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1、,引言,数学问题：求函数,满足：,的极值。,A,C,B,D,实例：测量工作中，为了确定某点（D）的高程。,hAD,？,hDB,hDC,D,实例：,实例：,有无穷多组解,最小二乘原则：VTPV=min,S1=2km S2=1km S3=4km,实例：,第三章 条件平差,3-1 条件平差原理,条件平差的数学模型为,函数模型,随机模型,平差模型,按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数,构成函数：,将对V求一阶导数,并令其为零,得,转置得,得,转置得,条件方程,法方程,基础方程,1 水准网,3-2、条件方程的列立,总体原则：条件方程的个数等于多余观测数r；优先选用形式简单、易于列立的条件方程。,对水
2、准网进行条件平差时，一般以闭合、附合水准路线的高差在理论上应满足的条件来建立相应的条件方程。,例1：如图2所示高程网中，有：2个已知高程点A、B，3个未知高程点C、D、E 8个高差观测值；,多余观测数r=nt=8-3=5可以列出5个条件方程式,从图2中可以看出，要确定3个未点的高程值，至少需要知道其中的3个高差观测值，即必要观测个数t=3。如h1、h2、h3，或h6、h7、h8 或h2、h4、h5 等多种选择；,（1）,（2）,注：在有已知水准点的水准网中，必要观测的个数就等于未知点的个数；,注：在没有已知水准点的水准网中，必要观测的个数等于网中全部未知点的个数减1.,在没有已知水准点的水准网
3、呢？,处理的思路是：假定某一点的高程（如A点），并当作已知点，去确定其它未知点的相对高程。假定A点，求未知点B、C、D、E，有很多种列法，但必要观测数为4；,测角网的基本条件方程有四种类型：图形、圆周、极条件、基线条件,一、图形条件,例2：图3为一测角网，其中A、B为坐标已知的三角点，C和D为待点，共观测了9个水平角，ai、bi、ci(i=1,2,3)。根据前方交会可知，必要观测t=4,多余观测数r=9-4=5;因此，可以列出5个条件方程。,图3,2 测角网,图形条件，又叫三角形内角和条件，或三角形闭合差条件。在三角网中，一般对三角形的每个内角都进行了观测。根据平面几何知识，三角形的三个内角和
4、的理论值应为180。,3-2、条件方程的列立,一、图形条件,图3,二、圆周条件,对于中点多边形来说，如果仅仅满足了上述三个图形条件，还不能保证它的几何图形能够完全闭合，如图4所示，因此还要列出圆周条件。,（2）,（3）,3-2、条件方程的列立,为了使平差值满足相应几何图形的要求，必须使由不同路线推算得到的同一条边的长度应相等。,三、极条件,图3,满足上述三个图形条件、一个圆周条件，还不能使图3的几何图形完全闭合，如，用正弦定理从ABBDDC；ABADDC；两个方向推出的边长不相等，如图5所示。,3-2、条件方程的列立,以D点为极，列出各图形边长比的积为1，称为极条件方程,图3,3、极条件,注：
5、列极条件方程时，要记住这么一个规律：分子为起算边所 对角度的正弦，分母为推算边所对角度的正弦！,（5）,（6）,（4）,3-2、条件方程的列立,极条件方程为非线性形式，按函数模型线性化的方法，用泰勒（台劳公式展开取至一次项，可得线性形式的极条件方程。,（5）,（7）,线性化以后的极条件方程,图3,例2中9角度的观测数据,2.3、应用示例,图3,2.3、应用示例,2023年3月29日星期三,23,（n=12 t=4 r=8）,四、方位角条件,3-2、条件方程的列立,2023年3月29日星期三,24,五、基线条件（边长条件）,3-2、条件方程的列立,2023年3月29日星期三,25,六、坐标条件,
6、3-2、条件方程的列立,2023年3月29日星期三,26,六、坐标条件,3-2、条件方程的列立,2023年3月29日星期三,27,3-2、条件方程的列立,六、坐标条件,讨论一下如何求出？,2023年3月29日星期三,28,3-2、条件方程的确定,一、图形条件,二、圆周条件,三、极条件,四、方位角条件,五、基线条件（边长条件）,六、坐标条件,一、图形条件,二、极条件,2023年3月29日星期三,29,必要起算数据：1、两个三角点的4个坐标值；,2、一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角。,讨论：三角网中多余观测数的确定,2023年3月29日星期三,30,讨论三角网中多余观测数的确定,1
