公司，在1999年被MSC公司收购。,发 展 历 史 之 诞
5、 生,K.J.Bathe（导师Ed Wilson），MIT任教，在NONSAP的基础上发表了著名的非线性求解器ADINA(Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis)，其源代码因为长时期广泛流传而容易获得。David Hibbitt（导师Pedro Marcal），在1972年与Karlsson和Sorensen共同建立HKS公司，推出了Abaqus软件。Abaqus凭借强大的技术、出色的前后处理和可拓展的二次开发功能，稳占高校和研究所的市场，论文发表数量多。John Swanson博士在Westinghouse公司为核能应用方面发展了一个
6、非线性有限元程序(主要是关注非线性材料)，于1970年创建SASI(Swanson Analysis System,Inc)公司，后来重组更名为ANSYS公司，ANSYS是著名的多物理材料非线性有限元软件，通过并购发展迅速壮大，模块越来越多，商业化程度和市场占有率很高。,发 展 历 史 之 崛 起,）,与其它课程的关系,各门课程的任务,材料力学：研究杆状构件在拉压，剪切，弯曲，扭转作用下的应力和位移。结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构 例如，行架，刚架等，这些都是所谓的杆件系统。弹性力学：非杆状结构，例如板和水坝，地基等实体结构以及对杆状构件作进一步，较精确的分析。它与材料力学
7、的研究方法不同，主要是在材力中引入了构件形变状态或应力分布的假设，使数学推导大大简化，其解是理论解（近似的），而弹性力学则更精确一些。计算力学：是应用结构力学，弹性力学，计算数学，计算机学的一个结合，提供近似的数值计算方法，解决问题，而有限元法是其中的一种方法。上述各种方法最终目标是确立研究对象的应力，形变和位移，用以校核其是否有所需要的强度和刚度。,关于有限元法英文缩写FEM（Finite Element Method）应用中习惯称有限元分析是一种连续结构离散化数值计算方法，借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决工程技术问题FEM与CAECAE计算机辅助工程（Computer Aided
8、 Engineering）CAE范围更广，还包含其它工程分析方法,基本思想,基本思想,将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点（离散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法，将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个结点的未知参数，再利用插值函数求出近似解。是一种有限的单元离散某连续体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎的，应用极
9、广的数值计算方法。,操作流程,位移型有限元法求解静力问题的一般步骤：）划分单元；）计算单元刚度矩阵；）进行载荷移置；）引入约束，解方程组求得位移；）计算应力和应变。注：若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与应力的方法，称为力型有限元法。,操作流程,结构离散化：1）划分网格；2）载荷移置；3）简化约束。单元刚度矩阵与刚度系数：1）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力；2）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。,mm2，,mm2，,mm,MPa,kN,N,试计算应力。,分析过程如下：,1离散化,将杆划分为两个单元的集合,共有三个节点,简单实例,2确定单元位移模式（即
10、单元位移函数）,单元e 的内部，位移按线性规律变化，即,(1),本例中每个节点只有一个自由度，对单元及节点自由度进行编号,简单实例,任取一个单元e作为考察对象，确定位移函数中系数a,b,在有限元分析过程中，为方便起见，通常使用两套不同的坐标系。,一是整个结构的参照系oxyz，称为整体坐标系,另一套坐标o x y z 建立在每个单元上，坐标原点和指向都随单元而变，这种只对单元有效的坐标系，称为局部坐标系(local coordinate system)。,简单实例,简单实例,任意常数a、b由单元e内两节点i、j的位移值确定，即：,i节点：,j节点：,求得：,(2),代入位移函数：,为确定系数a,
11、b，本例使用如图局部坐标系统,简单实例,得到单元e内任意一点x的位移表达式为,形状函数或形函数,单元节点位移矢量,简单实例,(3),3推导单元刚度矩阵和单元节点荷载,单元刚度矩阵可由最小势能原理导出,其中，单元内力所做的虚功：,整个结构的总势能 为,简单实例,(4),(5),依据弹性力学位移与应变的关系得,简单实例,(6),根据虎克定律：,代入单元内力虚功表达式，得到,将,代入上式，得到,改写为,简单实例,(7),积分，得,用矩阵写成,其中，,单元刚度矩阵,这里,简单实例,(8),单元外力所做虚功为,单元节点荷载,简单实例,(9),在荷载作用下，结构处于平衡状态。,则，整个结构的总势能 为,则
12、由最小势能原理,，i=1,2,3,简单实例,(10),即：,若将最小势能原理用于单个单元，则得到任一单元的平衡条件为,简单实例,(11),4组集总体刚度矩阵和荷载矢量,将(8)式中的单元刚度矩阵,将式(9)中的单元节点荷载矩阵,组集成整体节点荷载矩阵,最后得到系统的整体平衡方程,整体刚度矩阵,节点位移,节点荷载,简单实例,组集成整体刚度矩阵,(12),首先根据已知数据，计算各单元刚度矩阵,单元1：,简单实例,单元2：,简单实例,组集（对号入座）,简单实例,节点力矢量为：,所以，总平衡方程为,简单实例,5约束处理,、,从数学上来说，矩阵,所以得不到未知的位移分量。,具有奇异性（行列式的值为零），
13、不可求逆，,为此，必须引入几何边界条件，对方程进行修改。,简单实例,本例节点1不能移动，即,这里采用,主对角元置1法,的元素改为零，主对角元素改为1；,对应的行和列（本例为第一行、第一列）,对应的行（未知反力）也改为零。,这样，方程(12)变成：,简单实例,(13),即,方程(13)的系数矩阵非奇异，可解。,简单实例,6求位移,解方程(13)，得位移,mm，,mm,7求内力、应力和应变,将(13)式的位移结果代入(11)式，可得单元节点力矢量,简单实例,工程实例,液压挖掘机 有限元分析,工程实例,渗流问题 有限元分析,工程实例,结构问题 有限元分析,工程实例,隧道问题 有限元分析,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,
