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1、一、一元二次方程及其解法解题技巧类型一 巧用一元二次方程的定义解题【例1】若关于x的方程是一元二次方程，则=_【解析】一元二次方程的定义中包含三要素：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)整式方程依题意，得，解得；【答案】【小结】有关一元二次方程的概念，要把握住未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0，还要是整式方程. 类型二 巧用一元二次方程的根的意义解题【例2】关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是_【解析】把0代入一元二次方程即可得到关于的一元二次方程，从而求得但二次项的系数，即，所以【答案】【小结】将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值，但要注
2、意二次项系数不为零这一隐含条件【例3】已知是方程的两根，且，则的值等于（ ）A5 B5 C9 D9【解析】由于m、n是方程的根，将m、n代入该方程可得m22m-1=0，n22n1=0，即m22m=1，n22n=1变形，得7m214m=7，3n26n=3，因此(7+a)(37)=8，所以a=9【答案】C【小结】从方程的根入手，将其根代入方程，进而构造出一个新的方程在解本题的过程中，还应用了整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m214m、3n26n与已知方程之间的关系从而使问题得到快速求解类型三 巧构一元二次方程的根【例4】已知一元二次方程（为常数）满足，则该方程的一根必为
3、_【解析】结合一元二次方程根的定义，当时，满足方程左、右两边都相等，由此判断方程的一根必为x=【答案】x=【小结】估算一元二次方程的根时，应结合根的意义，通过观察，比较得出类型四 判断一元二次方程根的范围【例5】根据下列表格中的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（ ）6.176.186.196.20A BC D【解析】由表格中的数据发现：当x=6.18时，代数式的值为0.01；当x=6.19时，代数式的值为0.02，要从表格中判断=0的解，可发现未知数x的值应处于6.18到6.19之间【答案】C【小结】解决本题的关键在于理解根的意义，使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解类型五
4、与一元二次方程的根有关的开放题【例6】已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：_【解析】答案不唯一，可先写出二次项，再写出一次项，最后写能使该方程有一根为1的常数项【答案】答案不唯一，如：即等0 二、实际问题与一元二次方程解题技巧近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现，此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事件为背景，形式多变主要是考查分析问题、解决问题能力1列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）检验；（6）答2一元二次方程的应用一元二次方程的应用常见问题常用规律、技巧、方法增长率、减少率几何问题借助面积或体积，相关图形的性
5、质及内在关系倍数传播市场经济销售利润=每件的利润件数数字问题用相关的代数式表示数类型一 增长率、减少率问题【例1】长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据第一次下调后为，第二次下调后为列方
6、程求解即可；（2）从购房和物业费两方面，比较方案、方案即可【解】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得解得=10，（不合题意舍去）所以平均每次下调的百分率为10（2）方案的房款是：40501000.98=396900（元）；方案的房款是：40501001.5100122=401400（元）396900401400，选方案更优惠【小结】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍” “增长率”等等弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数，
7、平均增长率公式为(为基数，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量)同时解出未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚类型二 病毒倍数传播问题【例2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【分析】设一台每轮感染给x台电脑，则第一轮后有（1+x）台，经过第二轮感染后，共有【解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意，得解得x=8或10（负值不合题意，舍去）700，若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台【小结】
8、“传播与裂变”问题在现实生活中是广泛存在的，常见的类型包括细胞分裂、信息传播、传染扩散、单循环赛等，是近年中考的热点与亮点，尤其是病毒传播速度成几何级数增长，随着传播轮数的增加，数量是十分惊人的，一定要画好分析图，尤其是要弄清每轮传播的源头与传播后的总和解这类问题的关键是理解题意，设出适当的未知数列方程求解类型三 几何图形问题【例3】在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由【分析】设小路宽