7、、网中有2个或2个以上已知点的情况,1、网中有2个或2个以上已知点的情况,讨论三角网中多余观测数的确定,2、网中已知点少于2个的情况,讨论三角网中多余观测数的确定,2、网中已知点少于2个的情况,（1）测角网,讨论三角网中多余观测数的确定,2、网中已知点少于2个的情况,（1）测角网,讨论三角网中多余观测数的确定,2、网中已知点少于2个的情况,（2）测边网或者边角网,讨论三角网中多余观测数的确定,2、网中已知点少于2个的情况,（2）测边网或者边角网,讨论：三角网中多余观测数的确定,讨论：复杂条件的列立及线性化,讨论：复杂条件的列立及线性化,讨论：复杂条件的列立及线性化,例子：有独立测边网（如图3.
8、8），边长观测值列于下表。试按条件平差法求出改正数 以及边长平差值。（已知）。,表3.8,图3,例2中9角度的观测数据,讨论：平差值的函数中误差,图3,例2中9角度的观测数据,讨论：平差值的函数中误差,说明平差后，需要计算其他量时，都是使用平差值；也就是说其他量都是平差值的函数。,如果能求出平差值的协方差阵（或协因数阵），则平差值的函数的协方差阵（或协因数阵）就可求。,讨论一下如何来的？,1.计算单位权方差和中误差的估值 根据第二章中对中误差的定义，单位权中误差的计算公式为,在一般情况下，观测值的真误差是不知道的，也就不可能利用上式计算单位权中误差。但在条件平差中，可以通过观测值的改正数V来计
9、算单位权方差和中误差：,二、精度评定,2、协因数阵,条件平差的基本向量L、W、K、V、都可以表达成随机向量L的函数,式中等号右端第二项是与观测值无关的常数项阵，按协因数传播律，得Z的协因数阵为,3平差值函数的协因数 在条件平差中，平差计算后，首先得到的是各个观测量的平差值。例如，水准网中的高差观测值的平差值，测角网中的观测角度的平差值，导线网中的角度观测值和各导线边长观测值的平差值等。而我们进行测量的目的，往往是要得到待定水准点的高程值、未知点的坐标值、三角网的边长值及方位角值等，并且评定其精度。这些值都是关于观测值平差值的函数。设有平差值函数,对上式全微分得,取全微分式的系数阵为,由协因数传
10、播律得,将代入，可求得该平差值函数的方差,图3,例2中9角度的观测数据,讨论：平差值的函数中误差,基础方程,协因数转播定律,基础方程,引言：为什么要选取位置参数？,用和 的估值v和 代替，则附有参数的条件平差法的平差值条件方程及改正数条件方程分别为,3-5 附有参数的条件平差,一、平差原理,为求的极小值，将分别对V和求一阶导数，并令其为零,(3-5-14),则,(3-5-15),即可直接计算出观测值的改正数V。再由，分别计算出观测值平差值和非观测量的最或是值。,二、精度评定,(3-1-17),写出有关协因数阵：,（3-5-19）,（3-5-20）,（3-5-21）,（3-5-22）,3.平差值
11、函数中误差计算 同条件平差一样，在附有参数的条件平差中，要评定一个量的精度，首先要将该量表达成关于观测量平差值和参数平差值的函数形式，再依据协因数传播律，计算该量的协因数，最后计算出其方差或中误差。,设:平差后一个量关于观测值与参数平差值的函数为,(3-5-23),对其全微分，得权函数式,(3-5-24),其中,式中、等，均可参照(3-5-19)、(3-5-20)、(3-5-21)、(3-5-22)等式计算。函数的中误差为,三、例题,例3-2 如图3-15 所示三角网，A，B为已知点，其坐标为A(1000.00,0.00)，B(1000.00,1732.00)(单位：m)，BD边的边长为 S
