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1、中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案一、圆的综合1如图,点P在O的直径AB的延长线上,PC为O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交O于点E(1)如图1,求证:DAC=PAC;(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在O上,连接EF,过点F作AD的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG;(3)在(2)的条件下,如图3,若AE=DG,PO=5,求EF的长【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=3【解析】【分析】(1)连接OC,求出OCAD,求出OCPC,根据切线的判定推出即可;(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是
2、矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案;(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出FHO=EHO=45,根据矩形的性质得出EHDG,求出OM=AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=DG,DG=3a,求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tanMBO,tanP=,设OC=k,则PC=2k,根据OP=k=5求出k=,根据勾股定理求出a,即可求出答案【详解】(1)证明:连接OC,PC为O的切线,OCPC,ADPC,OCAD,OCA=DAC,OC=OA,PAC=OCA,DAC=PAC;(2)证明:连接BE交GF于H,连接OH,FGAD,FGD+D=180,D=90,FG
3、D=90,AB为O的直径,BEA=90,BED=90,D=HGD=BED=90,四边形HGDE是矩形,DE=GH,DG=HE,GHE=90,HEF=FEA=BEA=45,HFE=90HEF=45,HEF=HFE,FH=EH,FG=FH+GH=DE+DG;(3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF,EH=HF,OE=OF,HO=HO,FHOEHO,FHO=EHO=45,四边形GHED是矩形,EHDG,OMH=OCP=90,HOM=90OHM=9045=45,HOM=OHM,HM=MO,OMBE,BM=ME,OM=AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=DG,DG=3a,HGC=GCM=G
4、HE=90,四边形GHMC是矩形,GC=HM=a,DC=DGGC=2a,DG=HE,GC=HM,ME=CD=2a,BM=2a,在RtBOM中,tanMBO=,EHDP,P=MBO,tanP=,设OC=k,则PC=2k,在RtPOC中,OP=k=5,解得:k=,OE=OC=,在RtOME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5,a=1,HE=3a=3,在RtHFE中,HEF=45,EF=HE=3【点睛】考查了切线的性质,矩形的性质和判定,解直角三角形,勾股定理等知识点,能综合运用性质进行推理是解此题的关键2如图,点A、B、C分别是O上的点, CD是O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC(1)
5、若B=60,求证:AP是O的切线;(2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BEAB的值【答案】(1)证明见解析;(2)8【解析】(1)求出ADC的度数,求出P、ACO、OAC度数,求出OAP=90,根据切线判定推出即可;(2)求出BD长,求出DBE和ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案试题解析:连接AD,OA,ADC=B,B=60,ADC=60,CD是直径,DAC=90,ACO=180-90-60=30,AP=AC,OA=OC,OAC=ACD=30,P=ACD=30,OAP=180-30-30-30=90,即OAAP,OA为半径,AP是O切线(2)连接AD,BD,CD是直
6、径,DBC=90,CD=4,B为弧CD中点,BD=BC=,BDC=BCD=45,DAB=DCB=45,即BDE=DAB,DBE=DBA,DBEABD,BEAB=BDBD=考点:1切线的判定;2相似三角形的判定与性质3如图,A过OBCD的三顶点O、D、C,边OB与A相切于点O,边BC与O相交于点H,射线OA交边CD于点E,交A于点F,点P在射线OA上,且PCD=2DOF,以O为原点,OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,点B的坐标为(0,2)(1)若BOH=30,求点H的坐标;(2)求证:直线PC是A的切线;(3)若OD=,求A的半径【答案】(1)(1,);(2)详见解析;(3).【解析】【分