9、度为m，则花园的长为，花园的宽为，根据面积可得方程【解】（1）不符合 设小路宽度均为m，根据题意得：，解这个方程得：但不符合题意，应舍去，小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m【小结】几何图形问题一般是只给出一个几何图形（常见的有三角形、特殊四边形），要求在其四周设计边衬或对其进行分割、裁剪，设计一个新的图形或图案在有关几何图形的面积表示中，通常有三种处理办法：直接表示、间接表示与变换表示解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程求解，进而对方程的根进行取舍类型四 市场经济与其它问题【例4】某批发商以每件50元
10、的价格购进800件T恤第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元设第二个月单价降低x元（1）填表（不需要化简）时间第一个月第二个月清仓时单价（元）8040销售量（件）200（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【分析】（1）由“ 第二个月单价降低x元 ”知第二个月的单价为(80x)，销售量为(200+10x)件，清仓时为总数量分别减
11、去前面两个月的剩余量，即800200(200+10x)；（2）销售额成本=利润，由“ 获利9000元”建立方程进行求解【解】（1）80x，200+10x，800200(200+10x)；（2）根据题意，得80200+(80x)(200+10x)+40800200(200+10x) 50800=9000整理，得x220x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，当x=10时，80x=7050答：第二个月的单价应是70元【小结】 市场经济问题（纳税、利息、分期付款、销售利润），匀变速运动、古诗词等问题都是值得关注，解答这问题时，不论背景如何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，并注意根据实
12、际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍【例5】百货大搂服装柜台在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？【分析】每件的利润是40x元，因每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件则件数为件，抓住总利润列出方程进行求解【解】设每件童装应降价x元，则，解得因为要尽快减少库存，所以x=20答：每件童装应降价20元【小结】本题主要的数量关系是：销售利润=每件利润件
13、数，理解商品的销售的件数及商品价格的关系是解答本题的关键三、二次函数及其图象解题技巧类型一 抛物线的平移问题抛物线的平移问题，可以首先研究其顶点的平移问题，因此，一般要将其解析式转化为顶点式【例1】把抛物线yx2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为yx22x3，则b、c的值为（ ）Ab2，c2 Bb2，c0 Cb2，c1 Db3，c2【分析】yx22x3(x22x+1)4(x1)24，这个函数图象的顶点坐标为（1，4），故原抛物线的顶点坐标为（1，1）验证：（1，1）（1，4）yx2+bx+c可化为y(x+1)21即yx2+2xb2，c0【答案】B类型二 抛物
14、线的旋转和轴对称变换将抛物线绕顶点旋转180，开口方向发生改变，顶点的坐标不变；抛物线的轴对称变换问题，也是从顶点的轴对称变换开始切入【例2】将抛物线y2x2-12x+16绕它的顶点旋转180，所得抛物线的解析式是（ ）Ay2x212x+16 By2x2+12x16Cy2x2+12x19 Dy2x2+12x20【分析】将y2x212x+16化为顶点式，得y2(x3)22该抛物线的顶点坐标为（3，2），将该抛物线绕顶点旋转180后，顶点仍然是（3，2），解析式中二次项的系数变为2，所以所得抛物线的解析式为y2(x3)22，即y2x2+12x20【答案】D类型三 抛物线的对称性（重点）【例3】如图
15、，抛物线yax2+bx+c(a0)的对称轴是直线x1，且经过点P（3，0），则ab+c的值是（ ）A0 B1 C1 D2【分析】该抛物线的对称轴为直线x1，又经过点P（3，0），利用抛物线的对称性可知该抛物线还要经过点（-1，0），因此ab+c0【答案】A类型四 函数yax2+bx+c(a0)的增减性二次函数的增减性通常要结合其图象研究，明确开口方向及对称轴的位置，是研究的前提条件【例4】已知二次函数yax2+bx+c(a0)中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x01234y41014若点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1x12，3x24时，y1与y2的大
16、小关系正确的是（ ）Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2【分析】从表中可以发现x1和x3时，y的值都是1说明函数图象的对称轴为直线x2，顶点坐标为（2，0），这时函数值最小，故该抛物线的开口向上，又因为1x12，3x24，所以点A（x1，y1）和点B（x2，y2）分别位于对称轴的左右两侧，且点A（x1，y1）比点B（x2，y2）到对称轴的距离近因此y1y2.【答案】B类型五 根据条件确定最大值和最小值【例5】当2x3时，二次函数yx22x+3的最大值为_，最小值为_【分析】yx22x+3(x1)2+2，该函数图象的顶点为（1，2），画出满足条件2x3的图象如图所示当x1时，y有最小值