12、BD=1000.0 m。各角值均为等精度观测（取Q LL=E），观测值分别为：,L 1=600003L 2=600002L 3=600004L 4=595957L 5=595956L 6=595959,取BAD的最或是值为未知数。试用附有参数的条件平差法对该网进行平差，并求CAB平差后最或是值的中误差。,解：本题中，总观测数n=6，必要观测数t=4，多余已知值p=1，附加一个未知参数u=1，则r=n+p t=3，c=n+u r=4可以写出图形条件2个、极条件1个、固定边条件1个，分列出最或是值条件方程如下：,取，由固定边条件可计算其近似值=300000,将最或是值条件方程中的非线性式线性化，并
13、计算出改正数条件方程：,T,T,3-6 条件平差估值的统计性质,一、观测量平差值 具有无偏性,在条件平差中，根据最小二乘原理，求出了平差值（观测量的最或然值）和单位权中误差。本节我们用数理统计理论来讨论这些平差结果的统计性质,根据（3-1-6）、（3-1-14）和（3-1-19）式，得,二、观测值平差值的方差最小（有效性）,根据矩阵的迹的定义，要证明 具有最小方差，需要证明平差值方差的迹tr()为最小即可。而根据方差的定义，也可以证明平差值协因数阵的迹tr()为最小，即,为此，仿照平差值表达式,另设函数：,(3-6-3),(3-6-7),其中,三、单位权方差的无偏性,由于()和(AQ)都是方阵
14、，根据矩阵的迹的性质，有：tr()=tr()=tr()=r 上式代入（3-6-15）式后，根据单位权中误差的计算公式，得,3-7 习 题,3.1 如图3.1所示水准网，A、B两点为高程已知，各观测高差及路线长度如表3.1所列。用条件平差法计算求知点的高程平差值及p2和p3之间平差后高差值的中误差。,表3.1,1.解 n=7,t=3,r=n-t=4.平差值条件方程和改正数条件方程为为：,令C=1，观测值的权倒数为：a=1 1 2 2 1 1 2;Q=diag(a),%生成对角矩阵Q,得：,下面求平差后,的中误差：,中误差为,利用Matlab编写上题的代码为：（%后的内容为注释部分）clear%清
15、除内存中的变量A=-1 1 0 0-1 0 0;0 0 0 0 1 1-1;0 0 1-1 0-1 0;1 0-1 0 0 0 0,a=1 1 2 2 1 1 2;Q=diag(a),%生成对角矩阵QP=inv(Q),%inv()为矩阵求逆运算W=7;-7;-3;4;N=A*Q*A,%A表示A的转置K=inv(N)*W,V=Q*A*K,f=0;0;0;0;1;1;0;sigma=sqrt(V*P*V),%sqrt()为开根号运算Qff=f*Q*f-f*Q*A*inv(N)*A*Q*f,3.2 图3.2中所示的中点三边形，其内角观测值为等精度独立观测值（如表3.2所示），计算各观测角值的平差值及
16、CD边长平差后的相对中误差,表3.2,2.解n=9,t=4.r=n-t=5.即5个条件方程，选取网中3个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。个图形条件方程为：,一个圆周条件方程为：,一个极条件方程为：,其改正数形式为：,将以上改正数条件方程写成矩阵形式为：AV-W=0,P为单位阵。N=AQAT,K=N-1W,两边取全微分得：,可求得该平差值函数的方差,CD边相对中误差为,3.3 如图3.3所示单一附合导线，起算数据和观测值如表3.3所示，测角中误差为3，测边标称精度为(5+5*10-6D)mm，按条件平差法计算各导线点的坐标平差值，并评定3点平差后的点位精度。,表3.3,3.3.解 观测值个数
17、n=9，必要观测数t=2*3=6,多余观测数r=n-t=3.可以列出一个方位角附合条件和两个坐标附合条件。解题过程如下。(1)近似计算各个导线边的方位角和导线点的坐标列于下表。,改正数条件方程,(2)组成改正数条件方程及第3点平差后坐标函数式改正数条件方程闭合差项：,W=5.4-4.9-2.9 T,即 v1+v2+v3+v4+v5 5.4=00.9470vS1+0.2328vS2-+0.9036vS3 0.5053vS 4 1.2440v1 1.4976v2-0.8878v3-0.5012v4+4.9=0-0.3212vS1+0.9725vS 2+0.4284vS 3+0.8632vS4+1.
