第3讲函数的表示方法课件.ppt

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1、第3讲 函数的表示方法,江苏省通州高级中学,主要内容,一、聚焦重点,二、廓清疑点,函数定义域的确定.求作函数的图象.,三、破解难点,利用函数解析式解决实际问题.,函数解析式的求法.,基础知识,函数的三种表示方法:,(1)解析法用等式来表示两个变量之间的 函数关系.,(2)列表法用列表来表示两个变量之间的 函数关系.,(3)图象法用图象来表示两个变量之间的 函数关系.,基础知识,函数的三种表示方法的优点:,聚焦重点:函数解析式的求法,问题研究,求函数解析式通常有哪些方法?,典型例题1,例1 分别根据下列条件,求函数f(x)的解析式:,思路分析,思路2 通过整体换元来处理.,思路1 设法将等式右边

2、配凑为关于 的形式.,求解过程,回顾反思,(1)基本策略:配凑、换元.,(2)数学思想:整体代换.,(3)思维误区:忽视函数的定义域.,例1 f(x)是一次函数,且ff(x)9x8,求f(x).,思路分析,分析 设出一次函数f(x)的一般形式,代入已知等式,再根据多项式恒等的条件确定有关系数.,求解过程,解 设f(x)axb(a0),则,f(x)3x2,或f(x)3x4.,例1 f(x)是一次函数,且ff(x)9x8,求f(x).,回顾反思,(1)基本策略:待定系数法.(2)适用题型:已知函数类型,确定函数解析式.(3)解题关键:根据多项式恒等条件,建立系数 满足的等量关系,联立求解.,思路分

3、析,分析 已知等式中既含有f(x)又含有f(x),能否设法将f(x)消去?,以x代x!,能否由已知等式得到关于f(x)和f(x)的又一个关系?,例1 已知 3f(x)2 f(x)2x5,求 f(x).,求解过程,解 由已知 3f(x)2 f(x)2x5 以x代x,得 3f(x)2 f(x)2x 5 3 2,解得 f(x)2x1.,例1 已知 3f(x)2 f(x)2x5,求 f(x).,回顾反思,(1)基本策略:解方程组,实施消元.(2)数学思想:函数与方程思想.(3)思维障碍:无法找到另一个方程,思维受阻.,例1 已知f(0)1,且对任意x,yR,有 f(xy)f(x)y(2xy1),求f(

4、x).,思路分析,思路1 令y=0,得到f(x)f(x).,此路不通!,思路2 令x=0,得到f(y)f(0)y(y1)y2y1,则f(y)y2y1,即 f(x)x2x1.,方法可行!,思路3 令y=x,得到f(0)f(x)x(2xx1)则f(x)x2x1.,更加简洁!,赋值法!,回顾反思,基本方法:配凑法,换元法,方程法,赋值法,待定系数法.,数学思想:整体换元思想,函数与方程思想.,思维盲点:忽视由中间变量的取值范围确定函 数的定义域.,思维策略:根据问题特点,灵活选择方法.,求函数解析式方法小结:,廓清疑点:函数定义域的确定,典型例题2,思路分析,方法可行,运算繁琐!,思路2 等式右边配

5、方,实施整体代换.,整体处理,更加快速!,求解过程,思考1 解题是否就此结束?,定义域!,思考2 函数定义域是xRx0,对吗?,错!,求解过程,回顾反思,2.在本例中,求函数的定义域,实质就是确定中 间变量的值域,“判别式法”是求函数值域的重 要方法之一.,3.要准确理解不同表达式中同一字母的不同含 义,防止应理解错误而误求定义域.,定义域和对应法则是函数的两个本质要素,对 应法则相同而定义域不同,函数关系也不同,因此,求函数的解析式,必须确定其定义域.,廓清疑点:求作函数的图象,基础知识,1.函数图象是函数关系的直观表示.函数y=f(x)图象就是点集(x,y)y=f(x),xA所 对应的几何

6、图形.,2.作函数图象通常有以下两种方法:描点法:列表描点连线.变换法:利用已知函数(如:一次函数、二 次函数、反比例函数等)的图象,通过平移、对称、伸缩等变换手段,得到所作函数的图象.,基础知识,3.有些函数,在定义域的不同部分上,有着不同的解析表达式.有些函数,虽在定义域上具有统一的解析表达式,但函数关系隐晦,为便于理解,常通过分类讨论转化为几个不同的部分来表示.象这样的函数通常叫做分段函数.需要注意的是,分段函数是一个函数,而不是几个函数.,问题研究,如何求作函数的图象?又应注意哪些问题呢?,典型例题3,例3 作出下列函数的图象:,思路分析,例3 作出下列函数的图象:,思路1 通过取一些

