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1、一、离散型二、连续型（和的分布）,下页,3.3 二维随机变量函数的分布,例1已知(X,Y)的联合分布律,-1,0,2,3,5,且,求 Z=X+Y的概率分布.,解：Z=X+Y 的所有可能取值为,PZ=-1=PX+Y=-1=PX=-1,Y=0=1/10,PZ=0=PX+Y=0=PX=-1,Y=1=1/20,PZ=2=PX+Y=2=PX=-1,Y=3+PX=2,Y=0=3/20+3/10,下页,一、离散型,同理，PZ=3=0，PZ=5=4/20.,所求分布律为,例2.设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为l1与l2 的Possion分布，令Z=X+Y，试求Z的分布律.,解：由随机变量X与Y的取值
2、都是 0,1,2,可知Z=X+Y的取值也是 0,1,2,对于n=0,1,2,有,即 Z=X+Y服从参数为l1+l2的Possion分布.,下页,下页,二、连续型,问题：设(X,Y)的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).,根据分布函数定义有,对z求导，得Z的概率密度fZ(z)为,令 u=x+y,则y=u-x,dy=du,于是有,下页,问题：设(X,Y)的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).,Z的概率密度fZ(z)为,二、连续型,卷积公式,若X,Y相互独立，则 f(x,y)=fX(x)fY(y)，代入上式得,由对称性可得,例3设X和Y是两个互相独立的随机
3、变量，且XN(0,1),YN(0,1)，求Z=X+Y的概率密度.,解：由于X,Y互相独立，由卷积公式得,下页,卷积公式,从而有，Z=X+YN(0,2).,解:,下页,下页,下页,方法小结：确定非零联合密度对应的积分变量的区间：确定fX(x),fY(z-x)各自的非零定义域A与B；A与B的交集即为所求.确定积分变量的积分限：将A与B的交集映射成平面坐标系中的区域；根据(变常数)z的变化，确定x的变化范围.,记忆要点：连续类型巧计算，,技巧在于积分限；,边缘密度非零域，,交集映射便可见.,解:,下页,下页,作业：71页 18,补充题：设X,Y相互独立，fX(x)和fY(y)如下，用卷积公式求Z=X
4、+Y的概率密度函数.,结束,下页,补充题：设X,Y相互独立，fX(x)和fY(y)如下，用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数.,解:,解：用分布函数法,例6.设X,Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.,现考虑f(x,y)0的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.,当z0时，Fz(z)=0；,当z2时，Fz(z)=1；,下页,当0z1时，,现考虑f(x,y)0的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.,当1z2时，,下页,解：用分布函数法,例6.设X,Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.,所以，,现考虑f(x,y)0的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.,下页,解：用分布函数法,例6.设X,Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.,
