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1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）点P的坐标为：（0
2、，3+3）或（0，33）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，MNB面积最大，最大面积是1此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CP=CB；BP=BC；PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2t，SMNB=（2t）2t=t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得MN
3、B最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=4，c=3，二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）令y=0，则x24x+3=0，解得：x=1或x=3，B（3，0），BC=3，点P在y轴上，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，当CP=CB时，PC=3，OP=OC+PC=3+3或OP=PCOC=33P1（0，3+3），P2（0，33）；当PB=PC时，OP=OB=3，P3（0，-3）；当BP=BC时，OC=OB=3此时P与O重合，P4（0，0）；综上所述
4、，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2t，则DN=2t，SMNB=（2t）2t=t2+2t=（t1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，MNB面积最大，最大面积是1此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处2如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA1，tanBAO3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC，抛物线yax2+bx+c经过点A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接
5、PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与COD相似时点P的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为y=x22x+3；（2）当CEF与COD相似时，P点的坐标为（1，4）或（2，3）【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得DOCAOB，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：当CEF90时，CEFCOD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；当CFE90时，CFECOD，过点P作PMx轴于M点，得到EFCEMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案【详解】（1）在RtAOB中，OA1，t
6、anBAO3，OB3OA3DOC是由AOB绕点O逆时针旋转90而得到的，DOCAOB，OCOB3，ODOA1，A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（3，0），代入解析式为，解得：，抛物线的解析式为yx22x+3；（2）抛物线的解析式为yx22x+3，对称轴为l1，E点坐标为（1，0），如图，分两种情况讨论：当CEF90时，CEFCOD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（1，4）；当CFE90时，CFECOD，过点P作PMx轴于M点，CFE=PME=90，CEF=PEM，EFCEMP，MP3ME点P的横坐标为t，P（t，t22t+3）P在第二象限，PMt22t+3，ME1t
7、，t0，t22t+33（1t），解得：t12，t23（与t0矛盾，舍去）当t2时，y（2）22（2）+33，P（2，3）综上所述：当CEF与COD相似时，P点的坐标为（1，4）或（2，3）【点睛】本题是二次函数综合题解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP3ME3抛物线yax2+bx3（a0）与直线ykx+c（k0）相交于A（1，0）、B（2，3）两点，且抛物线与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标【答案】（1）
8、yx22x3;（2）C（0，3）,D（0，1）;（3）P（1+，2）.【解析】【分析】（1）把A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入yax2+bx3可得抛物线解析式（2）当x0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x0可求D点坐标（3）由题意可知P点纵坐标为2，代入抛物线解析式可求P点横坐标【详解】解：（1）把A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入yax2+bx3可得 解得 yx22x3（2）把x0代入yx22x3中可得y3C（0，3）设ykx+b，把A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入解得 yx1D（0，1）（3）由C（0，3），D（0，1）可知CD的垂直平分线经过（0，2）P点纵坐标为2
9、，x22x32解得：x1，x0x1+P（1+，2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标4函数的图象记为，函数的图象记为，其中为常数，与合起来的图象记为.（）若过点时，求的值；（）若的顶点在直线上，求的值；（）设在上最高点的纵坐标为，当时，求的取值范围.【答案】（）；（）；（）.【解析】【分析】（）将点C的坐标代入的解析式即可求出m的值；（）先求出抛物线的顶点坐标，再根据顶点在直线上得出关于m的方程，解之即可（）先求出抛物线的顶点坐标，结合（）抛物线的顶点坐标，
10、和x的取值范围，分三种情形讨论求解即可；【详解】解：（）将点代入的解析式，解得（）抛物线的顶点坐标为，令，得，（）抛物线的顶点，抛物线的顶点，当时，最高点是抛物线G1的顶点，解得当时，G1中（2，2m-1）是最高点，2m-12m-1，解得当时，G2中（-4，4m-9）是最高点，4m-94m-9，解得.综上所述，即为所求.【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题5如图，抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的
11、顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PEPC时，求点P的坐标【答案】（1）yx2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标【详解】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，解得，所求的抛物线的函数表达式为y
12、x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE抛物线的对称轴为x1当x1时，y4，点D的坐标为（1，4）设直线BD的解析式为ykx+b，则， 解得直线BD的解析式为：y2x+6，设点P的坐标为（x，2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2x2+（3+2x6）2，PE2（x1）2+（2x+6）2，PCPE，x2+（3+2x6）2（x1）2+（2x+6）2，解得，x2，则y22+62，点P的坐标为（2，2）【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键6已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B（2，5）（1）
13、求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A、B，求O AB的面积【答案】（1）y=x22x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A、
