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1、第27课时 等腰三角形,本课时复习主要解决下列问题.1.等腰三角形的有关概念、性质与判定此内容为本课时的重点.为此设计了归类探究中的例1(包括预测变形15),例2;限时集训中的第1,2,3,4,5,6,7,10题.,学生用书P1,2.等边三角形的性质与判定此内容为本课时的重点.为此设计了归类探究中的例3;限时集训中的第8,9,13,14题.3.运用等腰三角形的性质与判定解决有关问题此内容为本课时的难点.为此设计了限时集训中的第11,12题.,1.已知等腰ABC的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围是,学生用书P1,2.2010广州如图27-1,BD是ABC的角平分线,ABD36,C72,则
2、图中的等腰三角形有 个,【解析】由计算可知ABC、ABD、BCD是顶角分别为 36、108、36的等腰三角形,填3.,【解析】当顶角接近180时,有x2.5,当顶角接近0时,有x5,2.5x5.,2.5x5,3,3.如图27-2,在边长为1的等边ABC中,中线AD与中线BE相交于 点O,则OA的长度为.,4.2011毕节如图27-3,已知ABAC,A36,AB的中 垂线MD交AC于点D、交AB于点M.下列结论:BD是ABC的平 分线;BCD是等腰三角形;ABCBCD;AMDBCD,正确的有()A.4个 B.3 个 C.2个 D.1个,B,1.等腰三角形的概念定义:有 相等的三角形叫做等腰三角形
3、,其中相等的 叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做,腰与底边的夹角叫做底角.2.等腰三角形的性质性质:(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”);(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线(简 称为“三线合一”).,两边,两边,顶角,互相重合,3.等腰三角形的判定判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等 角对等边”).注意:要正确区别等腰三角形的性质和判定.“性质”指的是由边相等得出角相等,即“等边对等角”;而“判定”指的是根据一些条件来判定三角形是不是等 腰三角形,即最后得出边相等.4.等边三角形定义:三边都相等的三角形叫做等边三角
4、形.注意:等边三角形是等腰三角形的特殊情况,它是底边与腰相等的等腰三角形.,5.等边三角形的性质和判定性质:(1)等边三角形的三条边都;(2)等边三角形的每一个角都等于.判定:(1)各边或角都相等的三角形是等边三角形;(2)有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形.相关规律:(1)边长为a的等边三角形面积等于(2)等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点.,6.线段的垂直平分线定义:经过线段的 与这条线段 的直线叫做这条线段的垂直平分线.注意:线段的垂直平分线的两个要点“垂直”和“平分”要同时存在.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.判定:与一条线段两个端点距离 的点,在这条
5、线段的垂直平分线上.,相等,60,60,中点,垂直,相等,相等,类型之一 等腰三角形的性质的运用 2012预测题如图27-4,等腰ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则BEC的周长为()A.13 B.14 C.15 D.16,【解析】等腰三角形的周长=两腰长+底边长,则等腰三角形一腰长=,易求题中ABC的腰AC长为8,又DE垂直平分AB,所以 BE=AE,故BEC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=8+5=13.,A,【点悟】等腰三角形性质常与线段垂直平分线结合在一起,列方程(组)是解决等腰三角形中已知边长(周长)求三角形周长(
6、边长)的常用方法,这既是方程思想的体现,又考查了数形结合思想.,预测变形12010烟台如图27-5,等腰ABC中,AB=AC,A=20,线 段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则CBE等于()A.80 B.70 C.60 D.50,C,【解析】根据等边对等角及三角形内角和定理来计算,CBE=ABC-ABE=60.,预测变形2011株洲如图27-6,ABC中,AB=AC,A=36,AC的垂直平 分线交AB于E,D为垂足,连接EC(1)求ECD的度数;(2)若CE=5,求BC的长.,【解析】(1)求ECD的度数最简单的方法是根据线段垂直平分线的性质,得AE=EC,由等边对等角得到E