7、析】(1)先判断出OH=OB=2,利用三角函数求出MH,OM,即可得出结论;(2)先判断出PCD=DAE,进而判断出PCD=CAE,即可得出结论;(3)先求出OE3,进而用勾股定理建立方程,r2-(3-r)2=1,即可得出结论【详解】(1)解:如图,过点H作HMy轴,垂足为M四边形OBCD是平行四边形,B=ODC四边形OHCD是圆内接四边形OHB=ODCOHB=BOH=OB=2在RtOMH中,BOH=30,MH=OH=1,OM=MH=,点H的坐标为(1,),(2)连接ACOA=AD,DOF=ADODAE=2DOFPCD=2DOF,PCD=DAEOB与O相切于点AOBOFOBCDCDAFDAE=
8、CAEPCD=CAEPCA=PCD+ACE=CAE+ACE=90直线PC是A的切线;(3)解:O的半径为r在RtOED中,DE=CD=OB=1,OD= ,OE3OA=AD=r,AE=3r在RtDEA中,根据勾股定理得,r2(3r)2=1解得r=【点睛】此题是圆的综合题,主要考查了平行四边形的性质,圆内接四边形的性质,勾股定理,切线的性质和判定,构造直角三角形是解本题的关键4如图1,已知扇形MON的半径为,MON=90,点B在弧MN上移动,联结BM,作ODBM,垂足为点D,C为线段OD上一点,且OC=BM,联结BC并延长交半径OM于点A,设OA=x,COM的正切值为y.(1)如图2,当ABOM时
9、,求证:AM=AC;(2)求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(3)当OAC为等腰三角形时,求x的值.【答案】 (1)证明见解析;(2) .();(3) .【解析】分析:(1)先判断出ABM=DOM,进而判断出OACBAM,即可得出结论;(2)先判断出BD=DM,进而得出,进而得出AE=,再判断出,即可得出结论;(3)分三种情况利用勾股定理或判断出不存在,即可得出结论详解:(1)ODBM,ABOM,ODM=BAM=90ABM+M=DOM+M,ABM=DOMOAC=BAM,OC=BM,OACBAM, AC=AM(2)如图2,过点D作DEAB,交OM于点EOB=OM,ODBM,BD=DMDEAB
10、,AE=EMOM=,AE=DEAB, ()(3)(i) 当OA=OC时在RtODM中,解得,或(舍)(ii)当AO=AC时,则AOC=ACOACOCOB,COB=AOC,ACOAOC,此种情况不存在()当CO=CA时,则COA=CAO=CAOM,M=90,90,45,BOA=290BOA90,此种情况不存在即:当OAC为等腰三角形时,x的值为点睛:本题是圆的综合题,主要考查了相似三角形的判定和性质,圆的有关性质,勾股定理,等腰三角形的性质,建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键5已知AB,CD都是的直径,连接DB,过点C的切线交DB的延长线于点E如图1,求证:;如图2,过点A作交EC的延长线
11、于点F,过点D作,垂足为点G,求证:;如图3,在的条件下,当时,在外取一点H,连接CH、DH分别交于点M、N,且,点P在HD的延长线上,连接PO并延长交CM于点Q,若,求线段HM的长【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)由D+E=90,可得2D+2E=180,只要证明AOD=2D即可;(2)如图2中,作ORAF于R只要证明AORODG即可;(3)如图3中,连接BC、OM、ON、CN,作BTCL于T,作NKCH于K,设CH交DE于W解直角三角形分别求出KM,KH即可;【详解】证明:如图1中,与CE相切于点C,证明:如图2中,作于R,四边形OCFR是矩形,在和中,解:
12、如图3中,连接BC、OM、ON、CN,作于T,作于K,设CH交DE于W设,则,为直径,负根已经舍弃,是等边三角形,在中,在中,在中,在中,【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,添加常用辅助线,构造全等三角形或直角三角形解题的关键.6在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),且x1x2,y1y2,以MN为边构造菱形,若该菱形的两条对角线分别平行于x轴,y轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”(1)已知点A(2,0),B(0,2),则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为 ;(2)若点C
13、(1,2),点D在直线y=5上,以CD为边的“坐标菱形”为正方形,求直线CD 表达式;(3)O的半径为,点P的坐标为(3,m)若在O上存在一点Q,使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围【答案】(1)60;(2)y=x+1或y=x+3;(3)1m5或5m1【解析】分析:(1)根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”,由勾股定理求边长AB=4,可得30度角,从而得最小内角为60; (2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45,得D(4,5)或(2,5),易得直线CD的表达式为:y=x+1或y=x+3; (3)分两种情况: 先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,根据