14、B的坐标由于OAB不规则，可用面积割补法求出OAB的面积【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，5）代入得：a=1，该函数的解析式为：y=（x+1）2+4=x22x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，x22x+3=0，解得：x1=3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A（2，4），B（5，5），SOAB=（2+5）92455=15【点睛】本题
15、考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.7复习课中，教师给出关于x的函数（k是实数）.教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：存在函数，其图像经过（1,0）点；函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；教师：请你分别判断四条结论的真假，
16、并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】真，假，假，真，理由和所用的数学方法见解析.【解析】试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断.试题解析：真，假，假，真.理由如下：将（1,0）代入，得，解得.存在函数，其图像经过（1,0）点.结论为真.举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.结论为假.当时，二次函数（k是实数）的对称轴为，可举反例如，当时，二次函数为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.结论为假.当时，二次函数的最值为，当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.结论为真.解决问题时所用的数学方
17、法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.8如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC/x轴，交y轴与点C（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与AOC相似，求出对应点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）P点坐标为（4 ,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）【解析】【分
18、析】（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；（2）设P坐标为，表示出AD与PD，由相似分两种情况得比例求出x的值，即可确定出P坐标；（3）存在，求出已知三角形AOC边OA上的高h，过O作OMOA，截取OM=h,与y轴交于点N，分别确定出M与N坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与抛物线解析式联立求出Q坐标即可【详解】（1）把，和点，代入抛物线得：，解得：，则抛物线解析式为；（2）当在直线上方时，设坐标为，则有，当时，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当时，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当点时，也满足；当在直线下方时，同理可得：的坐
19、标为，综上，的坐标为，或，或，或；（3）在中，根据勾股定理得：， ，边上的高为，过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：在中，即，过作轴，在中，即，设直线解析式为，把坐标代入得：，即，即，联立得：，解得：或，即，或，则抛物线上存在点，使得，此时点的坐标为，或，【点睛】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键9如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+x2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC（1）求直线l的解析式；（2）若直线x=m（m0）与该抛物线在第
20、三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD当ODAC时，求线段DE的长；（3）取点G（0，1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使BAP=BCOBAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=；（2）DE=；（3）存在点P（，），使BAP=BCOBAG，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l的函数解析式；（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得OAC=OCB，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾
21、股定理即可解答本题【详解】（1）抛物线y=x2+x-2，当y=0时，得x1=1，x2=-4，当x=0时，y=-2，抛物线y=x2+x-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2），直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y=kx+b，得，即直线l的函数解析式为y=x2； （2）直线ED与x轴交于点F，如图1所示，由（1）可得，AO=4，OC=2，AOC=90，AC=2，OD=，ODAC，OAOC，OAD=CAO，AODACO，即，得AD=，EFx轴，ADC=90，EFOC，ADFACO，解得，AF=，DF=，OF=4
22、-=，m=-，当m=-时，y=（）2+（-）-2=-，EF=，DE=EF-FD=；（3）存在点P，使BAP=BCO-BAG， 理由：作GMAC于点M，作PNx轴于点N，如图2所示，点A（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2），OA=4，OB=1，OC=2，tanOAC=，tanOCB=，AC=2，OAC=OCB，BAP=BCO-BAG，GAM=OAC-BAG，BAP=GAM，点G（0，-1），AC=2，OA=4，OG=1，GC=1，AG=，即，解得，GM=，AM=，tanGAM=，tanPAN=，设点P的坐标为（n，n2+n-2），AN=4+n，PN=n2+n-2，解得，n1=，n2=-
23、4（舍去），当n=时，n2+n-2=，点P的坐标为（，），即存在点P（，），使BAP=BCO-BAG【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答10如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿
24、y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为：y=，BD解析式为y=；（2）t的值为、（3）N点坐标为（2，2），M点坐标为（，），. 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D的坐标，过点D分别作DEx轴、DFy轴，分P1DP1C、P2DDC、P3CDC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短详解：（1）把A（4，0），B（1，0）
25、代入y=ax2+2x+c，得，解得：，抛物线解析式为：y=，过点B的直线y=kx+，代入（1，0），得：k=，BD解析式为y=；（2）由得交点坐标为D（5，4），如图1，过D作DEx轴于点E，作DFy轴于点F，当P1DP1C时，P1DC为直角三角形，则DEP1P1OC，=，即=，解得t=，当P2DDC于点D时，P2DC为直角三角形由P2DBDEB得=，即=，解得：t=；当P3CDC时，DFCCOP3，=，即=，解得：t=，t的值为、（3）由已知直线EF解析式为：y=x，在抛物线上取点D的对称点D，过点D作DNEF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N作NHDD于点H，此时，DM+MN=DN最小则EOFNHD设点N坐标为（a，），=，即=，解得：a=2，则N点坐标为（2，2），求得直线ND的解析式为y=x+1，当x=时，y=，M点坐标为（，），此时，DM+MN的值最小为=2点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想解题时注意数形结合