7、特殊点,采用描点法.,关注定义域!,思路2 化为熟悉的函数,再作出图象.,化简函数式!,求解过程,例3 画出下列函数的图象:,回顾反思,(1)求解步骤:确定函数的定义域;化简函数的解析式;作出函数的图象.,(2)思维误区:不会化简,无从下手;范围有误,图象失真;忽视细节,作图粗糙.,思路分析,例3 画出下列函数的图象:,分析 求定义域:,去绝对值号!,化简函数式:,R.,分为以下三种情况进行讨论:x2;2x1;x1.,求解过程,例3 画出下列函数的图象:,回顾反思,(2)思想方法:分类讨论思想.,(1)解决策略:通过讨论,化为分段函数.,(3)思维瑕点:在段与段的“接头”处处理粗 糙,该连不连

8、,当断不断.不善于抓住一些特征点,未 能使所作图象精细化.,思路分析,例3 画出下列函数的图象:,思路1 通过分类讨论,化为分段函数.,思路2 探究函数y=f(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关系,利用图象变换法完成作图.,结论 函数y=f(x)在x轴上方的图象不变,并将 其在 x 轴下方的图象向上翻折,即得所 作函数y=f(x)的图象.,解 作函数y=x22x3=(x1)24的图象.将函数y=(x1)24在x轴下方的图象沿x轴向上翻折,即得到函数 的图象.,解题过程,例3 画出下列函数的图象:,回顾反思,友情提醒:1.要熟练掌握一些常见函数的图象,如一次函 数、反比例函数、二次函数等2.

9、作图前,应首先确定函数的定义域,以保证 图象准确定位在对函数式进行变形过程中,要时刻关注定义域的变化,分清实线与虚线,空心点和实心点,回顾反思,友情提醒3.画图时要尽可能地作出能反映函数性质的一 些特征点和特征线,如图象与坐标轴的交点,双曲线的渐近线,抛物线的顶点、对称轴等,以确保所作图象尽可能地准确4.分段函数的图象,各部分有些“相连”,有些“断裂”,判断方法是:计算分界点处对应函 数值是否相等,相等则“连”,不等则“断”,变式探究,思路1 化为分段函数,分别求出各分段区间上 函数的取值范围,再求并集.,思路自然,普遍适用,思路2 作出图象,观察结果.,借助图象,一目了然,变式探究,思路1

10、分别各种情况逐一讨论.,思路2 作出图象,观察结果.,纷繁复杂,过程冗长,数形结合,一看到底,回顾反思,方法归纳:图象法是研究函数性质的重要手段,如求函 数值域等.随着学习的深入,函数图象的作 用将更加凸显.2.方程f(x)=a的解的个数,等价于直线y=a与函 数 f(x)图象的交点个数,充分体现了数形结 合的数学思想,破解难点:利用函数解析式解决实际问题,例4 某商场经营一批进价是每件30元的商品,在市场试销中发现,此商品的销售价 x(元)与日销售量 y(件)之间有如下关系:根据表中信息,确定y与x的一个函数关系式;设经营此商品的日销售利润为 P 元,问:当销 售单价为多少元时,可获得最大日

11、销售利润?,典型例题4,例4根据表中信息,确定y与x的一个函数关系式;,思路分析,步骤2 猜想y关于x是一次函数模型.,步骤3 检验猜想.,思路分析,解 设yaxb,将(30,60),(50,0)代入,得 30ab60,a3,50ab0.b150.y 3x150(30 x50).,例4根据表中信息,确定y与x的一个函数关系式;,经检验,其他三点的坐标也满足上述关系.,例4 设经营此商品的日销售利润为 P 元,问:当销售单价为多少元时,可获最大日销售利润?,典型例题4,日销售量每件商品的利润,解 P(3x150)(x 30)(x 40)2 300(30 x50),,当x40时,Pmax300.,

12、答:当销售单价为40元时,可获最大日销售利润.,解决实际问题的一般流程:,回顾反思,建模过程:函数三种表示法的转化,总结提炼,知 识:,函数的表示法:列表法,图象法,解析法.,1.确定函数解析式的方法:配凑法、换元法、方程法、赋值法、待定系数法.2.求作函数图象的方法:求定义域、化简函数式、作出图象.,方 法:,总结提炼,1.函数方程思想:如构造方程组求解析式,利用函数图象研究方程解的个数.2.整体换元思想:如换元法求函数解析式.3.分类讨论思想:如去绝对值号化简函数解 析式,含参数方程解的个数的讨论.4.数形结合思想:如由图象拟合函数,将方 程解的问题转化为函数图象的交点问题.,数学思想:,再 见,同步练习,同步练习,3.某工厂产品的次品率p与日产量x(件)的关 系如下表所示(xN,1x98):试写出次品率p关于日产量x的函数关系;若每生产一件正品盈利300元,每生产一 件次品损失100元,将该厂日盈利额M(百元)表示成日产量x的函数,参考答案,

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