14、等腰直角三角形的性质分别求PB=BD=1,PB=5,写出对应P的坐标; 先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图4,同理可得结论详解:(1)点A(2,0),B(0,2),OA=2,OB=2在RtAOB中,由勾股定理得:AB=4,ABO=30 四边形ABCD是菱形,ABC=2ABO=60 ABCD,DCB=18060=120,以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60 故答案为:60; (2)如图2以CD为边的“坐标菱形”为正方形,直线CD与直线y=5的夹角是45 过点C作CEDE于E,D(4,5)或(2,5),直线CD的表达式为:y=x+1或y=x+3; (3)分两种情况: 先
15、作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3O的半径为,且OQD是等腰直角三角形,OD=OQ=2,PD=32=1 PDB是等腰直角三角形,PB=BD=1,P(0,1),同理可得:OA=2,AB=3+2=5 ABP是等腰直角三角形,PB=5,P(0,5),当1m5时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形; 先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图4 O的半径为,且OQD是等腰直角三角形,OD=OQ=2,BD=32=1 PDB是等腰直角三角形,PB=BD=1,P(0,1),同理可得:OA=2,AB=3+2=5 ABP是等腰直角三角形,PB=5,P(0,5),当5m1时,
16、以QP为边的“坐标菱形”为正方形; 综上所述:m的取值范围是1m5或5m1点睛:本题是一次函数和圆的综合题,考查了菱形的性质、正方形的性质、点P,Q的“坐标菱形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用图象解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意一题多解,属于中考创新题目7如图,AB是圆O的直径,射线AMAB,点D在AM上,连接OD交圆O于点E,过点D作DC=DA交圆O于点C(A、C不重合),连接OC、BC、CE(1)求证:CD是O的切线;(2)若圆O的直径等于2,填空:当AD= 时,四边形OADC是正方形;当AD= 时,四边形OECB是菱形【答案】(1)见解析;(2)1;【解析】试题
17、分析:(1)依据SSS证明OADOCD,从而得到OCD=OAD=90;(2)依据正方形的四条边都相等可知AD=OA;依据菱形的性质得到OE=CE,则EOC为等边三角形,则CEO=60,依据平行线的性质可知DOA=60,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长试题解析:解:AMAB,OAD=90OA=OC,OD=OD,AD=DC,OADOCD,OCD=OAD=90OCCD,CD是O的切线(2)当四边形OADC是正方形,AO=AD=1故答案为:1四边形OECB是菱形,OE=CE又OC=OE,OC=OE=CECEO=60CEAB,AOD=60在RtOAD中,AOD=60,AO=1,AD=故答案为:点睛:本
18、题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定,特殊锐角三角函数值的应用,熟练掌握相关知识是解题的关键8如图,ABC是O的内接三角形,点D,E在O上,连接AE,DE,CD,BE,CE,EAC+BAE=180,(1)判断BE与CE之间的数量关系,并说明理由;(2)求证:ABEDCE;(3)若EAC=60,BC=8,求O的半径【答案】(1)BE=CE,理由见解析;(2)证明见解析;(3)【解析】分析:(1)由A、B、C、E四点共圆的性质得:BCE+BAE=180,则BCE=EAC,所以,则弦相等;(2)根据SSS证明ABEDCE;(3)作BC和BE两弦的
19、弦心距,证明RtGBORtHBO(HL),则OBH=30,设OH=x,则OB=2x,根据勾股定理列方程求出x的值,可得半径的长本题解析:(1)解:BE=CE,理由:EAC+BAE=180,BCE+BAE=180,BCE=EAC,BE=CE;(2)证明:,AB=CD,AE=ED,由(1)得:BE=CE,在ABE和DCE中, ,ABEDCE(SSS);(3)解:如图,过O作OGBE于G,OHBC于H,BH=BC=8=4,BG=BE,BE=CE,EBC=EAC=60,BEC是等边三角形,BE=BC,BH=BG,OB=OB,RtGBORtHBO(HL),OBH=GBO=EBC=30,设OH=x,则OB