7、CD=A=36.(2)由(1)知ECA=36,充分利用等边对等角得ABC=ACB=72,则ECB=36,BEC=72=B,BC=CE=5,也可 以利用三角形一个外角等于与它不相邻两内角和,得 CEB=A+ACE=72,从而得到B=CEB=72,所以BC=CE=5.,预测变形如图27-7,在RtABC中,B=90,ED是AC的垂直平分线,交AC于 点D,交BC于点E已知BAE=10,则C的度数为()A.30 B.40 C.50 D.60,B,【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质,三角形内角和定理,等边对等角等知识.ED垂直平分AC,EC=EA,C=EAC,又B+BAE+C+EAC=180,C
8、=,【解析】本题要分两种情况计算.当顶角A为锐角时,如图(1),当顶角A为钝角时,如图(2),,预测变形在ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得锐角为50,则B=,20或70,预测变形5如图27-8,在ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于 点E.若EDC的周长为24,ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为,【解析】根据周长关系列式计算.由题知BD=DC,BE=EC,由化简得BE+BD-ED=12,-得2DE=12,DE=6.,6,类型之二 等腰三角形的判定 2011扬州已知:如图27-9,锐角ABC的两条高BE、CD相交于点O,
9、且OB=OC,(1)求证:ABC是等腰三角形;(2)判断点O是否在BAC的角平分线上,并说明理由,【解析】(1)要证ABC是等腰三角形,可通过证两个角相等,从而得到两边相等,本题可证BDCCEB,易知BDC=BEC=90,BC=CB,再由OB=OC,得OBC=OCB,利用AAS即有BDCCEB,得到BCE=DBC,则AB=AC.(2)根据角平分线判定定理,转化为证OD=OE即可.,解:(1)证明:OB=OC,OBC=OCB.BD、CE是ABC的两条高,BDC=CEB=90.又BC=CB,BDCCEB(AAS),DBC=ECB,AB=AC,ABC是等腰三角形.(2)点O在BAC的角平分线上.理由
10、:BDCCEB,DC=EB.OB=OC,OD=OE.又ODAB,OEAC,点O在BAC的角平分线上,2010德州如图27-10,点E,F在BC上,BECF,AD,BC,AF与DE交于点O(1)求证:ABDC;(2)试判断OEF的形状,并说明理由,证明:()BECF,BEEFCFEF,即BFCE又AD,BC,ABFDCE(AAS),ABDC()OEF为等腰三角形.理由如下:ABFDCE,AFB=DEC,OE=OF,OEF为等腰三角形,【解析】(1)证明ABFDCE;(2)由等角对等边可判断其形状.,【点悟】一般判定等腰三角形的方法是“两边相等”和“等角对等边”两种,这就涉 及证明线段相等或角相等
11、的问题,因此结合三角形全等可以解决很多线段相 等或角相等的问题.,【解析】(1)利用“SAS”证明.(2)利用(1)中的结论将ABF转化到FAE上去,即可求出BFD的度数.,解:(1)证明:ABC为等边三角形,BAC=C=60,AB=CA.在ABE和CAD中,AB=CA,BAE=C,AE=CD,ABECAD.(2)ABECAD,ABE=CAD,BFD=ABE+BAD=CAD+BAD=BAC=60.,类型之三 等边三角形的性质与判定 如图27-11,已知ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.(1)求证:ABECAD;(2)求BFD的度数.,2011綦江如图27-12,等边ABC中,AO是BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边CDE,连接BE.(1)求证:ACDBCE;,(2)延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CPCQ5,若BC8时,求PQ的长.图27-12,解:,【点悟】在几何问题的解答过程中,有一部分思路来源于灵感,这种灵感建立在对一 些几何图形的基本性质(如本题是等边三角形的基本性质)的掌握之上,借 助这些图形的特性,可以启发我们寻找解答问题的思路和方法,从而达到解 决问题的目的.,