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1、【中考冲刺】垂径定理的应用 【中考冲刺】垂径定理的应用一、选择题（共5小题）1（2011大庆）如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（）A10平方米B10平方米C100平方米D100平方米2（2011南充）在圆柱形油槽内装有一些油截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）A6分米B8分米C10分米D12分米3（2008黔南州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为
2、2cm，则该输水管的半径为（）A3cmB4cmC5cmD6cm4（2011防城港）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A2BC2D35（2011绍兴）一条排水管的截面如图所示已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（）A16B10C8D6二、填空题（共11小题）（除非特别说明，请填准确值）6（2012东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱
3、形饮水桶的底面半径的最大值是_cm7如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m，则圆拱形门所在圆的半径为_m8（2012台州）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为_厘米9（2011梅州）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为_cm210（2012衢州）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为_mm11（2010陕西）如图是一条水铺设的直径为2米的
4、通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深为_米12（2006大兴安岭）如图，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB=120mm，C是上的一点，OCAB，垂足为D，CD=20mm，则原轮片的半径是_mm13（2006黑龙江）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB），点O是这段弧的圆心，AB=120m，C是AB上一点，OCAB，垂足为D，CD=20m，则这段弯路的半径为_m14（2006衡阳）如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，则截面上有油部分油面高CD为_cm15（2004宜昌）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的
5、工具，最少使用_次就可以找到圆形工件的圆心16（2006伊春）如图是一单位拟建的大门示意图，上部是一段直径为10米的圆弧形，下部是矩形ABCD，其中AB=3.7米，BC=6米，则弧AD的中点到BC的距离是_米【中考冲刺】垂径定理的应用参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1（2011大庆）如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（）A10平方米B10平方米C100平方米D100平方米考点：垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质1938326专题：计算题分析：过O作OCAB于C，连OA，根据
6、垂径定理得到AC=BC=10，再根据切线的性质得到AB为小圆的切线，于是有圆环的面积=OA2OC2=（OA2OC2）=AC2，即可圆环的面积解答：解：过O作OCAB于C，连OA，如图，AC=BC，而AB=20，AC=10，AB与小圆相切，OC为小圆的半径，圆环的面积=OA2OC2=（OA2OC2）=AC2=100（平方米）故选D点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧也考查了切线的性质定理以及勾股定理2（2011南充）在圆柱形油槽内装有一些油截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）A6分米B8分米
7、C10分米D12分米考点：垂径定理的应用1938326分析：如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=AB=3，CF=CD=4，设OE=x，则OF=x1，在RtOAE中，OA2=AE2+OE2，在RtOCF中，OC2=CF2+OF2，由OA=OC，列方程求x即可求半径OA，得出直径MN解答：解：如图，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=AB=3，CF=CD=4，设OE=x，则OF=x1，在RtOAE中，OA2=AE2+O
8、E2，在RtOCF中，OC2=CF2+OF2，OA=OC，32+x2=42+（x1）2，解得x=4，半径OA=5，直径MN=2OA=10分米故选C点评：本题考查了垂径定理的运用关键是利用垂径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径的平方，根据半径相等列方程求解3（2008黔南州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A3cmB4cmC5cmD6cm考点：垂径定理的应用；勾股定理1938326专题：探究型分析：过点O作ODAB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r2，在RtAOD
9、中，利用勾股定理即可求r的值解答：解：如图所示：过点O作ODAB于点D，连接OA，ODAB，AD=AB=8=4cm，设OA=r，则OD=r2，在RtAOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r2）2+42，解得r=5cm故选C点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键4（2011防城港）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A2BC2D3考点：垂径定理的应用；勾股定理1938326专题：网格型分析：在网格中找点A、B、D（如图），作A
10、B，BD的中垂线，交点O就是圆心，故OA即为此圆的半径，根据勾股定理求出OA的长即可解答：解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心连接OA、OB，OCAB，OA=OBO即为此圆形镜子的圆心，AC=1，OC=2，OA=故选B点评：本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键5（2011绍兴）一条排水管的截面如图所示已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（）A16B10C8D6考点：垂径定理的应用1938326分析：先根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出BC的长，进而可得出答案解答：解：截面圆圆心
11、O到水面的距离OC是6，OCAB，AB=2BC，在RtBOC中，OB=10，OC=6，BC=8，AB=2BC=28=16故选A点评：本题考查的是垂径定理的应用，熟知垂径定理及勾股定理是解答此题的关键二、填空题（共11小题）（除非特别说明，请填准确值）6（2012东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是30cm考点：垂径定理的应用；勾股定理1938326分析：当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径解答：解：