20、=2x,由勾股定理得:(2x)2=x2+42,x=,OB=2x=,O的半径为点睛:本题是圆的综合题,考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30的性质,难度适中,第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论;第三问作辅助线,利用勾股定理列方程是关键.9对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P,给出如下定义:点A是线段MN上一个动点,过点A作线段MN的垂线l,点P是垂线l上的另外一个动点如果以点P为旋转中心,将垂线l沿逆时针方向旋转60后与线段MN有公共点,我们就称点P是线段MN的“关联点”如图,M(1,2),N(4,2)(1) 在点P1(1,3),P2(4,0),
21、P3(3,2)中,线段MN的“关联点”有 ;(2) 如果点P在直线上,且点P是线段MN的“关联点”,求点P的横坐标x的取值范围;(3) 如果点P在以O(1,)为圆心,r为半径的O上,且点P是线段MN的“关联点”,直接写出O半径r的取值范围 【答案】(1)P1和P3;(2);(3)【解析】【分析】(1)先根据题意求出点P的横坐标的范围,再求出P点的纵坐标范围即可得出结果;(2)由直线y=x+1经过点M(1,2),得出x1,设直线y=x+1与P4N交于点A,过点A作ABMN于B,延长AB交x轴于C,则在AMN中,MN=3,AMN=45,ANM=30,设AB=MB=a,tanANM=,即tan30=
22、,求出a即可得出结果;(3)圆心O到P4的距离为r的最大值,圆心O到MP5的距离为r的最小值,分别求出两个距离即可得出结果【详解】(1)如图1所示:点A是线段MN上一个动点,过点A作线段MN的垂线l,点P是垂线l上的另外一个动点,M(1,2),N(4,2),点P的横坐标1x4,以点P为旋转中心,将垂线l沿逆时针方向旋转60后与线段MN有公共点,当MPN=60时,PM=,同理PN=,点P的纵坐标为2-或2+,即纵坐标2-y2+,线段MN的“关联点”有P1和P3;故答案为:P1和P3;(2)线段MN的“关联点”P的位置如图所示, 直线经过点M(1,2), x1.设直线与P4N交于点A .过点A作A
23、BMN于B,延长AB交x轴于C.由题意易知,在AMN中,MN = 3,AMN = 45,ANM = 30.设AB = MB = a, ,即,解得 点A的横坐标为 综上 (3)点P在以O(1,-1)为圆心,r为半径的O上,且点P是线段MN的“关联点”,如图3所示:连接P4O交x轴于点D,P4、M、D、O共线,则圆心O到P4的距离为r的最大值,由(1)知:MP4=NP5=,即OD+DM+MP4=1+2+=3+,圆心O到MP5的距离为r的最小值,作OEMP5于E,连接OP5,则OE为r的最小值,MP5=2,OM=OD+DM=1+2=3,OMP5的面积=OEMP5=OMMN,即OE2=33,解得:OE
24、=,r3+【点睛】本题是圆的综合题,考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识,熟练掌握“关联点”的含义,作出关于MN的“关联点”图是关键10如图,AC是O的直径,OB是O的半径,PA切O于点A,PB与AC的延长线交于点M,COBAPB(1)求证:PB是O的切线;(2)当MB4,MC2时,求O的半径【答案】(1)证明见解析;(2)3.【解析】【分析】(1)根据题意M+P90,而COBAPB,所以有M+COB90,即可证明PB是O的切线.(2)设圆的半径为r,则OM=r+2,BM=4,OB=r,再根据勾股定理列方程便可求出r.【详解】证明:(1)AC是O的直径,PA切O于点A,PAOA在
25、RtMAP中,M+P90,而COBAPB,M+COB90,OBM90,即OBBP,PB是O的切线;(2)设O的半径为r, , , 为直角三角形 ,即 解得:r3,O的半径为3【点睛】本题主要考查圆的切线问题,证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径,另一种是证明半径垂直.11如图,ABCD的边AD是ABC外接圆O的切线,切点为A,连接AO并延长交BC于点E,交O于点F,过点C作直线CP交AO的延长线于点P,且BCPACD(1)求证:PC是O的切线;(2)若B67.5,BC2,求线段PC,PF与弧CF所围成的阴影部分的面积S【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)过C点作直径CM,连
26、接MB,根据CM为直径,可得M+BCM90,再根据ABDC可得ACDBAC,由圆周角定理可得BACM,BCPACD,从而可推导得出PCM90,根据切线的判定即可得;(2)连接OB,由AD是O的切线,可得PAD90,再由BCAD,可得APBC,从而得BECEBC1,继而可得到ABCACB67.5,从而得到BAC45,由圆周角定理可得BOC=90,从而可得BOECOEOCE 45,根据已知条件可推导得出OECE1,PCOC,根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】(1)过C点作直径CM,连接MB,CM为直径,MBC90,即M+BCM90,四边形ABCD是平行四边形,ABDC,AD
