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1、第2章 单自由度振动,【本章学习目标】掌握单自由度系统的自由振动；熟练掌握单自由度系统在简谐激励下的强迫振动；熟悉单自由度系统在一般周期激励下的强迫振动；掌握单自由度系统在任意周期激励下的强迫振动；了解振动隔离及振动隔离效果评价；,【本章学习方法】单自由度下的自由振动和强迫振动是研究振动的理论基础。因此，本章应该在课堂振动理论学习的情况下，加强课下学习和复习，参阅相关参考资料，并结合分析工程中振动隔离的实际应用实例，熟练掌握单自由度振动系统的自由振动及其响应的理论推导，及在不同阻尼情况下的振动规律和振动特性；掌握单自由度振动系统在简谐激励、一般周期激励以及任意激励下的强迫振动及其响应的各种求解
2、方法。为实际工程应用分析和振动隔离设计奠定扎实的基础。,【本章学习要点】,一、自由振动微分方程及其解,第1节 单自由度振系的自由振动,汽车振动系统单自由度模型,2.振动微分方程,1.振动模型,3.振动微分方程通解,二、在不同阻尼比情况下的解,1.阻尼比1,过阻尼,在不同阻尼比情况下，振动微分方程对应三种不同的解,2.阻尼比=1,临界阻尼,这时特征方程的两根 为不相同的负实数，微分方程的解式中的两个指数均为负数，此时振动微分方程解所表示的运动是按指数规律衰减的非周期性蠕动。根据不同的初始条件，其运动具有如下图所示的相应曲线。,这个方程解所表示的运动是非周期性运动，而是按照指数规律衰减的运动，如图
3、所示。,3.阻尼比1,弱阻尼,这时特征方程的两根 为共轭复根。令 则振动微分方程的解可表示为,利用欧拉公式展开，可得,三、阻尼比对振动的影响,1.阻尼比，使周期略有增大,2.阻尼比，振幅按几何级数衰减,设相邻两振幅 的比值，为减幅系数,式中，n为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振幅衰减也就越大。,系统的对数衰减率为,系统的阻尼比为,由于系统阻尼比远小于1，因此，,第2节 单自由度振系的强迫振动,在外界激振力作用下的微分方程为,激励,不同时，系统所作的强迫振动响应也不同。,一、简谐激励下的强迫振动,单自由度振系受到简谐激振力的作用，如图所示。,图 单自由度有阻尼的简谐激振,振动微分方程为,（1）自
4、由振动齐次方程的解x1为,x1是一种衰减振动，只在振动开始的一段时间内才有意义,而实际工程意义不大,可不予考虑,（2）振动微分方程的特解x2,代表系统在简谐激振下所产生的强迫振动，它是一种持续的等幅振动，故为稳态振动。设特解x2为,稳态响应的速度和加速度分别为,振动响应的幅值X和响应与激励的相位差角,分别为,因此，强迫振动的稳态响应为,强迫振动的放大因子为,在不同的阻尼比 情况下，放大因子与频率比，以及相位差角与频率比之间的关系，分别称为系统的幅频特性和相频特性。曲线如图所示。,可知：,1.单位谐波函数求解强迫振动,设作用在系统上的激励为复数形式的单位幅值简谐激振力，即,，则系统的运动微分方程
5、可表示为,因此，系统的振动响应可表示为,即单位简谐激振力作用下响应的复数位移、复数速度和复数加速度，分别为,将以上三式代入微分方程，可得系统的频率响应函数为,因此，复数形式简谐激振力 下，复数形式的振动响应x可表示为,（1）若实际激振力为正弦函数形式，则实际响应可表示为,（2）若实际激振力为余弦函数形式，则实际响应可表示为,2.支座简谐运动引起的强迫振动,简谐强迫振动不一定都是由激振力引起，许多情况下，振系支座的周期运动同样可使振系发生强迫振动，如汽车驶过不平路面产生的振动等。,图 支座作简谐运动引起的强迫振动,（1）路面激励,（2）振动微分方程,总的激振力相当于两个力的叠加,微分方程可写为,
