中考北师大版实数专题复习题.docx

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1、1实数实数的分类有理数整数分数正整数零负整数自然数有限小数或无限循环小数正分数负分数无理数正无理数负无理数无限不循环小数实数的意义数轴，相反数，绝对值，倒数，非负数 N次方根近似数和有效数字实数的运算实数的大小比较加，减，乘，除，乘方，开方中考实数专题复习知识结构图2. 一中考目标要求了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义.进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生

2、对相应知识、方法的理解情况.了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质二中考知识点 （一）实数的有关概念1 数轴 （七年级上册P43）（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，缺一不可（2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，正数位于原点的右侧，负数位于原点的左侧，零位于原点处数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数练习：1、判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？2、最大的负整数是_；最小的正整数是_2. 相反数

3、 （七年级上册P44）（1）定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中的的一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数（2）相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等（3）相反数的性质：任何数都有相反数，并且只有一个相反数；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，特别的，0的相反数是0；互为相反数的两个数之和为0，反之，和为0的两个数互为相反数.（4）相反数的表示法.一般地对于任意一个数a，它的相反数为-a，这里的a表示任意的数，可以是正数、负数、也可以是0.（5）相反数的求法：互为相反数的两个数之和等于0. 若a、b互为相反数 a+b =

4、0或 a=-b求一个数的相反数只需在这个数的前面加上一个负号就可以了.练习：1、相反数是它本身的数是（ ）A. 1 B. -1 C. 0 D.不存在2、若上升6米记作6米，那么8米表示 3、 的相反数是4，0得相反数是 ，（4）的相反数是 3. 绝对值 （七年级上册P48）在数轴上，一个数所对应的点a与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.两个负数比较大小，绝对值大的反而小用式子表示为：a (a0)a=0 (a=0)-a (a0)重点提示 无论是绝对值的几何意义还是绝对值的代数意义都揭示了绝对值的一个重要性质非负性也就是说任何一个实

5、数的绝对值都是非负数，即对任意实数a，都有a 0. 当a0.即当a0时a=-a也是一个正数几何定义：数a的绝对值的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离；数轴上点A和点B所对应的实数分别为m和n，则A与B之间的距离为m-n.,符号“”是“非负数”的标志；数a的绝对值只有一个；处理任何类型的题目，只要其中出现绝对值号，其关键一步是去掉绝对值号有关性质：互为相反数的两个数的绝对值相等，即a=-a ; 任何数的绝对值为非负数a0 ;任何数的绝对值都不小于它本身aa ； a+b=0a=0且b=0.练习：1、下列各式中，等号成立的是（ ）A、=6 B、=6 C、=1 D、=3.142、在数轴上表

6、示的数8与2这两个点之间的距离是 （ ）A、6 B、10 C、-10 D、-63、一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是 （ ）A、正数 B、非负数 C、零 D、负数4、绝对值最小的数是 ，3的绝对值是 4.倒数（七年级上册P75） (1)定义： 乘积为1的两个有理数叫作互为倒数.a 的倒数是（a0）.(2)乘积为1的两个数互为倒数. ab=1(3)乘积为-1的两个数互为负倒数. ab=-1(4)性质：积为1： 中， 时，；时， ，则.练习：如果a的倒数是-1，那么a2009等于（ ）A1 B-1 C2009 D20095.科学记数法（七年级上册P201）一般地,一个大于10的数可以表示成a1

7、0n的形式,其中1a10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法6.近似数和有效数字 （七年级下册P93）(1)接近实际数值而不等于实际数值的数叫做近似数.如3133.3,这里313是一个准确数,而3.3是一个近似数.注意一般地,一个近似数,四舍五入到某一位,就说这个近似数精确到那一位.这时应十分注意数字是否具有单位.例如:用四舍五入得到的近似数6.7万,由于单位是万,所以是精确到千位而不是万位.用四舍五入法取近似数的时候要注意精确度的不同.例如:由四舍五入得来的1.6和1.60不一样,不能随便把后面的0去掉,因为他们的精确度不同,1.60是精确到百分位,1.6是精确到十分位.近似数与准确值