27、BC,ACDBAC,BACM,BCPACD,MBCP,BCP+BCM90,即PCM90,CMPC,PC与O相切;(2)连接OB,AD是O的切线,切点为A,OAAD,即PAD90,BCAD,AEB=PAD90, APBCBECEBC1, ABAC,ABCACB67.5,BAC180ABCACB45,BOC2BAC90,OBOC,APBC,BOECOEOCE 45,PCM90,CPOCOEOCE 45,OECE1,PCOC, SSPOCS扇形OFC【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等,综合性较强,准确添加辅助线是解题的关键.12如图,线段BC所在的直线 是以AB为直
28、径的圆的切线,点D为圆上一点,满足BDBC,且点C、D位于直径AB的两侧,连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点,连接EF,分别交AB、BD于点G、H,且EFBD.(1)求证:EFBC;(2)若EH4,HF2,求的长.【答案】(1)见解析;(2) 【解析】【分析】(1)根据EFBD可得,进而得到,根据“在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.(2)连接DF,根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长,根据“在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角,利用锐角三角函数求出BHG,进而求出BDE的度数,确定所对的圆心角的度数,根据DFH90确定DE
29、为直径,代入弧长公式即可求解.【详解】(1)EFBD, DDEF又BDBC,DC,DEF=CEFBC(2)AB是直径,BC为切线,ABBC又EFBC,ABEF,弧BF=弧BE,GFGE(HF+EH)=3,HG=1DB平分EDF,又BFCD,FBDFDBBDEBFHHBHF2cosBHG,BHG60.FDBBDE30DFH90,DE为直径,DE4,且弧BE所对圆心角60.弧BE4【点睛】本题是圆的综合题,主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识,掌握圆周角的有关定理,切线的性质,垂径定理及弧长公式是解题关键.13在直角坐标系中,O为坐标原点,点A坐标为(2,0),以OA为边在第一象限内
30、作等边OAB,C为x轴正半轴上的一个动点(OC2),连接BC,以BC为边在第一象限内作等边BCD,直线DA交y轴于E点(1)求证:OBCABD(2)随着C点的变化,直线AE的位置变化吗?若变化,请说明理由;若不变,请求出直线AE的解析式(3)以线段BC为直径作圆,圆心为点F,当C点运动到何处时,直线EF直线BO;这时F和直线BO的位置关系如何?请给予说明【答案】(1)见解析;(2)直线AE的位置不变,AE的解析式为:;(3)C点运动到处时,直线EF直线BO;此时直线BO与F相切,理由见解析.【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得到OB=AB,BC=BD,OBA=DBC,等号两边都加上AB
31、C,得到OBC=ABD,根据“SAS”得到OBCABD.(2)先由三角形全等,得到BAD=BOC=60,由等边BCD,得到BAO=60,根据平角定义及对顶角相等得到OAE=60,在直角三角形OAE中,由OA的长,根据tan60的定义求出OE的长,确定出点E的坐标,设出直线AE的方程,把点A和E的坐标代入即可确定出解析式.(3)由EAOB,EFOB,根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条,得到EF与EA重合,所以F为BC与AE的交点,又F为BC的中点,得到A为OC中点,由A的坐标即可求出C的坐标;相切理由是由F为等边三角形BC边的中点,根据“三线合一”得到DF与BC垂直,由EF与OB平行
32、得到BF与OB垂直,得证.【详解】(1)证明:OAB和BCD都为等边三角形,OB=AB,BC=BD,OBA=DBC=60,OBA+ABC=DBC+ABC,即OBC=ABD,在OBC和ABD中, ,OBCABD.(2)随着C点的变化,直线AE的位置不变,OBCABD,BAD=BOC=60,又BAO=60,DAC=60,OAE=60,又OA=2,在RtAOE中,tan60=,则OE=2,点E坐标为(0,-2),设直线AE解析式为y=kx+b,把E和A的坐标代入得: ,解得, ,直线AE的解析式为:.(3)C点运动到处时,直线EF直线BO;此时直线BO与F相切,理由如下:BOA=DAC=60,EAO
33、B,又EFOB,则EF与EA所在的直线重合,点F为DE与BC的交点,又F为BC中点,A为OC中点,又AO=2,则OC=4,当C的坐标为(4,0)时,EFOB,这时直线BO与F相切,理由如下:BCD为等边三角形,F为BC中点,DFBC,又EFOB,FBOB,直线BO与F相切,【点睛】本题考查了一次函数;三角形全等的判定与性质;等边三角形的性质和直线与圆的位置关系.熟练掌握相关性质定理是解题关键.14在平面直角坐标系XOY中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1x2,若P、Q为某等边三角形的两个顶点,且有一边与x轴平行(含重合),则称P、Q互为“向善点”如图1为点P、Q互