17、，其最小值为2；当x2时，y有最大值，其最大值为11【答案】11；2类型六 利用“配方法”求特殊函数的最大（小）值【例6】（1）求函数yx+(x0)的最小值；（2）已知矩形的面积为a，一条边的长为x当x为何值时，矩形的周长y最小，这个最小值是多少？【分析】可设法将x+“配方”【解】（1）yx+(x0)+2当，即x1时，y有最小值，最小值为2（2）y2(x+)(x0)当，即x时，y有最小值，其最小值为4当x时，矩形的周长y最小，最小值为40 四、 二次函数与一元二次方程关系解题技巧类型一 抛物线的交点式（重点）一般地，若二次函数的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则其解析式可设为
18、“交点式”即ya(xx1) (xx2)【例1】已知抛物线yax2+bx+c(a0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴交于点C(0，4)其中x1，x2是方程x24x120的两根，且x1x2，求抛物线的解析式【分析】已知抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），故可设其解析式为ya(xx1) (xx2)【解】方程x24x120的解为：2，x26，故可设已知的抛物线的解析式为：ya(x+2) (x6)由x0时，y4，得4a2（6），a该抛物线的解析式为：y(x+2) (x6)，即yx2x4【名师点睛】虽然本题也可以利用给出的“一般式”来确定抛物线的解析式，但是没有设成“交点式
19、”简单【例2】如图，二次函数yax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，如果OBOCOA，那么b的值是（ ）A2 B1 C D【分析】设OBOCOAc，则A、B两点的坐标分别为A（2c，0），B（c，0）故可设抛物线的解析式为ya(x+2c) (xc)，即yax2+acx2ac2又OCc，点C的坐标为（0，c），代入解析式，得2ac2cac（c0）bac【答案】D类型二 根据图象观察方程的解通过二次函数yax2+bx+c(a0)的图象，不仅可以观察一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况，还可以发现与之相关的一些方程的解的情况【例3】如图所示，已知二次函数yax2+
20、bx+c(a0)的图象的顶点坐标为（1，8），则一元二次方程ax2+bx+c80的根的情况是（ ）A有两个不相等的实根 B有两个异号实根 C有两个相等实根 D没有实根【分析】二次函数yax2+bx+c的最大值是8，因此ax2+bx+c8，只有当x1时等号成立，因此方程ax2+bx+c8即ax2+bx+c-80有两个相等实根，即x1x21【答案】C【方法归纳】观察本题的图象，研究一元二次方程ax2+bx+ck的解的情况，可以发现：当k8时，方程有两个不相等的实根；当k8时，方程有两个相等的实根；当k8时，方程没有实根类型三 根据图象观察不等式的解集利用二次函数的图象，还可以观察一些不等式的解集【
21、例4】抛物线yx2+bx+c的部分图象如图所示，若y0，则x的取值范围是_【分析】通过观察图象可以发现抛物线的对称轴为直线x1，与x轴的右交点的坐标为（1，0），利用对称性可以推断出抛物线与x轴的左交点的坐标为（3，0）要使y0，则3x1【答案】3x1【例5】已知函数y1x2与函数y2x+3的图象大致如图，若y1y2，则自变量x的取值范围是（ ）Ax2 Bx2或x C2x Dx2或x【点石成金】本题中y1y2时，取两边；y1y2时，取中间【分析】观察图象可以发现，位于点A、B之间的部分，有y1y2成立，而此时，x的取值范围有选项A、选项C两种选择，进一步观察图象又可以发现A到y轴的距离大于B到
22、y轴的距离，所以答案只能是2x；此外本题也可以通过解方程组求出A、B两点的坐标，然后再判断【答案】C【名师点睛】此题若改成y1y2，则x的取值范围是x2或x【例6】如图，抛物线y2x2+1与双曲线y1的交点A的横坐标是1，则不等式+x2+10的解集是（ ）Ax1 Bx1 C0x1 D1x0【分析】先把+x2+10化为x21，再讨论函数y1的图象与y3x21的图象之间的关系；作抛物线y2x2+1关于原点成中心对称的抛物线y3x21可以发现抛物线y3x21与双曲线y1的交点的横坐标为1观察图象可发现当1x0时，y1y3，即x21，+x2+10【答案】D类型四 根据图象确定代数式的取值范围根据二次函
23、数yax2+bx+c(a0)的图象可以发现一些含有a，b，c的代数式的取值范围【例7】已知二次函数yax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论中正确的个数有（ ）abc0； b24ac0； 8a+c0； 9a+3b+c0A1个 B2 个 C3 个 D4个【分析】图象开口向上，a0对称轴在y轴的右侧，a、b异号b0图象与y轴的交点在x轴的下方，故c0，abc0正确抛物线与x轴有两个交点，b24ac0 正确令x2，则y(2)2a+(2)b+c4a2b+c.又1，b2ay4a2b+c8a+c又x2时，y08a+c0正确利用抛物线的对称性可知x3和x1时y的值相等，且都有y0；而x3时，y9a
24、+3b+c9a+3b+c0正确综上所述正确结论的个数为4【答案】D【方法归纳】设二次函数的解析式为yax2+bx+c(a0)，代数式确定符号ab+c看x1时y的值4a2b+c看x2时y的值2ab看对称轴与直线x1或x1的位置关系看顶点的纵坐标【例8】如图，抛物线yax2+bx+c(a0)与x轴的一个交点A在（2，0）和（1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc 0；（2）a的取值范围是 .【分析】（1）因为图象开口向下，所以a0对称轴在y轴右边，所以b0与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c0，综合可得abc0（2）以D（1，3）为顶点，经过点（1，0）的抛物线的“张口”最小，设这条抛物线为ya1(x1)2+3，令x1，y0，得a1；以F为顶点经过点（2，0）的抛物线的“张口”最大，设这条抛物线为ya2(x3)2+2，令x2，y0，得a2，a的取值范围是a【答案】（1）；（2）a0