8、的接近程度可以用精确来表示(2)对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.重点提示：取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑；用科学计数法表示的近似数，乘号前面的数（即a）的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上如P94例4我国人口总数为1 295 330 000人，精确到千万位，就得到近似数1 300 000 000，用科学记数法记作1.30109，这个数有3个有效数字，分别是1，3，0. 又如

9、P96 2.(2)我国的国土面积为9.6106千米2，精确到了10万千米2，有2个有效数字7平方根 （八年级上册P40）（1）平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）（2）平方根的性质： 一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根“a”，另一个是“-a”,它们互为相反数.这两个平方根合起来可以记作“a”，读作“正、负根号a”； 0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根；a2=a ; a2=a=a (a0)-a (a0)；实数中非负数的四种形式：a0 ; a20 ;a0 a0 ; a中 , a0.非负数有最小值0；有限个非负数

10、之和仍然是非负数；若几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.10.完全平方数：如果一个正数恰好是另一个有理数的平方，这个正数就叫做完全平方数.如：62=36，36是一个完全平方数；342=1156，1156是一个完全平方数.（二）实数的大小比较1在数轴上的任意两个点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大 ab2正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数，绝对值大的反而小设a、b是两负实数，则3求差法：设a、b 为实数：若a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0a a0,b0则a0，b0，则a2b2abab 如果a0，bb，bc，则ac（三）实数的运算1.加法 (

11、七年级上册P55 )同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数2.减法 (七年级上册P62 )减去一个数，等于加上这个数的相反数3.乘法(七年级上册P75 )两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0.同号相乘得正 若a0,b0, 则 ab=ab若a0,b0,b0,则 ab=-ab 若a0,则 ab=-ab数与0相乘得0a为任何有理数，则 a0=04.除法 (七年级上册P80)两个数相除，同号得正，异号得负，并

12、把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0；除以一个数，等于乘上这个数的倒数5.乘方与开方(七年级上册P83)n个相同的因数A 相乘，即，记作，这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n 叫做指数，an读a的n次幂（或a的n次方）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数(八年级上册P41)求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数. (八年级上册P45)正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数(七年级上册P84)零指数与负指数a0=1，a-p=1ap (a0)(七年级下册P23)正数和0可以开平方，负数不能开

13、平方；正数、负数和0都可以开立方6.实数的六种运算关系加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算 7.实数运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二、一有理数混合运算的运算顺序规定如下：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左至右的顺序进行；如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的加括号和去括号时各项的符号的变化规律：去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反

14、8.实数的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc三规律方法指导1.数形结合思想实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口.2.分类讨论思想（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏.3.从实际问题中抽象出数学模型以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个知识点来解决问题，然后有的放矢.4.注意观察、分析、总结对于寻找规律的题目，仔细观

15、察变化的量之间的关系，尝试用数学式子表示规律.对于阅读量大的题目，经常是把规律用语言加以叙述，仔细阅读，找到关键的字、词、句，从而找到思路. 经典例题类型一有关概念的识别1.下面几个数：0.1237 ，1.010010001，-30.064，3 ，227，5，其中,无理数的个数有（ ）A、1 B、2 C、3 D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001，3，5是无理数.故选C.举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（ ）A.81的平方根是3 B.1的立方根是1 C.1=1D.-5是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，81=9

16、，9的平方根是3，A正确1的立方根是1，1 =1，-5是5的平方根，B、C、D都不正确【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ） A. 1 B. 1.4 C. 2 D. 3【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系正方形的边长为1，对角线为2，由圆的定义知AO=2， A表示的数为2，故选C【变式3】 3-92+3-102【答案】= 3.1415，9310，因此3-90，3-1003-92+3-102=3-9+3-10=3-9-3-10=1类型二计算类型题2设26=a，则下列结论正确的是