6、利用单位谐函数法，得系统的频率响应函数为,频率响应函数的模,频率响应函数的相位差,系统在路面激励作用下的复数形式的响应为,设路面激励为正弦形式，则汽车振动系统的实际响应 可表示为,幅值为,位移传递率,图 位移传递率曲线,可知：,支座激励还可以速度或加速度来表达。,（1）若支座激励以速度表达,则系统响应的位移幅值为,（2）若支座激励以加速度表达,则系统响应的位移幅值为,二.一般性周期激励下的强迫振动,因为任意一个周期函数总可以根据傅里叶级数分解成一系列具有基频倍数的简谐分量，即进行谐波分析。对这些不同频率的简谐激励，求出各自的响应，再根据线性系统的叠加原理，将各响应叠加起来便可求得一般周期干扰力
7、作用下的总响应。,一个周期为T的函数，一定条件下展开为傅里叶级数,基频：=2/T,第j阶简谐频率j=2j/T;,a0，aj和b j称为傅氏系数,周期激振力f(t)的作用下的微分方程式可表示为,对于线性系统可以按照叠加原理，将所求得的各简谐分量的稳态响应进行叠加，便可得到整个周期力函数f(t)的稳态响应全解,三、任意激励下的强迫振动,已知任意激励时，求系统响应的方法有好几种，下面分别介绍三种方法,1.杜哈梅积分法,此方法又称为卷积积分法或叠加积分法，其基本思想是：把任意激励分解为一系列微冲量的连续作用，分别求系统对每个微冲量的响应，然后根据线性系统的叠加原理把它们叠加起来，即得系统对任意激励的响
8、应。杜哈梅积分法很容易利用计算机来计算，适用于解决复杂问题及数值问题。,（1）单位脉冲,（2）微分方程,（3）单位脉冲响应,如果单位脉冲输入是在时间t=时作用在系统上，则系统响应可表示为,利用脉冲响应函数h(t),可求得任意激振力作用下系统的响应x(t)。,（3）任意激励的响应,这时可把系统响应x(t)看作一系列微冲量的叠加,如图所示,图 任意激励,任意激振力的总响应为,或,无阻尼系统,质量已有初位移和初始速度,则在有阻尼和无阻尼情况下的响应,分别为,有阻尼：,无阻尼：,2.傅氏积分法,非周期激振视为具有无限长周期的周期激振时，可以表示成傅氏级数或积分,(1)激振函数f(t)的傅氏积分,(2)
9、响应函数x(t)也是非周期的，它也可以用傅氏积分式,(3)把非周期激振函数f(t),看成是由无数个复振幅为 谐波分量的叠加,求出对应于每个谐波分量的响应,然后叠加,得系统的总响应为,即,可知:,(5)脉冲响应函数 与 频率响应函数之间关系为,(4)频率响应函数,可知:,3.拉氏变换法,傅氏变换对函数有一定的条件限制,为了克服这个缺点，在傅氏变换的基础上，引入求解线性振动系统比较有效的拉氏变换法。,(1)函数x(t)的拉氏变换,(2)函数x(t)一阶导数的拉氏变换,(3)函数x(t)二阶导数的拉氏变换,(4)微分方程 的拉氏变换,(5)系统的传递函数G(s),(6)振动系统的实际响应为,三、振动
10、隔离,1.主动隔振,振源是机器本身，使它与地基隔离，减少对周围环境的影响，称为主动隔振，如图 所示,图 主动隔振,（1）机器的铅垂不平衡力,（2）系统的响应,（3）系统响应的速度,（4）通过弹簧传递到地基的力,（5）通过阻尼器传递到地基的力,（6）振源传递到地基的总力,（7）力传递率,2.被动隔振,若振源来自支座，为了减少支座位移对机器设备、仪器仪表等产生的振动，所采用的隔振措施，称为被动隔振。,隔振后机械设备的振幅与支座运动的振幅的比值即位移传递率，称为隔振系数,（1）隔振系数,可知，传递率和隔振系数是相同的,为了直接说明隔振效果，有时会用隔振率表示,（2）隔振率,（1）本章对单自由度振动系统的自由振动响应及其在不同阻尼情况下的自由振动特性进行分析；对单自由度振动系统在简谐激励和一般周期激励下的强迫振动响应和特性进行探讨；对单自由度在任意激励下的振动响应的三种基本求解方法进行研究;最后都振动隔离进行了介绍。（2）单自由度振动系统的自由振动和强迫振动的分析方法，是二自由度和多自由度振动系统的分析基础，通过本章学习可掌握单自由度自由振动响应及在不同阻尼情况下的振动特性；（3）掌握单自由度振动系统在简谐激励和一般周期激励下的振动响应和振动特性；（4）熟悉单自由度振动系统在任意激励下振动响应的三种基本求解方法，即杜哈梅积分法、付氏积分法和拉氏变换法。,四、小结,
