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1、第十五章 机械振动和电磁振荡,本章讨论简谐振动的基本规律、振动的合成和分解、电磁振荡。,1.振动是一种重要的运动形式 2.振动有各种不同的形式,机械振动：位移 x 随时间 t 的往复变化 电磁振动：电场、磁场等电磁量随 t 的往复变化 微观振动：如晶格点阵上原子的振动 广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。,3.振动分类,15-1 简谐振动(Simple Harmonic Motion),简谐振动：物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化。简谐振动的特征及其表达式 1.表达式(运动学方程),x t 的关系曲线称振动曲线,简谐振动的特点:动力学特点
2、线性恢复力(力和位移正比而反向，具有F=-kx的形式)。用动力学的语言可以说：在线性恢复力的作用下，质点作简谐振动 运动学特点：(1)是等幅振动(2)是周期振动 x(t)=x(t+T),物体作简谐振动时的速度和加速度,速度也是简谐振动，任何一个物理量，如果它随时间按余弦函数(或正弦函数)的规律变化，就说这个物理量按简谐振动的规律随时间变化。,加速度也是简谐振动,描述简谐振动的特征量：振幅、周期、频率和相位1.振幅(amplitude)A：最大位移的绝对值(A恒0)2.周期和频率(反映振动的快慢)周期(period)T：振动一次所需时间。频率(frequency)n：单位时间内的振动次数。n=1
3、/T(单位：Hz)角频率(angular frequency)：2p秒内的振动次数。=2n=2/T(单位：1/S或rad/S)固有角频率(natural angular frequency),3.相位(phase)(1)(t+)是t 时刻的相位。(2)t 时刻的相位反映t时刻的振动状态(x、u、a)。由x=Acos(t+)(3)初相(initial phase)是 t=0时刻的相位。(t=0称时间零点，是开始计时的时刻，不一定是开始运动的时刻)。,简谐振动的描述方法 1.解析法(由振动表达式)2.曲线法(由振动曲线)3.旋转矢量法(rotational vector)(1)旋转矢量长度=A；以
4、 为角速度绕 o 点逆时针旋转；t=0 时矢量与 x 轴的夹角为(2)矢量端点在 x 轴上的投影做简谐振动,相位差(phase difference)-相位之差对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差同相和反相 当=2k，(k=0,1,2,)，两振动步调相同，称同相(in-phase)。=(2k+1)，(k=0,1,2,)，两振动步调相反，称反相(antiphase)。领先和落后 若=2-1 0,则x2比x1较早达到正最大，称x2 比x1领先(或x1比x2落后)。领先、落后以 的相位角(或以 T/2的时间间隔)来判断。,简谐振动的能量(1)动能Ek(2)势能Ep(3)机械能 E=Ek+Ep 振动
5、系统的能量正比于振幅的平方 简谐振动系统机械能守恒，能量没有输入，也无损耗，各时刻的机械能均等于起始能量E0(t=0时输入系统的能量)。,15-2 阻尼振动(damped vibration),无阻尼自由振动：一个振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动。“自由”：振动过程中，没有外界驱动力作功(机械振动情形)；“无阻尼”：振动过程中，没有能量损耗，因此，系统作无阻尼自由振动时，振动能量必然守恒。阻尼（自由）振动：在回复力和阻力作用下的振动。,阻尼(damp)：消耗振动系统能量的原因 阻尼种类：摩擦阻尼、辐射阻尼 阻尼振动的振动方程和表达式 1.阻力 2.振动方程 此方程的解应分
6、三种情形讨论：,0 称作过阻尼(overdamping)=0 称作临界阻尼(critical damping),三种阻尼情形的振动曲线：0(过阻尼)和=0(临界阻尼)情形下，阻尼振动微分方程的解将是非振动性的运动。运动物体连一次振动也不能完成，能量即已耗光，物体慢慢移向平衡位置。临界阻尼情形下，物体回到平衡位置并停在那里，所需时间最短。,15-3 受迫振动(forced vibration)共振(resonance),受迫振动：振动系统在周期性外力（驱动力driving force)作用下的振动。1.系统受力：以弹簧振子为例：弹性力-kx 阻尼力 周期性驱动力 2.振动方程：由牛顿定律有 3.
7、稳态解：,4.特点：稳态时的受迫振动是简谐振动(但它不是无阻尼自由谐振动)。(1)角频率：等于驱动力的角频率(2)振幅：系统作等幅振动(虽有阻力消耗能量，但同时有驱动力作功对系统输入能量，系统仍可维持等幅振动)。其振幅由系统参数(0)、阻尼()、驱动力(F0,)共同决定。A的大小敏感于和0的相对大小关系，而和初始条件(x0、v0)无关。(3)初相：决定于0、和，与初始条件无关。,共振:位移共振(displacement resonance)：当驱动力的角频率等于个适当数值(称共振角频率)时，振幅出现极大值、振动很剧烈的现象。(1)共振角频率：(2)共振振幅：速度共振(velocity reso
8、nance)：当驱动力的角频率正好等于系统 的固有角频率时，速度幅达极大值的现象。(1)共振角频率：(2)共振时速度的幅值：(3)共振时速度的初相：即速度共振时，速度与驱动力同相，一周期内驱动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。,15-5、6 简谐振动的合成(combination of simple harmonic motions),同一直线上同频率的简谐振动的合成 同一直线上不同频率的简谐振动的合成 相互垂直的同频率的简谐振动的合成 相互垂直的不同频率的简谐振动的合成,同一直线上同频率的简谐振动的合成 1.分振动：一物体同时参与两个在同一直线上的同频率的简谐振动，其表达式为2.合振动：
9、x=x1+x2 合振动是简谐振动，其角频率仍为 式中A、0的值分别为,3.两种特殊情况(1)若两分振动同相，则 A=A1+A2，两分振动相互加强(2)若两分振动反相，则A=|A1-A2|，两分振动相互减弱。如再有A1=A2，则A=0。此情形下，“振动加振动等于不振动”。,同一直线上不同频率的简谐振动的合成1.分振动：设为 2.合振动：x=x1+x2,合振动不是简谐振动,当 A1=A2=A 时，,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,3.迫(beat)：合振动的周期性的时强时弱的现象拍频(beat frequency)：单位时间内合振动加强或减弱的次数，或振幅变化的频率。,实例：双簧管(oboe)，钢
10、琴(piano)调音,相互垂直的同频率简谐振动的合成1.分振动：一个质点同时参与两个相互垂直的同频率简谐振动 2.合运动 位移：是两个分振动位移的矢量和。轨迹方程：合运动一般不是简谐振动(1)合运动一般是在2A1(x向)、2A2(y向)范围内的一个椭圆。(2)椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋)在A1、A2 确定之后，主要决定于相位差。,相互垂直的不同频率简谐振动的合成 其情形复杂，轨迹曲线一般不稳定(随 t 变化)，也不一定闭合。两个常见的简单情形如下：(1)若两分振动频率相差很小则相位差可近似看作两同频率的振动的合成，而相位差随t缓慢变化。于是合运动轨迹将按图1532 给出的形状依次缓慢变化。(2)若两振动的频率成简单整数比，则轨迹为稳定的闭合曲线，称李萨如图形(Lissajous figures)。曲线的具体形状和两频率的比值及初相位的大 小有关。,