18、0624v1+0.3147v2+0.1687v3 0.3699v4+2.9=0,fx3=0.9470 0.2328 0 0-0.3562-0.6099 0 0 0 Tfy3=-0.3212 0.9725 0 0 0.8936 0.1460 0 0 0 T,全微分得,第3点平差后坐标函数式,=5 mm+5ppmDkm计算测边中误差根据(3-3-26)式，测角观测值的权为 P=1；,(2)确定边角观测值的权设单位权中误差,根据提供的标称精度公式,则可得观测值的权阵为,为不使测边观测值的权与测角观测值的权相差过大，在计算测边观测值权时，取测边中误差和边长改正值的单位均为厘米（cm）。,(3)组成法方
19、程，计算联系数、改正数及观测值平差值，得,进一步计算各导线点的坐标平差值，得 1(8099.155,3578.576)；2(8400.211,4836.511)；3(9511.085,5363.203),，,点位中误差：,2）点位中误差权倒数：,(4)精度评定1）单位权中误差,3.4 设某平差问题是按条件平差法进行的，其法方程式为：,+,=,试求：（1）单位权中误差；,（2）若已知某一平差函数式，并计算得=44，=16，=4，试求该平差值函数的权倒数 及其中误差。,3.4.解由条件平差的法方程可知,要求单位权中误差,W的维数即为r,所以r=2.,K为可求量。,（2）由于,则,3.5 有三角网（
20、如图3.5），其中B、C为已知点，A、D、E为待定点，观测角（i=1，2，10），（1）试写出AD边的权函数式；（2）设观测值同精度，且,已知方位角 无误差,试求平差后的 权倒数。,3.5.解（1）由于,而,代入上式得,全微分得AB边的权函数式：,（2）平差后,，由于,没有,则,参加平差，故,3.6 试按条件平差法求证在单一水准路线（如图3-6）中，平差后高程最弱点在水准路线中央。,3.6.解设每公里的测量中误差为,为X，则h2的水准路线长度为S-X.则,h1的水准路线长度,上式对寻求导并另其等于零得：,X=S/2时,取 最大值,即最弱点在中点位置。,3.7 已知条件式为,其中，观测值协因数阵
21、为，现有函式，试求：；试证：V和F是互不相关的。,3.7.解(1)由于AV+W=0,W=AL法方程,所以,(2)由,则,3.8 有独立测边网（如图3.8），边长观测值列于下表。试按条件平差法求出改正数 以及边长平差值。（已知）。,表3.8,3.8.解 n=9,t=7,r=n-t=2.（1）列条件方程只需列两个条件方程，如图所示两个图形条件分别为,式中,式中,代入具体数据得：,P为单位权阵。,N-1=0.3555 0.0100 0.0100 0.0287,N=2.8408-0.9908-0.9908 35.2335,（2）组成法方程，计算平差值。,利用Matlab编写上题的代码为：clearformat long A=0 0.5968-0.9052 0.5302 0 0 0.812-0.7342 0.431;2.036-2.066 0 1.0745-3.58 2.282-2.182-1.4878 0.8165,Q=eye(9);P=inv(Q);W=-2.9649;-1.535;N=A*Q*A,K=inv(N)*W,V=Q*A*K,sigma=sqrt(V*P*V/2),
