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1、第六讲 矩阵的代数运算和数据分析,28.03.2023,28.03.2023,mathworks,2,第六讲 矩阵的代数运算 和数据分析,6.1 矩阵的代数运算6.2 数据分析,28.03.2023,mathworks,3,6.1 矩阵的代数运算,e i g(A)求包含矩阵A的特征值的向量。X,D=e i g(A)产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵X，它们的列是相应的特征向量，满足A X=X D。为了得到有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。,28.03.2023,mathworks,4,6.1矩阵的代数运算,d e t(A)求方阵A的行列式。r a n k(A)求A的秩，即A
2、中线性无关的行数和列数。i n v(A)求方阵A的逆矩阵。如果A是奇异矩阵或者近似奇异矩阵，则会给出一个错误信息。,28.03.2023,mathworks,5,6.1矩阵的代数运算,线性系统的求解和L U分解M AT L A B用如下命令求解系统A x=b：则 x=A b。如果A是一个奇异矩阵，或者是近似奇异矩阵，则会给出一个错误信息。L U分解方法就是令A=L U，其中U是一个上三角矩阵，L是一个带有单位对角线的下三角矩阵。然而为了保证计算的稳定性可以使用部分主元法。也就是说，L通常是一个改变序列的下三角矩阵。,28.03.2023,mathworks,6,6.1矩阵的代数运算,L,U=l
3、 u(A)求上三角矩阵U和交换下三角矩阵L。L是一个带有单位对角线 的下三角矩阵和交换矩阵，即P的逆矩阵的乘积，见下个命令。L,U,P=l u(A)求上三角矩阵U、有单位对角线的下三角矩阵L和交换矩阵P，满足L U=PA。,28.03.2023,mathworks,7,6.1矩阵的代数运算,Q R分解。假设A是nn的矩阵，那么A就可以分解成：A=Q R，其中Q是一个正交矩阵，R是一个大小和A相同的上三角矩阵，因此A x=b可以表示为 Q R x=b或者等同于：R x=Q b。这个方程组的系数矩阵是上三角的，因此容易求解。和高斯消元法比较，Q R因式分解的主要优点在于有更高的稳定性，然而它的数学
4、运算更麻烦一些。,28.03.2023,mathworks,8,6.1矩阵的代数运算,Q,R=q r(A)求得mm的矩阵Q和上三角矩阵R，Q的列形成了一个正交基，Q和R满足A=Q R。Q,R,P=q r(A)求得矩阵Q、上三角矩阵R和交换矩阵P。Q的列形成一个正交基，R的对角线元素按大小降序排列，它们满足A P=Q R。Q,R=q r(A,0)求矩阵A的Q R因式分解。如果在mn的矩阵A中行数小于列数，则给出Q的前n列，因此Q的大小和A相同。也能得到交换矩阵。,28.03.2023,mathworks,9,6.1矩阵的代数运算,向量范数n o r m(x)求欧几里得范数。n o r m(x,i
5、 n f)求无穷范数，即|x|=m a x(a b s(x)。n o r m(x,1)求1-范数。n o r m(x,p)求p-范数，。n o r m(x,i n f)求向量x的元素的绝对值的最小值，即m i n(a b s(x)。注意，这不是向量的范数。,28.03.2023,mathworks,10,6.1矩阵的代数运算,矩阵范数n o r m(A)求欧几里得范数|A|2，n o r m(A,1)求列范数|A|1，等于A的列向量的1-范数的最大值。n o r m(A,2)求欧几里得范数|A|2，和n o r m(A)一样。n o r m(A,i n f)求行范数|A|(inf)，等于A的行
6、向量的1-范数的最大值。,28.03.2023,mathworks,11,6.1矩阵的代数运算,c o n d(A)求A的欧几里得范数的条件数。c o n d(A,p)求p-范数的条件数，p的值可以是1、2、或者inf,28.03.2023,mathworks,12,6.2 数据分析,1.最大值和最小值m a x(x)返回x中最大的元素值，如果x是复数，则返回m a x(a b s(x)值。m a x(A)返回一个行向量，它的第i个元素是A中第i列的最大的元素；如果A为复数时，则返回m a x(a b s(A)值。,28.03.2023,mathworks,13,6.2 数据分析,y,i n
7、d=m a x(A)返回一个行向量，它的第i个元素是A中第i列的最大的元素；并在行向量i n d中保存每列的最大数的行下标。m a x(A,B)返回一个和A、B相同维数的矩阵，每一元素都是在A和B中的相同位置上是最大的元素。,28.03.2023,mathworks,14,6.2 数据分析,max(A,k)将A中小于k的数换成k。m i n(x)返回向量x中最小的元素。该命令关于矩阵的操作和m a x一样，如果x是复数，则返回m i n(a b s(x)值。,28.03.2023,mathworks,15,6.2 数据分析,2.求和、乘积和差分s u m(x)返回向量x所有元素的和。s u m
8、(A)返回一个包含矩阵A各列元素之和的行向量。c u m s u m(x)返回一个x中元素累计和的向量，也就是第2个元素是x中前两个元素之和，以此类推。,28.03.2023,mathworks,16,6.2 数据分析,c u m s u m(A)返回一个与A同样大小的矩阵，它的列是A中列的累计和。3.乘积p r o d(x)返回x中各元素乘积。p r o d(A)返回一个元素是列乘积的多维矩阵。,28.03.2023,mathworks,17,6.2 数据分析,cumprod(x)返回一个x中各元素累计积的向量，也就是第2个元素是x中前两个元素的累计积，以此类推。cumprod(A)返回一个
9、矩阵，其中列元素是A中列元素的累计积。,28.03.2023,mathworks,18,6.2 数据分析,4.差分和梯度diff(x)给出一个长度为n1的向量，它的元素是长度为n的向量x中相邻的元素的差。如果x=(x1 x2.xn)，则d i f f(x)=(x2x1 x3x2.xnxn1)。diff(A)对A按列作差分。就是d i f f(A)=A(2:m,:)A(1:m1,:)。diff(x,k)求出第k次差分，d i f f(x,2)和d i f f(d i f f(x)等价。,28.03.2023,mathworks,19,6.2 数据分析,5.平均值、中值和标准差m e a n(x)
10、求出向量x的算术平均值。m e a n(A)返回按列求算术平均值的行向量。m e d i a n(x)求出向量x中元素的中值。m e d i a n(A)返回按列求中值的行向量。s t d(x)求出向量x中元素的标准差。s t d(A)返回按列求标准差的行向量。,28.03.2023,mathworks,20,6.2 数据分析,6.协方差和相关系数cov(x)求向量x的协方差。cov(A)求协方差矩阵，对角线元素是A中各列的方差。cov(x,y)等同于cov(x y)，x和y是列向量。corrcoef(A)求相关矩阵。corrcoef(x,y)等同于corrcoef(x y)，x和y是列向量。,28.03.2023,mathworks,21,6.2 数据分析,7.排序s o r t(x)返回一个向量x的元素按递增排序的向量。如果元素是复数，则使用绝对值进行排序，即s o r t(a b s(x)。y,i n d=s o r t(x)返回下标向量i n d。就是y=x(i n d)。另外向量y是x中元素按递增排序得到的。sort(A)对A中各列按递增排序，注意矩阵的行已被改变。,谢谢,骑封篙尊慈榷灶琴村店矣垦桂乖新压胚奠倘擅寞侥蚀丽鉴晰溶廷箩侣郎虫林森-消化系统疾病的症状体征与检查林森-消化系统疾病的症状体征与检查,