12、连接OB，如图，当O为ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，O点在AD上，BD=24cm；在Rt0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48r，r2=（48r）2+242，解得r=30即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm故答案为：30点评：此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及勾股定理，垂径定理的讨论和勾股定理7如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m，则圆拱形门所在圆的半径为2.6m考点：垂径定理的应用1938326分析：连接OA，由垂径定理易得出AD的长度，在RtOAD中，可用半径表示出OD的长，根据勾股定理即可求
13、出半径的长度解答：解：连接OA；RtOAD中，AD=AB=1米；设O的半径为R，则OA=OC=R，OD=5R；由勾股定理，得：OA2=AD2+OD2，即：R2=（5R）2+12，解得R=2.6（米）；故答案为：2.6点评：此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（ ）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个8（2012台州）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为10厘米考点：垂径定
14、理的应用；勾股定理1938326分析：首先找到EF的中点M，作MNAD于点M，取MN上的一点O，连接OF，设OF=x，则OM是16x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可解答：解：EF的中点M，作MNAD于点M，取MN上的一点O，连接OF，设OF=x，则OM=16x，MF=8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（16x）2+82=x2解得：x=10故答案为：10点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形9（2011梅州）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影
15、部分的面积为16cm2考点：垂径定理的应用；切线的性质1938326分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2），以及勾股定理即可求解解答：解：设AB于小圆切于点C，连接OC，OBAB于小圆切于点C，OCAB，BC=AC=AB=8=4cm圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2）又直角OBC中，OB2=OC2+BC2圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2）=BC2=16cm2故答案是：16点评：此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=
16、OB2OC2=（OB2OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系10（2012衢州）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为8mm考点：垂径定理的应用；勾股定理1938326专题：探究型分析：先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作ODAB于点D，则AB=2AD，在RtAOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长解答：解：连接OA，过点O作ODAB于点D，则AB=2AD，钢珠的直径是10mm，钢珠的半径是5mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，OD
17、=3mm，在RtAOD中，AD=4mm，AB=2AD=24=8mm故答案为：8点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键11（2010陕西）如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深为0.4米考点：垂径定理的应用；勾股定理1938326专题：应用题分析：利用垂径定理，以及勾股定理即可求解解答：解：作出弧AB的中点D，连接OD，交AB于点C则ODABAC=AB=0.8m在直角OAC中，OC=0.6m则水深CD=ODOC=10.6=0.4m点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角
18、的计算的问题，常把半弦长，圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线12（2006大兴安岭）如图，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB=120mm，C是上的一点，OCAB，垂足为D，CD=20mm，则原轮片的半径是100mm考点：垂径定理的应用；勾股定理1938326专题：应用题分析：连接OA、OB，又知OCAB，故可以设出半径，根据勾股定理和垂径定理解答解答：解：在直角OAD中，设半径是x，则OA=x，OD=x20，AD=AB=60mm根据三角和内角和定理得到：x2=（x20）2+602，解得x=100mm所以原轮片的半径是1
19、00mm点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解13（2006黑龙江）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB），点O是这段弧的圆心，AB=120m，C是AB上一点，OCAB，垂足为D，CD=20m，则这段弯路的半径为100m考点：垂径定理的应用；勾股定理1938326专题：应用题分析：先求出弦的一半的长，再利用勾股定理即可求解解答：解：AB=120m，BD=60m，根据勾股定理可得：OB2=BD2+OD2，即OB2=602+（OB20）2，解得OB=100点评：本题的
20、关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长14（2006衡阳）如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，则截面上有油部分油面高CD为8cm考点：垂径定理的应用；勾股定理1938326专题：应用题分析：先求出AC的长再利用勾股定理求出油面到圆心的距离，油深便可以求出解答：解：连接OA，在直角OAC中，OA=13cm，AC=AB=12cm，根据勾股定理得到OC=5cm，CD=135=8cm，因此油面高CD为8cm点评：本题主要考查半径、弦心距、弦的一半所构成直角三角形，利用勾股定理求解是考查的重点15（2004宜昌）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的
21、工具，最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心考点：垂径定理的应用1938326分析：根据垂径定理的推论可得，CD所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心解答：解：如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心点评：此题主要考查垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧16（2006伊春）如图是一单位拟建的大门示意图，上部是一段直径为10米的圆弧形，下部是矩形ABCD，其中AB=3.7米，BC=6米，则弧AD的中点到BC的距离是4.7米考点：垂径定理的应用；勾股定理1938326专题：应用题分析：先构造出半径和弦心距的直角三角形，求出弦心距，根据半径求出弧顶距弦AD的长，再加上矩形的宽解答：解：如图，作OEAD于点E交弧AD于F则根据垂径定理得AE=AD=BC=3米直径为10米，半径OA=10=5米，在RtAOE中，根据勾股定理OE=4，则EF=54=1（米），1+3.7=4.7（米），弧AD的中点到BC的距离是4.7米点评：构造半径和弦心距的直角三角利用勾股定理求弦心距是解此题突破口，也是解题的关键
