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1、专题一：行列式1、利用行列式的性质计算例、设均为3维列向量,记矩阵,如果,那么 .例、已知：，（1）计算行列式；（2）已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解。例、设矩阵,现矩阵满足方程,其中,(1)求证.(2)为何值,方程组有唯一解,求.(3)为何值,方程组有无穷多解,求通解.2、利用矩阵的性质计算例、设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则= .例、设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=_ .专题二：矩阵1、逆矩阵例、设,则= _.例、设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵. 若,则 (A)不可逆,不可逆(B)不可逆,可逆 (C)可逆,可逆 (D)可逆,不可逆例、设矩阵的伴随矩阵且,其中为
2、4阶单位矩阵,求矩阵.例、设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为(A)(B) (C)(D)2、初等矩阵例、设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为(A) (B) (C) (D)例、设A为3阶矩阵，把A的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B的第二行与第3行得到单位阵E，记，则A=（ ）A B C D 例、设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的-1倍加到第2列得,记,则(A)(B) (C)(D)例、设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，则（ ）（A） （B）（C） （D）例、设为阶可逆矩阵,交换的第1行与第2行得矩阵分别
3、为的伴随矩阵,则(A)交换的第1列与第2列得 (B)交换的第1行与第2行得 (C)交换的第1列与第2列得 (D)交换的第1行与第2行得3、矩阵的秩例、,为的转置,为的转置.证明:(1).(2)若线性相关,则.例、设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为_。例、设矩阵,则的秩为_.例、设为型矩阵为型矩阵,若则(A)秩秩(B)秩秩(C)秩秩(D)秩秩专题三：线性方程组1、解的判定定理例、已知方程组无解,则= _.例、设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.例、已知四阶方阵, 均为四维列向量,其中线性无关,.若,求线性方程组的通解.例、已知3阶矩阵的第一行是不全为零
4、,矩阵(为常数),且,求线性方程组的通解.2、基础解系例、设有齐次线性方程组和,其中均为矩阵,现有4个命题: 若的解均是的解,则秩秩 若秩秩,则的解均是的解 若与同解,则秩秩 若秩秩, 则与同解以上命题中正确的是(A) (B)(C) (D)例、已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵的秩.(2)求的值及方程组的通解.例、设已知线性方程组存在两个不同的解.(1)求(2)求方程组的通解.例、设线性方程组与方程有公共解,求的值及所有公共解.例、设为线性方程组的一个基础解系,其中为实常数,试问满足什么条件时也为的一个基础解系?例、设是4阶矩阵，为A的伴随矩阵。若是的一个基础解系
5、，则的基础解系可为（ ）A B C D 3、应用（数学一数学二）例、已知平面上三条不同直线的方程分别为 , , .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为例、设有三张不同平面,其方程为()它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为专题四：向量1、线性表示例、设是3维向量空间的一组基,则由基到基的过渡矩阵为(A)(B) (C)(D)例、设向量组，不能由向量组，线性表示；（1） 求的值；（2） 将用线性表示2、线性相关性例、设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A） （B）（C） （D）例、设维列向量组线性无关,则维列向量组线性无关的充分必要条件为
6、(A)向量组可由向量组线性表示 (B)向量组可由向量组线性表示(C)向量组与向量组等价 (D)矩阵与矩阵等价例、设向量组I:可由向量组II:线性表示,则(A)当时,向量组II必线性相关 (B)当时,向量组II必线性相关(C)当时,向量组I必线性相关 (D)当时,向量组I必线性相关例、设为满足的任意两个非零矩阵,则必有(A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关(B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 (C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关(D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关例、设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是(A)若线性相关,则线性相关(B)若线性相关,则线性无关(C)若线性
7、无关,则线性相关(D)若线性无关,则线性无关.3、极大无关组例、设若由形成的向量空间的维数是2,则= .例、从的基到基的过渡矩阵为 .4、综合运用例、设,(1)求满足的.的所有向量,.(2)对(1)中的任意向量,证明无关.专题五：特征值特征向量1、特征值特征向量的定义与性质例、设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,则的非零特征值为.例、若3维列向量满足,其中为的转置,则矩阵的非零特征值为 .例、设是矩阵的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,线性无关的充分必要条件是(A) (B) (C) (D)2、相似对角化例、设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.例、设为4阶对
8、称矩阵,且若的秩为3,则相似于(A)(B) (C)(D)例、设,则与(A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似例、设矩阵,则与(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似例、设为同阶方阵,(1)若相似,证明的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.3、对称矩阵的对角化例、设矩阵,求的特征值与特征向量,其中为的伴随矩阵,为3阶单位矩阵.例、设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(1)求的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵
9、和对角矩阵,使得.例、A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求（1）A的特征值与特征向量 （2） 矩阵A例、设3阶实对称矩阵的特征向量值是的属于特征值的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.(1)验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值与特征向量.(2)求矩阵.例、已知三阶矩阵和三维向量,使得线性无关,且满足.(1)记求使.(2)计算行列式.4、应用例、某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和记成向量(1)求与的关系式并写成
10、矩阵形式:(2)验证是的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当时,求例、设为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图,则的正特征值个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3专题六：二次型已知实二次型经正交变换可化为标准型,则=_.已知二次型的秩为2.(1)求的值；(2)求正交变换,把化成标准形.(3)求方程=0的解.设二次型.(1)求二次型的矩阵的所有特征值;(2)若二次型的规范形为,求的值.设二次型在正交变换下的标准形为且的第三列为(1)求(2)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵.三阶矩阵，为矩阵的转置，已知，且二次型。1）求2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。