17、（ ）A. 4.5a5.0 B. 5.0a5.5 C. 5.5a6.0 D. 6.0a6.5解析：（估算）因为52=252630.25=5.52，所以5265.5，所以选B.举一反三：【变式1】1.25的算术平方根是_；平方根是_. -27立方根是_. 214=_，169= _，-3827=_.【答案】52 ；52; -3 ; 32，13 ，-23 【变式2】求下列各式中的x（1）x2=25 （2）x-12=9 （3）x3=-64 【答案】（1）x=5 ;（2）x=4或x=-2 ;（3）x=-4类型三数形结合3. 点A在数轴上表示的数为35，点B在数轴上表示的数为-5，则A，B两点的距离为_解

18、析：在数轴上找到A、B两点，AB=45.举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）A21 B12 C22 D22【答案】选C变式2 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示： 化简2c-a+c-b-a+b-a-c-b 【答案】：a-b-4c.类型四实数绝对值的应用4化简下列各式：(1) 2-1.42(2)-3.142(3)2-3(4)x-x-3 (x3)(5) x2+6x+10分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值解：(1) 2=1.4141.42 2-1.

19、42=1.42-2(2) =3.141593.142|-3.142|=3.142-(3) 23，2-3=3-2(4) x3，x-30，x-x-3=x-(3-x)=2x-3=2x-3 (32x3)3-2x x32 说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对a=a (a0)a=-a (a0 从而求出a, b的值解：由题意得 3a-b=0 1a2-49=0 (2)a+70 (3) ，由(2)得 a2=49 a=7 ，由(3)得 a-7，a=-7不合题意舍去.只取a=7，把a=7代入(1)得b=3a=21 a=7, b=21为所求举一反三：【变式1】已知x-62+2x-6y2+y+2z

20、=0，求(x-y)3-z3的值解：x-62+2x-6y2+y+2z=0，且(x-6)20, 2x-6y20, y+2z0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0.x-6=0 2x-6y=0y+2z=0 解这个方程组得x=6y=2z=-1(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65【变式2】已知a-2+b+52+c+1=0那么a+b-c的值为_【答案】初中阶段的三个非负数：a0 ,a20，a0,a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2.类型六实数应用题6有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8 cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长

21、应为多少cm 解：设新正方形边长为x cm，根据题意得 x2=112+138x2=225x=15边长为正，x=-15不合题意舍去，只取x=15(cm)答：新的正方形边长应取15 cm.举一反三：【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形（4个长方形拼图时不重叠）（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3 cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24 cm 2，求中间小正方形的边长.解析：（1）如图，中间小正方形的边长是： ，所以面积为=, 大正方形的面积=

22、，一个长方形的面积=，所以，答：中间的小正方形的面积，发现的规律是：（或）(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长：，即 ，又大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm 2，所以有，a+b2-a-b2=24,化简得： ，将代入，得： cm 答：中间小正方形的边长2.5 cm.类型七易错题7判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3 （2）的平方根是15（3）当x=0或2时， （4）是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当x=0时， =，显然此式无意义，发生错误的原因

23、是忽视了“负数没有平方根”，故x0，所以当x=2时，x=0.（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.类型八引申提高8（1）已知29的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.（2）把下列无限循环小数化成分数： 0.6 0.23 0.107（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分解：由5=252936=6 得29的整数部分a=5, 29的小数部分b=29-5，a2-b2=52-29-52=25-29-1029+25=-29+1029（2）解：(1) 设x=0.6 则10x=6.6 ，-得9x=6x=69=23，即0.6=23 . . (2) 设x=0.23 则100x=23.23 ，-，得99x=23x=2399，即0.23=2399. (3) 设x=0.107则1000x=107.107，-，得999x=107，x=107999 ，即0.107=107999.