34、为“向善点”的示意图已知点A的坐标为(1,),点B的坐标为(m,0)(1)在点M(1,0)、S(2,0)、T(3,3)中,与A点互为“向善点”的是_;(2)若A、B互为“向善点”,求直线AB的解析式;(3)B的半径为,若B上有三个点与点A互为“向善点”,请直接写出m的取值范围【答案】(1)S,T(2)直线AB的解析式为yx或yx+2;(3)当2m0或2m4时,B上有三个点与点A互为“向善点”【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义,可得出点S,T与A点互为“向善点”;(2)根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义,可得出关于m的分式方程,解之经检验后可得出点B的坐标,根据
35、点A,B的坐标,利用待定系数法即可求出直线AB的解析式;(3)分B与直线y=x相切及B与直线y=-x+2相切两种情况求出m的值,再利用数形结合即可得出结论【详解】(1),点S,T与A点互为“向善点”故答案为S,T(2)根据题意得:,解得:m10,m22,经检验,m10,m22均为所列分式方程的解,且符合题意,点B的坐标为(0,0)或(2,0)设直线AB的解析式为ykx+b(k0),将A(1,),B(0,0)或(2,0)代入ykx+b,得:或,解得:或,直线AB的解析式为yx或yx+2(3)当B与直线yx相切时,过点B作BE直线yx于点E,如图2所示BOE60,sin60,OB2,m2或m2;当
36、B与直线yx+2相切时,过点B作BF直线yx+2于点F,如图3所示同理,可求出m0或m4综上所述:当2m0或2m4时,B上有三个点与点A互为“向善点”【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形,解题的关键是:(1)根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义,确定给定的点是否与A点互为“向善点”;(2)根据点的坐标,利用待定系数法求出一次函数解析式;(3)分B与直线y=x相切及B与直线y=-x+2相切两种情况考虑15(问题情境)如图1,点E是平行四边形ABCD的边AD上一点,连接BE、CE求证:S平行四边形ABCD(说明:S表示面
37、积)请以“问题情境”为基础,继续下面的探究(探究应用1)如图2,以平行四边形ABCD的边AD为直径作O,O与BC边相切于点H,与BD相交于点M若AD6,BDy,AMx,试求y与x之间的函数关系式(探究应用2)如图3,在图1的基础上,点F在CD上,连接AF、BF,AF与CE相交于点G,若AFCE,求证:BG平分AGC(迁移拓展)如图4,平行四边形ABCD中,AB:BC4:3,ABC120,E是AB的中点,F在BC上,且BF:FC2:1,过D分别作DGAF于G,DHCE于H,请直接写出DG:DH的值【答案】【问题情境】见解析;【探究应用1】;【探究应用2】见解析;【迁移拓展】.【解析】【分析】(1
38、)作EFBC于F,则SBCEBCEF,S平行四边形ABCDBCEF,即可得出结论;(2)连接OH,由切线的性质得出OHBC,OHAD3,求出平行四边形ABCD的面积ADOH18,由圆周角定理得出AMBD,得出ABD的面积BDAM平行四边形的面积9,即可得出结果;(3)作BMAF于M,BNCE于N,同图1得:ABF的面积BCE的面积平行四边形ABCD的面积,得出AFBMCEBN,证出BMBN,即可得出BG平分AGC(4)作APBC于P,EQBC于Q,由平行四边形的性质得出ABP60,得出BAP30,设AB4x,则BC3x,由直角三角形的性质得出BPAB2x,BQBE,APBP2x,由已知得出BE
39、2x,BF2x,得出BQx,EQx,PF4x,QF3x,QC4x,由勾股定理求出AF2x,CEx,连接DF、DE,由三角形的面积关系得出AFDGCEDH,即可得出结果【详解】(1)证明:作EFBC于F,如图1所示:则SBCEBCEF,S平行四边形ABCDBCEF,(2)解:连接OH,如图2所示:O与BC边相切于点H,OHBC,OHAD3,平行四边形ABCD的面积ADOH6318,AD是O的直径,AMD90,AMBD,ABD的面积BDAM平行四边形的面积9,即xy9,y与x之间的函数关系式y;(3)证明:作BMAF于M,BNCE于N,如图3所示:同图1得:ABF的面积BCE的面积平行四边形ABC
40、D的面积,AFBMCEBN,AFCE,BMBN,BG平分AGC(4)解:作APBC于P,EQBC于Q,如图4所示:平行四边形ABCD中,AB:BC4:3,ABC120,ABP60,BAP30,设AB4x,则BC3x,BPAB2x,BQBE,APBP2x,E是AB的中点,F在BC上,且BF:FC2:1,BE2x,BF2x,BQx,EQx,PF4x,QF3x,QC4x,由勾股定理得:AF2x,CEx,连接DF、DE,则CDE的面积ADF的面积平行四边形ABCD的面积,AFDGCEDH,DG:DHCE:AF【点睛】本题是圆的综合题目,考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识;本题综合性强,需要添加辅助线,熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键